Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
youbet |
|
||
[math](A \cup B)\backslash (A \cup C) \subset A \cup ( B\backslash C)[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
valentina |
|
||
Хотите вылететь с форума за дикий ор, который вы здесь устроили?
Здесь люди тихо мирно-отдыхают |
|||
Вернуться к началу | |||
Uncle Fedor |
|
|
Задача. Докажите включение [math]\underbrace {\left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cup C} \right)}_M \subset \underbrace {A \cup \left( {B\backslash C} \right)}_K[/math] .
Решение. [math]\begin{gathered}{P_{M\backslash K}}\left( x \right) \equiv {P_{\left( {\left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cup C} \right)} \right)\backslash \left( {A \cup \left( {B\backslash C} \right)} \right)}}\left( x \right) \equiv {P_{\left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cup C} \right)}}\left( x \right) \cdot \overline {{P_{A \cup \left( {B\backslash C} \right)}}\left( x \right)} \equiv {P_{A \cup B}}\left( x \right) \cdot \overline {{P_{A \cup C}}\left( x \right)} \cdot \left( {\overline {{P_A}\left( x \right) \vee {P_{B\backslash C}}\left( x \right)} } \right) \equiv \hfill \\\equiv \left( {{P_A}\left( x \right) \vee {P_B}\left( x \right)} \right) \cdot \left( {\overline {{P_A}\left( x \right) \vee {P_C}\left( x \right)} } \right) \cdot \left( {\overline {{P_A}\left( x \right) \vee \left( {{P_B}\left( x \right) \cdot \overline {{P_C}\left( x \right)} } \right)} } \right) \equiv \hfill \\\equiv \left( {{P_A}\left( x \right) \vee {P_B}\left( x \right)} \right) \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_C}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot \left( {\overline {{P_B}\left( x \right) \cdot \overline {{P_C}\left( x \right)} } } \right) \equiv \hfill \\\equiv \overline {{P_C}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot \left( {{P_A}\left( x \right) \vee {P_B}\left( x \right)} \right) \cdot \left( {\overline {{P_B}\left( x \right) \cdot \overline {{P_C}\left( x \right)} } } \right) \equiv \hfill \\\equiv \left( {\overline {{P_C}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot {P_A}\left( x \right) \vee \overline {{P_C}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot {P_B}\left( x \right)} \right) \cdot \left( {\overline {{P_B}\left( x \right)} \vee \overline {\overline {{P_C}\left( x \right)} } } \right) \equiv \hfill \\ \equiv \overline {{P_C}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot {P_B}\left( x \right) \cdot \left( {\overline {{P_B}\left( x \right)} \vee {P_C}\left( x \right)} \right) \equiv \overline {{P_C}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot {P_B}\left( x \right) \cdot \overline {{P_B}\left( x \right)} \vee \overline {{P_C}\left( x \right)} \cdot \overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot {P_B}\left( x \right) \cdot {P_C}\left( x \right) \equiv \hfill \\ \equiv 0 \vee 0 \equiv 0 \equiv {P_\emptyset }\left( x \right) \Rightarrow {P_{M\backslash K}}\left( x \right) \equiv {P_\emptyset }\left( x \right) \Leftrightarrow M\backslash K = \emptyset \Rightarrow M \subset K \hfill \\ \end{gathered}[/math] Обозначение: предикат [math]{P_M}\left( x \right)[/math] означает, что элемент [math]x[/math] принадлежит множеству [math]M[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math, valentina |
||
dr Watson |
|
||
Смотрите, Шура, что можно сделать из простой швейной машинки.
Включение [math]A\subseteq B[/math] означает импликацию [math]x\in A\Rightarrow x\in B[/math]. Таким образом, для доказательства включения требуется показать, что всякий элемент первого множества содержится во втором. Записывать решение с помощью предикатов - это придумывать ребус для начинающих. Обычно я воздерживаюсь от полных решений в простых учебных задачах, но раз уж пошла такая пьянка с предикатами, то извольте: Пусть [math]x\in (A\cup B)\setminus(A\cup C)[/math]. Если [math]x\in A[/math], то доказывать нечего, так как тогда [math]x\in A\cup X[/math] для любого множества [math]X[/math], в частности и для [math]X=B\setminus C[/math]. Пусть [math]x\not\in A[/math]. Тогда из [math]x\in A\cup B[/math] и [math]x\not\in A\cup C[/math] получаем [math]x\in B[/math] и [math]x\not\in C[/math], следовательно [math]x\in B\setminus C[/math], откуда [math]x\in A\cup (B\setminus C)[/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
Uncle Fedor |
|
|
dr Watson, если придерживаться моих обозначений, то фактически вы доказали, что [math]{P_M}\left( x \right) \cdot \left( {\left( {{P_A}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \vee \left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right)} \right) \equiv 1[/math].
