Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 05:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 апр 2020, 16:01
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разложить в интервале [math]\left( 0; \pi \right)[/math]в ряд Фурье функцию [math]f(x)=\frac{ \pi }{ 4 }[/math] по синусам кратных дуг. Полученное разложение использовать для суммирования числовых рядов а) [math]1-\frac{ 1 }{ 3 }+\frac{ 1 }{ 5 }-\frac{ 1 }{ 7 }+ \ldots ;[/math] б)[math]1+\frac{ 1 }{ 5 }-\frac{ 1 }{ 7 }-\frac{ 1 }{ 11 }+\frac{ 1 }{ 13 }+\frac{ 1 }{ 17 }- \ldots ;[/math] в) [math]1-\frac{ 1 }{ 5 } +\frac{ 1 }{ 7 }-\frac{ 1 }{ 11 }+\frac{ 1 }{ 13 }- \ldots .[/math]

Разложение получилось: [math]f(x)=\sum\limits_{k=1}^{+ \infty } \frac{ \sin{\left( 2k-1 \right) }x }{ 2k-1 }[/math]

Получилось найти сумму ряда под а), подставив [math]x=\frac{ \pi }{ 2 }[/math], а вот под б) и под в) не знаю что подставить

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 12:52 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На мой взгляд, формулировка странная. Если требуется ряд Фурье, то речь должна идти о периодической функции. [math]f(x)=\frac{\pi}{4}=\operatorname{const}[/math] непохоже, чтобы имела период.

Я понимаю, что, видимо подразумевался ряд по синусам, и что функция антисимметрична относительно начала координат и имеет период [math]2\pi[/math]. Но не понимаю, чем преобразованный ряд отличается от исходного: и там, и там всё равно суммирование до бесконечности.

Тогда уж лучше арктангенс разложить в ряд Тейлора. Там как раз получится [math]\operatorname{arctg} (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\ldots[/math]

/* удалены неверные реультаты. Прошу извинить мою невнимательность */


Последний раз редактировалось Xmas 01 май 2020, 13:16, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 12:54 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21732
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1958
Спасибо получено:
4814 раз в 4503 сообщениях
Очков репутации: 828

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kipriot
Я удалил сообщения, которыми мы обменялись утром. Они были вызваны неправильным прочтением мной Вашего первого сообщения.

Давайте уточним, какое разложение и для какой функции Вы получили?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 13:13 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О, второй пример хитрее. Извиняюсь за ошибку по недосмотру. В примере (б) действительно такое чередование знаков?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 13:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7583
Cпасибо сказано: 97
Спасибо получено:
1413 раз в 1332 сообщениях
Очков репутации: 205

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Давайте уточним, какое разложение и для какой функции Вы получили?

Andy. Там в стартовом посту все правильно. Другое дело, как вы тут ранее намекали, для решения задачи б) и в) необязательно искать некую новую точку для подстановки, а просто воспользоваться решением пункта а).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Kipriot
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 13:24 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21732
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1958
Спасибо получено:
4814 раз в 4503 сообщениях
Очков репутации: 828

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Да, я намекал. Но разве имелась в виду функция [math]f(x)=\frac{\pi}{4}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 13:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7583
Cпасибо сказано: 97
Спасибо получено:
1413 раз в 1332 сообщениях
Очков репутации: 205

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xmas писал(а):
Тогда уж лучше арктангенс разложить в ряд Тейлора.

Это не лучше, а это просто другой способ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 13:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7583
Cпасибо сказано: 97
Спасибо получено:
1413 раз в 1332 сообщениях
Очков репутации: 205

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
searcher
Да, я намекал. Но разве имелась в виду функция [math]f(x)=\frac{\pi}{4}[/math]?

Да. И она даёт ответ именно [math]\frac{ \pi }{ 4 }[/math] для пункта а). И это подтверждается разложением для арктангенса, как тут упоминалось.
Будем считать, что пункт а) решён. Осталось из него вывести другие пункты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 13:33 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 21732
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1958
Спасибо получено:
4814 раз в 4503 сообщениях
Очков репутации: 828

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Я решил не рисковать, имея в виду условия Дирихле и разложение по синусам. Умственный "клинч", короче. Хотя формально, да, [math]f(0)=\frac{\pi}{4}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 май 2020, 13:39 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Второй ряд получается из первого следующим путём:
[math](\mathbf{2})=(\mathbf{1}) - \frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\ldots\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Kipriot

7

224

30 апр 2020, 17:36

Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Koleso

0

475

11 май 2017, 19:16

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Rempi Izek

4

1521

19 фев 2014, 21:01

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды

chillnory

1

118

16 апр 2020, 17:17

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

ka9aje

1

213

01 апр 2020, 15:44

Найти сумму ряда, используя разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

RaulGonzal19

2

588

29 янв 2015, 19:22

Разложить функцию в ряд фурье и найти сумму ряда

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MathSamurai

2

206

20 май 2020, 02:48

Вычислить интеграл с помощью разложения в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Elizabett2017

0

251

15 май 2017, 10:27

Найти интеграл. С помощью разложения в степенной ряд

в форуме Интегральное исчисление

ti_mka

0

322

09 дек 2013, 23:42

Найти все разложения ряда по степеням Х и область пригодност

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

mozhik

7

669

03 фев 2013, 02:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved