Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как доказать равенство с тремя суммами справа (ужас!)
СообщениеДобавлено: 05 апр 2010, 01:10 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 мар 2010, 19:33
Сообщений: 9
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень прошу, помогите доказать это равенство, от него зависит мой зачет :(

[math]\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{k}i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{j=0}^{k}C_k^j\right)\right]=\frac{2^n}{3}(2n^3-3n^2+13n-18)+6[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство с тремя суммами справа (ужас!)
СообщениеДобавлено: 06 апр 2010, 10:56 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alphamath писал(а):
Очень прошу, помогите доказать это равенство, от него зависит мой зачет :(

[math]\sum\limits_{k=1}^{n}\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{k}i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{j=0}^{k}C_k^j\right)\right]=\frac{2^n}{3}(2n^3-3n^2+13n-18)+6[/math]

Упростите для начала сумму.
Сумму первых квадратов целых чисел - известная формула [math]\sum\limits_{i=1}^k{i^2}=\frac{k^3}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{6}.[/math] , думаю, Вам не надо её обосновывать.

Свойство суммы биномиальных коэффициентов: [math]\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}=2^k.[/math]

Таким образом, исходное равенство можно записать так:

[math]\sum\limits_{k=1}^n\left[\left(\sum\limits_{i=1}^k{i^2}\right)\cdot\left(\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}\right)\right]=\sum\limits_{k=1}^n\!\left(\frac{k^3}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{6}\right)\!2^k=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n\!\left(2k^3+3k^2+k\right)\!2^{k-1}.[/math]

Дальше, вроде бы, надо использовать метод неопределённых коэффициентов.
Prokop точно знает :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство с тремя суммами справа (ужас!)
СообщениеДобавлено: 06 апр 2010, 15:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно продолжить идти по этому пути. Можно написать выражения для сумм вида
[math]\sum\limits_{k=1}^n{k^px^k}[/math],
где p - целое.
Но задачу для зачёта можно решить, используя математическую индукцию.
Проверяете справедливость для n=1,2.
Затем, предполагая справедливость формулы для n, доказываете её справедливость для n+1.
Действительно,
[math]\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left[{\left({\sum\limits_{i=1}^k{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}}\right)}\right]}=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+\left({\sum\limits_{i=1}^{n+1}{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^{n+1}{C_k^j}}\right)=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+2^{n+1}\left({\frac{{\left({n+1}\right)^3}}{3}+\frac{{\left({n+1}\right)^2}}{2}+\frac{{n+1}}{6}}\right)=\frac{{2^{n+1}}}{3}\left({2\left({n+1}\right)^3-3\left({n+1}\right)^2+13\left({n+1}\right)-18}\right)+6[/math]
Последнее равенство проверяется непосредственно (в лоб).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Alphamath
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство с тремя суммами справа (ужас!)
СообщениеДобавлено: 01 май 2010, 13:48 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 мар 2010, 19:33
Сообщений: 9
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Можно продолжить идти по этому пути. Можно написать выражения для сумм вида
[math]\sum\limits_{k=1}^n{k^px^k}[/math],
где p - целое.
Но задачу для зачёта можно решить, используя математическую индукцию.
Проверяете справедливость для n=1,2.
Затем, предполагая справедливость формулы для n, доказываете её справедливость для n+1.
Действительно,
[math]\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\left[{\left({\sum\limits_{i=1}^k{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^k{C_k^j}}\right)}\right]}=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+\left({\sum\limits_{i=1}^{n+1}{i^2}}\right)\left({\sum\limits_{j=0}^{n+1}{C_k^j}}\right)=\frac{{2^n}}{3}\left({2n^3-3n^2+13n-18}\right)+6+2^{n+1}\left({\frac{{\left({n+1}\right)^3}}{3}+\frac{{\left({n+1}\right)^2}}{2}+\frac{{n+1}}{6}}\right)=\frac{{2^{n+1}}}{3}\left({2\left({n+1}\right)^3-3\left({n+1}\right)^2+13\left({n+1}\right)-18}\right)+6[/math]
Последнее равенство проверяется непосредственно (в лоб).

Спасибо за помощь!

А Вы могли бы показать начало решения более подробно?

Кроме бреда, у меня ничего не получается :unknown:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство с тремя суммами справа (ужас!)
СообщениеДобавлено: 02 май 2010, 09:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начало решения, предложенного мною, состоит в том, что проверяется формула при [math]n=1[/math].
При этом значении n формула выглядит так
[math]1^2\cdot\left({1+1}\right)=\frac{2}{3}\left({2\cdot{1}^3-3\cdot{1}^2+13\cdot{1}-18}\right)+6[/math]
Может быть, Вы не учли равенство
[math]C_n^0=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Sara90
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

557

22 сен 2015, 14:35

Доказать задачу с тремя пересекающимися плоскостями.

в форуме Геометрия

Andrew Kozyrev

11

1199

26 окт 2015, 20:45

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BezdnaIrina

4

509

16 апр 2014, 04:11

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RussianFalth

2

540

18 май 2014, 15:46

Доказать равенство

в форуме Ряды

Ntallii

3

272

05 окт 2019, 14:51

Доказать равенство

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Evgenii123456

2

258

28 фев 2022, 16:35

Доказать равенство

в форуме Ряды

sweet_cheeks

0

185

06 мар 2022, 17:42

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Liza_P

3

263

01 май 2022, 09:15

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PolushkinaAA

4

374

17 дек 2014, 22:04

Доказать равенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

rafic0808

1

617

24 май 2015, 20:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved