Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Alphamath |
|
||
[math]\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{k}i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{j=0}^{k}C_k^j\right)\right]=\frac{2^n}{3}(2n^3-3n^2+13n-18)+6[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
Alphamath писал(а): Очень прошу, помогите доказать это равенство, от него зависит мой зачет [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{k}i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{j=0}^{k}C_k^j\right)\right]=\frac{2^n}{3}(2n^3-3n^2+13n-18)+6[/math] Упростите для начала сумму. Сумму первых квадратов целых чисел - известная формула [math]\sum\limits_{i=1}^k{i^2}=\frac{k^3}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{6}.[/math] , думаю, Вам не надо её обосновывать. Свойство суммы биномиальных коэффициентов: [math]\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}=2^k.[/math] Таким образом, исходное равенство можно записать так: [math]\sum\limits_{k=1}^n\left[\left(\sum\limits_{i=1}^k{i^2}\right)\cdot\left(\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}\right)\right]=\sum\limits_{k=1}^n\!\left(\frac{k^3}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{6}\right)\!2^k=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n\!\left(2k^3+3k^2+k\right)\!2^{k-1}.[/math] Дальше, вроде бы, надо использовать метод неопределённых коэффициентов. Prokop точно знает |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
Можно продолжить идти по этому пути. Можно написать выражения для сумм вида
[math]\sum\limits_{k=1}^n{k^px^k}[/math], где p - целое. Но задачу для зачёта можно решить, используя математическую индукцию. Проверяете справедливость для n=1,2. Затем, предполагая справедливость формулы для n, доказываете её справедливость для n+1. Действительно, [math]\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left[{\left({\sum\limits_{i=1}^k{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}}\right)}\right]}=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+\left({\sum\limits_{i=1}^{n+1}{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^{n+1}{C_k^j}}\right)=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+2^{n+1}\left({\frac{{\left({n+1}\right)^3}}{3}+\frac{{\left({n+1}\right)^2}}{2}+\frac{{n+1}}{6}}\right)=\frac{{2^{n+1}}}{3}\left({2\left({n+1}\right)^3-3\left({n+1}\right)^2+13\left({n+1}\right)-18}\right)+6[/math] Последнее равенство проверяется непосредственно (в лоб). |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexdemath, Alphamath |
|||
Alphamath |
|
|
Prokop писал(а): Можно продолжить идти по этому пути. Можно написать выражения для сумм вида [math]\sum\limits_{k=1}^n{k^px^k}[/math], где p - целое. Но задачу для зачёта можно решить, используя математическую индукцию. Проверяете справедливость для n=1,2. Затем, предполагая справедливость формулы для n, доказываете её справедливость для n+1. Действительно, [math]\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left[{\left({\sum\limits_{i=1}^k{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}}\right)}\right]}=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+\left({\sum\limits_{i=1}^{n+1}{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^{n+1}{C_k^j}}\right)=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+2^{n+1}\left({\frac{{\left({n+1}\right)^3}}{3}+\frac{{\left({n+1}\right)^2}}{2}+\frac{{n+1}}{6}}\right)=\frac{{2^{n+1}}}{3}\left({2\left({n+1}\right)^3-3\left({n+1}\right)^2+13\left({n+1}\right)-18}\right)+6[/math] Последнее равенство проверяется непосредственно (в лоб). Спасибо за помощь! А Вы могли бы показать начало решения более подробно? Кроме бреда, у меня ничего не получается |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
Начало решения, предложенного мною, состоит в том, что проверяется формула при [math]n=1[/math].
При этом значении n формула выглядит так [math]1^2\cdot\left({1+1}\right)=\frac{2}{3}\left({2\cdot{1}^3-3\cdot{1}^2+13\cdot{1}-18}\right)+6[/math] Может быть, Вы не учли равенство [math]C_n^0=1[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Sara90 |
|||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий | 1 |
557 |
22 сен 2015, 14:35 |
|
Доказать задачу с тремя пересекающимися плоскостями.
в форуме Геометрия |
11 |
1199 |
26 окт 2015, 20:45 |
|
Доказать равенство | 4 |
509 |
16 апр 2014, 04:11 |
|
Доказать равенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
2 |
540 |
18 май 2014, 15:46 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
3 |
272 |
05 окт 2019, 14:51 |
|
Доказать равенство | 2 |
258 |
28 фев 2022, 16:35 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
0 |
185 |
06 мар 2022, 17:42 |
|
Доказать равенство | 3 |
263 |
01 май 2022, 09:15 |
|
Доказать равенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
374 |
17 дек 2014, 22:04 |
|
Доказать равенство | 1 |
617 |
24 май 2015, 20:14 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |