Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр

Задача такая:
Привести пример неглавного фильтра, который можно расширить до главного ультрафильтра. Решал так:
Фильтр [math]$F = \{M$|$(M\subseteq(\mathbb Q^+\cup\{0\}))\land([0;q) \subseteq M )\land(0<q\in \mathbb Q)\}$[/math]
Это фильтр, т.к. он замкнут относительно пересечения, все объемлющие множества содержатся в фильтре, пустое множество в нем не лежит. Он неглавный, потому что нет наименьшего элемента по включению.
Фильтр [math]$G = F\cup\bigl\{\{0\}\bigr\}$[/math]
Это, как минимум, главный фильтр, т.к. он содержит минимальный элемент по включению.
А вот насчет ультрафильтр или нет не совсем ясно.
Пусть [math]$I=\mathbb Q^+\cup\{0\}$[/math]
Для произвольного [math]$X \subseteq I$[/math] существует три варианта:
[math]$1) \ X = \{0\} \cup \{...\}$[/math] - ноль объединить с каким- либо множеством
[math]$2) \ X = [0;q) \cup \{...\}$[/math] - полуинтервал объединить с каким-либо множеством
[math]$3) \ X = \{...\}\diagdown\{0\}$[/math] - некоторое множество без нуля
В первом случае [math]$X \in G$[/math], во втором тоже.
В третьем [math]$X \notin G$[/math], следовательно дополнение должно лежать в [math]$G$[/math]. [math]$X$[/math] не содержит [math]$\{0\}$[/math], следовательно дополнение содержит [math]$\{0\}$[/math], тогда дополнение согласно первому или второму случаю лежит в [math]$G$[/math]. Ну если мои рассуждения правильные, то [math]$G$[/math] - главный ультрафильтр. Вопрос, правильные ли они?