Математический форум Math Help Planet

Здравствуйте!

Пытаюсь разобраться в теории множеств - точные нижние и верхние грани. Ни в какую не могу выполнить доказательства после параграфа( Если они не занимают много места ( 3 штуки), распишите, пожалуйста!

Очень хочу все понять до конца и научиться доказывать подобные утверждения самостоятельно..
______________
Ссылка на параграф - после него 3 вопроса: http://page-book.ru/i48669#page

Заранее спасибо!

9. Хотя бы ограниченность сверху множества [math]Y[/math] Вам понятна? Для доказательства неравенства можно пойти от противного: если бы было [math]\sup Y>\sup X[/math], то нашёлся бы такой элемент [math]y_0\in Y[/math], что [math]y_0>\sup Y-\frac12(\sup Y-\sup X)=\frac12(\sup X+\sup Y)>\sup X[/math], то есть этот элемент был бы больше любого элемента множества [math]X[/math], поэтому он бы в нём не лежал, что противоречит условию.

10. [math]x^2<2\Leftrightarrow-\sqrt2<x<\sqrt2[/math]. Соответственно [math]\sup X=\sqrt2, \inf X=-\sqrt2[/math]. Для доказательства воспользуйтесь тем, что между любыми двумя различными действительными числами есть рациональные числа.

11. Здесь Вам нужно просто проверить определения. Например, для первого равенства: берём произвольное [math]a\in A[/math], тогда найдётся элемент [math]b\in B[/math] такой, что [math]b=-a[/math], причём [math]b\leqslant\sup B[/math], значит [math]a\geqslant-\sup B[/math]. Берём теперь произвольное число [math]c>-\sup B[/math]. Тогда [math]-c<\sup B[/math], и значит по определению [math]\sup B[/math] найдётся такой элемент [math]b_0\in B[/math], что [math]b_0>-c[/math]. С другой стороны существует элемент [math]a_0\in A[/math] такой, что [math]a_0=-b_0[/math], значит [math]-a_0>-c[/math], откуда [math]a_0<c[/math]. Таким образом для любого элемента [math]a\in A[/math] выполнено неравенство [math]a\geqslant-\sup B[/math] и для любого [math]c>-\sup B[/math] существует такой элемент [math]a_0\in A[/math], что [math]a_0<c[/math]. Значит [math]\inf A=-\sup B[/math]. Второе равенство проверьте самостоятельно.