Но из этого никак не следует, что [math]\left( {{P_M}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \equiv 1[/math]. Можете сами проверить. |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
||
Если не следует, то где-то у меня ошибка. Укажите в каком месте. Ваше не проверял - лениво. Это скорее донесение Юстаса Алексу.
|
|||
Вернуться к началу | |||
Uncle Fedor |
|
|
dr Watson писал(а): Если не следует, то где-то у меня ошибка. Укажите в каком месте. Всё дело в логических связках, которые вы используете в своих рассуждениях. Схема вашего решения такова: поскольку [math]{P_M}\left( x \right) \cdot \left( {\left( {{P_A}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \vee \left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right)} \right) \equiv 1[/math], [math]\left( * \right)[/math], то [math]\left( {{P_M}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \equiv 1[/math]. Но такие рассуждения ошибочны. Покажем это. Упрощая левую часть равносильности [math]\left( * \right)[/math], получим [math]{P_M}\left( x \right) \cdot \left( {\left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \vee {P_K}\left( x \right)} \right) \vee \left( {\overline {\overline {{P_A}\left( x \right)} } \vee {P_K}\left( x \right)} \right)} \right) \equiv 1[/math]; [math]{P_M}\left( x \right) \cdot \left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \vee {P_K}\left( x \right) \vee {P_A}\left( x \right) \vee {P_K}\left( x \right)} \right) \equiv 1[/math]; [math]{P_M}\left( x \right) \cdot \left( {\left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \vee {P_A}\left( x \right)} \right) \vee \left( {{P_K}\left( x \right) \vee {P_K}\left( x \right)} \right)} \right) \equiv 1[/math]; [math]{P_M}\left( x \right) \cdot \left( {1 \vee {P_K}\left( x \right)} \right) \equiv 1[/math]; [math]{P_M}\left( x \right) \cdot 1 \equiv 1[/math]; [math]{P_M}\left( x \right) \equiv 1[/math]. Но из того, что [math]{P_M}\left( x \right) \equiv 1[/math] не следует, что [math]\left( {{P_M}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \equiv 1[/math] (достаточно вспомнить определение импликации). Схема верного решения должна быть такой: поскольку [math]{P_M}\left( x \right) \Rightarrow \left( {\left( {{P_A}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \cdot \left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right)} \right) \equiv 1[/math], [math]\left( {**} \right)[/math], то [math]\left( {{P_M}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \equiv 1[/math]. Обоснование. Преобразуем левую часть равносильности [math]\left( {**} \right)[/math]: [math]\overline {{P_M}\left( x \right)} \vee \left( {\left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \vee {P_K}\left( x \right)} \right) \cdot \left( {\overline {\overline {{P_A}\left( x \right)} } \vee {P_K}\left( x \right)} \right)} \right) \equiv 1[/math]; [math]\overline {{P_M}\left( x \right)} \vee \left( {\left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \vee {P_K}\left( x \right)} \right) \cdot \left( {{P_A}\left( x \right) \vee {P_K}\left( x \right)} \right)} \right) \equiv 1[/math]; [math]\overline {{P_M}\left( x \right)} \vee \left( {\overline {{P_A}\left( x \right)} \cdot {P_A}\left( x \right)} \right) \vee {P_K}\left( x \right) \equiv 1[/math]; [math]\overline {{P_M}\left( x \right)} \vee 0 \vee {P_K}\left( x \right) \equiv 1[/math]; [math]\overline {{P_M}\left( x \right)} \vee {P_K}\left( x \right) \equiv 1[/math]; [math]\left( {{P_M}\left( x \right) \Rightarrow {P_K}\left( x \right)} \right) \equiv 1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
||
Алекс Юстасу:
Шифровальщик хренов - вот моя схема: Если [math](M\&A\Rightarrow K)\&(M\&\overline{A}\Rightarrow K)\equiv 1[/math], то [math](M\Rightarrow K)\equiv 1[/math] PS. Уж так быть "если ..., то" передаю открытым текстом, как и Вы, не шифруя. |
|||
Вернуться к началу | |||
Uncle Fedor |
|
|
dr Watson писал(а): Алекс Юстасу: Шифровальщик хренов - вот моя схема: Если [math](M\&A\Rightarrow K)\&(M\&\overline{A}\Rightarrow K)\equiv 1[/math], то [math](M\Rightarrow K)\equiv 1[/math] PS. Уж так быть "если ..., то" передаю открытым текстом, как и Вы, не шифруя. А разве над множествами можно выполнять логические операции (конъюнкцию, импликацию, ...) ? |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
||
Если очень постараться, то можно, но я этого не делаю, у меня это высказывания, вместо них можно подставлять любые другие выскахывания, например, вместо [math]A[/math] можно поставить [math]P_A(x)[/math]. В итоге моя шифровка становится гораздо короче.
Блин, где этот пожар перед заголовком сообщения погасить? Последний раз редактировалось dr Watson 17 окт 2012, 13:47, всего редактировалось 1 раз. |
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать включение множеств | 4 |
216 |
08 фев 2022, 03:18 |
|
Доказать нестрогое включение | 5 |
204 |
29 сен 2021, 14:26 |
|
Доказать включение множеств | 2 |
695 |
04 апр 2018, 10:31 |
|
Доказать равенство и включение множеств | 3 |
289 |
02 июн 2018, 11:01 |
|
Доказать, что множество фундировано | 1 |
275 |
09 дек 2015, 18:10 |
|
Доказать, что множество измеримо.
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
491 |
09 дек 2017, 17:06 |
|
Доказать, что множество является полугруппой | 2 |
702 |
12 ноя 2016, 20:48 |
|
Доказать, что множество точек измеримо
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
0 |
153 |
23 дек 2020, 10:58 |
|
Доказать, что множество составляет подпространство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
1703 |
15 фев 2017, 14:47 |
|
Доказать что множество является кольцом
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
554 |
17 дек 2015, 22:38 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |