Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=61&t=69588
Страница 1 из 1

Автор:  Kipriot [ 30 апр 2020, 17:36 ]
Заголовок сообщения:  Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Дана функция f(x)=x. Требуется разложить её в неполный ряд Фурье на интервале (0;pi): а) по синусам; б) по косинусам.
Найти с помощью полученного разложения сумму ряда [math]1+ \frac{ 1 }{ 3^{2} } + \frac{ 1 }{ 5^{2} } + \ldots[/math]

У меня получилось разложение по синусам: [math]f(x)=\sum\limits_{n = 1}^{+ \infty }\frac{ 2 }{ n } \cdot \left( -1 \right)^{n+1} \cdot \sin{nx}[/math]
по косинусам: [math]f(x)=\frac{ \pi }{ 2 } - \frac{ 4 }{ \pi } \cdot \sum\limits_{n=1}^{+ \infty }\frac{ \cos{\left( 2n-1 \right) } \cdot x }{ \left( 2n-1 \right)^{2} }[/math]



Ошибка. Не туда

Автор:  Kipriot [ 30 апр 2020, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Дана функция f(x)=x. Требуется разложить её в неполный ряд Фурье на интервале [math]\left( 0; \pi \right)[/math]: а) по синусам; б) по косинусам.
Найти с помощью полученного разложения сумму ряда [math]1+ \frac{ 1 }{ 3^{2} } + \frac{ 1 }{ 5^{2} } + \ldots[/math]

У меня получилось разложение по синусам: [math]f(x)=\sum\limits_{n = 1}^{+ \infty }\frac{ 2 }{ n } \cdot \left( -1 \right)^{n+1} \cdot \sin{nx}[/math]

по косинусам: [math]f(x)=\frac{ \pi }{ 2 } - \frac{ 4 }{ \pi } \cdot \sum\limits_{n=1}^{+ \infty }\frac{ \cos{\left( 2n-1 \right) } \cdot x }{ \left( 2n-1 \right)^{2} }[/math]

Как теперь найти сумму ряда [math]1+ \frac{ 1 }{ 3^{2} } + \frac{ 1 }{ 5^{2} } + \ldots[/math] с помощью этих разложений?

Автор:  Andy [ 30 апр 2020, 18:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Вам для информации:

Изображение


Изображение

Автор:  searcher [ 30 апр 2020, 19:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Kipriot писал(а):
Как теперь найти сумму ряда [math]1+ \frac{ 1 }{ 3^{2} } + \frac{ 1 }{ 5^{2} } + \ldots[/math] с помощью этих разложений?

Просто подставьте в последнюю вашу формулу [math]x=0[/math] .

Автор:  Andy [ 30 апр 2020, 19:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

А перед подстановкой убедиться, что при разложении в ряд Фурье не было сделано ошибок.

Автор:  Kipriot [ 01 май 2020, 03:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Спасибо)

Автор:  Kipriot [ 01 май 2020, 04:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Разложение по синусам нам не подходит, потому что там n в знаменателе не в квадрате?

Автор:  Andy [ 01 май 2020, 07:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Kipriot
Да.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/