Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Переход от дискретной формулы ОДПФ к непрерывной
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=61&t=56571
Страница 1 из 1

Автор:  presto_agitato [ 11 ноя 2017, 00:16 ]
Заголовок сообщения:  Переход от дискретной формулы ОДПФ к непрерывной

Сразу скажу, что в математике я не силён. Задание - интерполировать функцию при помощи ДПФ.

Есть функция [math]S(x) = \exp{\frac{-x^2}{2}}[/math]. Пусть у нас задано [math]N = 16[/math] её отсчётов на отрезке [math]\left[ -4,4 \right][/math].

Необходимо получить её прямое и обратное дискретное преобразование Фурье.

Формулы известны:

ДПФ: [math]Y_k = \sum\limits_{n=0}^{N-1} y_n \cdot \exp{ -\frac{ i \cdot k \cdot n \cdot 2 \cdot \pi }{ N } }[/math]

ОДПФ: [math]y_n = \frac{ 1 }{ N } \sum\limits_{k=0}^{N-1} Y_k \cdot \exp{ \frac{ i \cdot k \cdot n \cdot 2 \cdot \pi }{ N } }[/math]

Реализую вычисления в maxima, если это важно.

Отсчёты [math]S(x)[/math] (зависимость функции от номера отсчёта):

Изображение

Результат ДПФ (зависимость функции от номера отсчёта):

Изображение

Результат ОДПФ (зависимость значения от номера отсчёта):

Изображение

Переход к непрерывной формуле ОДПФ. Вместо дискретных [math]n[/math], берём непрерывные [math]x[/math].

[math]y(x) = \frac{ 1 }{ N } \sum\limits_{k=0}^{N-1} Y_k \cdot \exp{ \frac{ i \cdot k \cdot x \cdot 2 \cdot \pi }{ N } }[/math]

Результат ОДПФ:

Изображение

Что-то не так?

Далее, изменим формулу ОДПФ, приведя её к виду

[math]y(x) = \frac{ 1 }{ N } ( Y_0 + 2 \cdot (\sum\limits_{k=1}^{\frac{ N }{ 2 } - 1} Re(Y_k) \cdot cos({ \frac{ 2 \cdot \pi \cdot k \cdot x }{ N } })-Im(Y_k) \cdot sin({ \frac{ 2 \cdot \pi \cdot k \cdot x }{ N } }))+Y_\frac{ N }{ 2 } \cdot cos(\pi \cdot x))[/math]

Получим также интересную картину:

Изображение

Где ошибка? По идее, при переходе к "непрерывной" формуле результат не должен так отличаться от дискретной формулы.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/