Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти тригонометрический интеграл Фурье
СообщениеДобавлено: 09 янв 2021, 14:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2021, 11:29
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, найти интеграл следующей функции:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти тригонометрический интеграл Фурье
СообщениеДобавлено: 09 янв 2021, 14:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5804
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
2123 раз в 1965 сообщениях
Очков репутации: 303

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Забавное задание с ответом, который уже есть в условии задачи! Все коэффициенты ряда Фурье равны нулю, кроме [math]a_0=1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти тригонометрический интеграл Фурье
СообщениеДобавлено: 09 янв 2021, 17:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7490
Cпасибо сказано: 97
Спасибо получено:
1395 раз в 1314 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Все коэффициенты ряда Фурье

Но тут вроде не ряд.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти тригонометрический интеграл Фурье
СообщениеДобавлено: 09 янв 2021, 17:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7490
Cпасибо сказано: 97
Спасибо получено:
1395 раз в 1314 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jackoe89 писал(а):
Помогите, пожалуйста, найти интеграл следующей функции:

В какой помощи нуждаетесь? Могу помочь советом: считайте интеграл чисто по определению (это если знаете, что такое интеграл Фурье, что такое интеграл вообще и как считается интеграл от экспоненты).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти тригонометрический интеграл Фурье
СообщениеДобавлено: 10 янв 2021, 08:24 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21546
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1899
Спасибо получено:
4732 раз в 4423 сообщениях
Очков репутации: 821

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jackoe89
Я не знаю, почему Вы не можете самостоятельно представить заданную функцию интегралом Фурье. Но учитывая, что такие задания на нашем форуме встречаются нечасто, покажу, как можно решить задачу (окажу Вам техническую поддержку).

Согласно интегральной формуле Фурье для функции [math]f(x)[/math] которая удовлетворяет определённым условиям, имеет место представление
[math]f(x)=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^{+\infty} \operatorname{d}z \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos{z(t-x) \operatorname{d}t},[/math]

которое можно записать следующим образом:
[math]f(x)=\int\limits_0^{+\infty} (a(z) \cos{zx}+b(z) \sin{zx}) \operatorname{d}z,[/math]

где
[math]a(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos{zt} \operatorname{d}t,~b(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin{zt} \operatorname{d}t.[/math]


Представим функцию
[math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}
& 1,~\operatorname{if}~x \in \left[ 0;~1 \right], \\
& 0,~\operatorname{if}~x \notin \left[ 0;~1 \right]
\end{aligned}\right.[/math]

интегралом Фурье:
[math]a(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^1 \cos{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi z} \sin{z},[/math]

[math]b(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^1 \sin{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi z} (\cos{0}-\cos{z})=\frac{1}{\pi z}(1-\cos{z}),[/math]

[math]f(x)=\int\limits_0^{+\infty} (a(z) \cos{zx}+b(z) \sin{zx}) \operatorname{d}z=[/math]

[math]=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^{+\infty} \frac{1}{z} \left( \sin{z} \cos{zx}+(1-\cos{z}) \sin{zx} \right) \operatorname{d}z=[/math]

[math]=\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{1}{z} \left( \sin{zx}-\sin{z(x-1)} \right) \operatorname{d}z,[/math]

где [math]x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0,~1 \right\}.[/math] В точках [math]x=0[/math] и [math]x=1[/math] значения интеграла равны [math]\frac{1}{2}.[/math]

Вам предстоит самостоятельно разобраться в опущенных мной деталях интегрирования.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Jackoe89
 Заголовок сообщения: Re: Найти тригонометрический интеграл Фурье
СообщениеДобавлено: 11 янв 2021, 01:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 янв 2021, 11:29
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Вам огромное!
Andy писал(а):
Jackoe89
Я не знаю, почему Вы не можете самостоятельно представить заданную функцию интегралом Фурье. Но учитывая, что такие задания на нашем форуме встречаются нечасто, покажу, как можно решить задачу (окажу Вам техническую поддержку).

Согласно интегральной формуле Фурье для функции [math]f(x)[/math] которая удовлетворяет определённым условиям, имеет место представление
[math]f(x)=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^{+\infty} \operatorname{d}z \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos{z(t-x) \operatorname{d}t},[/math]

которое можно записать следующим образом:
[math]f(x)=\int\limits_0^{+\infty} (a(z) \cos{zx}+b(z) \sin{zx}) \operatorname{d}z,[/math]

где
[math]a(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos{zt} \operatorname{d}t,~b(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin{zt} \operatorname{d}t.[/math]


Представим функцию
[math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}
& 1,~\operatorname{if}~x \in \left[ 0;~1 \right], \\
& 0,~\operatorname{if}~x \notin \left[ 0;~1 \right]
\end{aligned}\right.[/math]

интегралом Фурье:
[math]a(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^1 \cos{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi z} \sin{z},[/math]

[math]b(z)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \sin{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^1 \sin{zt} \operatorname{d}t=\frac{1}{\pi z} (\cos{0}-\cos{z})=\frac{1}{\pi z}(1-\cos{z}),[/math]

[math]f(x)=\int\limits_0^{+\infty} (a(z) \cos{zx}+b(z) \sin{zx}) \operatorname{d}z=[/math]

[math]=\frac{1}{\pi} \int\limits_0^{+\infty} \frac{1}{z} \left( \sin{z} \cos{zx}+(1-\cos{z}) \sin{zx} \right) \operatorname{d}z=[/math]

[math]=\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{1}{z} \left( \sin{zx}-\sin{z(x-1)} \right) \operatorname{d}z,[/math]

где [math]x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0,~1 \right\}.[/math] В точках [math]x=0[/math] и [math]x=1[/math] значения интеграла равны [math]\frac{1}{2}.[/math]

Вам предстоит самостоятельно разобраться в опущенных мной деталях интегрирования.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Jackoe89 "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Найти тригонометрический интеграл Фурье
СообщениеДобавлено: 11 янв 2021, 09:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7490
Cпасибо сказано: 97
Спасибо получено:
1395 раз в 1314 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Скажу честно, что такое
Jackoe89 писал(а):
тригонометрический интеграл Фурье

не знаю. Когда писал свой пост, думал про преобразование Фурье, которое можно вычислить по формуле: [math]F(t)=\int\limits_{0}^{1} e^{-itx}dx=\frac{ i(e^{-it}-1 )}{ t }[/math] . Если что не так, извините.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
найти тригонометрический интеграл Фурье фун-ии

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

shellcode

1

519

25 фев 2011, 10:58

Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Dirolina

35

1592

03 июн 2015, 00:46

Тригонометрический ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

bsuir

3

499

02 окт 2011, 09:58

Тригонометрический ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

f3b4c9083ba91

6

550

25 окт 2011, 19:52

Тригонометрический ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Timon41ra

8

804

07 май 2013, 20:07

Разложить в тригонометрический ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

natazond

18

1077

17 фев 2014, 15:06

Разложить в тригонометрический ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

2MAN

15

816

31 окт 2013, 07:07

Разложить в тригонометрический ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Rudn15

1

518

25 апр 2013, 13:25

Разложить в тригонометрический ряд Фурье ломаную

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

TravisPastrana

0

340

30 май 2013, 18:06

Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию y=π/4 -x^2

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

snackes

2

222

27 июл 2020, 20:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved