Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дисктертное синус-преобразование Фурье от второй производной
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=61&t=54237
Страница 1 из 1

Автор:  SergeiS [ 02 май 2017, 14:44 ]
Заголовок сообщения:  Дисктертное синус-преобразование Фурье от второй производной

Здравствуйте! Никак не могу уяснить для себя вывод формулы дискретного синус-преобразования от второй производной решетчатой функции. Вторая производная представлена аппроксимацией по конечно - разностной схеме. Начну по порядку. Имеется дифференциальное уравнение для функции [math]\upsilon \left( {x,z} \right)[/math]: [math]\frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} + 2 \cdot i \cdot k\frac{{\partial \upsilon }}{{\partial x}} = 0[/math] с граничными условиями [math]\upsilon \left( {x,0} \right) = \upsilon \left( {x,{z_{\max }}} \right) = 0[/math]. Это уравнение дискретизируется по z. Причем вторая производная по [math]z[/math] аппроксимируется по конечно - разностной схеме следующим образом:[math]\frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} \sim \frac{{\upsilon \left( {x,z + \Delta z} \right) + \upsilon \left( {x,z - \Delta z} \right) - 2 \cdot \upsilon \left( {x,z} \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]. Если обозначить дискретный оператор взятия второй производной по [math]z[/math] по конечно - разностной схеме как [math]D^2[/math], то, применяя его к последовательности значений исходной функции [math]\upsilon[/math], дискретизированной с шагом [math]\Delta z[/math], получим последовательность значений:
[math]{w_1}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _2}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _1}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]
[math]{w_j}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{j + 1}}\left( x \right) + {\upsilon _{j - 1}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _j}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]
[math]{w_{L - 1}}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{L - 2}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _{L - 1}}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]
Таким образом дискретное представление дифференциального уравнения будет выглядеть так:
[math]{D^2}\widetilde \upsilon \left( x \right) + 2 \cdot i \cdot k \cdot \frac{{\partial \widetilde \upsilon }}{{\partial x}} = 0[/math]
Далее необходимо применить к уравнению дискретное синус-преобразование [math]\widetilde W[/math]следующего вида:
[math]{U_l} = \sqrt {\frac{2}{L}} \cdot \sum_{j = 1}^{L - 1} {{\upsilon _j} \cdot \sin \left( {\frac{{\pi \cdot j \cdot l}}{L}} \right)}[/math]
Как утверждается в книге, если применить данное преобразование к дискретизированной версии второй производной, то есть [math]\widetilde W{D^2}\widetilde \upsilon[/math], то результирующая последовательность значений будет удовлетворять следующему соотношению:
[math]{W_l} = - 4 \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot l}}{{2 \cdot L}}} \right) \cdot {U_l}[/math]
где [math]{U_l}[/math] результат дискретного синус-преобразования от исходных значений дискретизированной функции [math]\widetilde \upsilon[/math].
Я никак не смог вывести данной соотношение. В книге перед данной формулой сказано следующее: "Rearranging terms, we write the discrete sine transform [math]\widetilde W[/math] of [math]{D^2}\widetilde \upsilon[/math] as". И далее конечная формула. Насколько я понимаю данная фраза говорит о том что мы меняем местами оператор дифференцирования и оператор дискретного синус-преобразования. При этом получается примерно следующее:
[math]{W_l} = \sum_{j = 1}^{L - 1} { - 4 \cdot {\upsilon _j} \cdot \sin (} \frac{{\pi \cdot j \cdot l}}{L}) \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot j}}{{2 \cdot L}}} \right)[/math]
Похоже я что - то недопонимаю. Буду рад любой подсказке и помощи. Заранее спасибо.

Автор:  SergeiS [ 03 май 2017, 15:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисктертное синус-преобразование Фурье от второй производной

Провел численный эксперимент в Mathcad и вяснилось что если дискретизировать функцию [math]f\left( x \right) = \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right)[/math] в интервале [math][0..\pi ][/math] то ни приведенная ни полученная мною формулы не подтверждаются. Окончательно не понимаю что происходит..

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/