Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дисктертное синус-преобразование Фурье от второй производной
СообщениеДобавлено: 02 май 2017, 15:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 фев 2017, 17:14
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Никак не могу уяснить для себя вывод формулы дискретного синус-преобразования от второй производной решетчатой функции. Вторая производная представлена аппроксимацией по конечно - разностной схеме. Начну по порядку. Имеется дифференциальное уравнение для функции [math]\upsilon \left( {x,z} \right)[/math]: [math]\frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} + 2 \cdot i \cdot k\frac{{\partial \upsilon }}{{\partial x}} = 0[/math] с граничными условиями [math]\upsilon \left( {x,0} \right) = \upsilon \left( {x,{z_{\max }}} \right) = 0[/math]. Это уравнение дискретизируется по z. Причем вторая производная по [math]z[/math] аппроксимируется по конечно - разностной схеме следующим образом:[math]\frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} \sim \frac{{\upsilon \left( {x,z + \Delta z} \right) + \upsilon \left( {x,z - \Delta z} \right) - 2 \cdot \upsilon \left( {x,z} \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]. Если обозначить дискретный оператор взятия второй производной по [math]z[/math] по конечно - разностной схеме как [math]D^2[/math], то, применяя его к последовательности значений исходной функции [math]\upsilon[/math], дискретизированной с шагом [math]\Delta z[/math], получим последовательность значений:
[math]{w_1}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _2}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _1}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]
[math]{w_j}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{j + 1}}\left( x \right) + {\upsilon _{j - 1}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _j}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]
[math]{w_{L - 1}}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{L - 2}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _{L - 1}}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}[/math]
Таким образом дискретное представление дифференциального уравнения будет выглядеть так:
[math]{D^2}\widetilde \upsilon \left( x \right) + 2 \cdot i \cdot k \cdot \frac{{\partial \widetilde \upsilon }}{{\partial x}} = 0[/math]
Далее необходимо применить к уравнению дискретное синус-преобразование [math]\widetilde W[/math]следующего вида:
[math]{U_l} = \sqrt {\frac{2}{L}} \cdot \sum_{j = 1}^{L - 1} {{\upsilon _j} \cdot \sin \left( {\frac{{\pi \cdot j \cdot l}}{L}} \right)}[/math]
Как утверждается в книге, если применить данное преобразование к дискретизированной версии второй производной, то есть [math]\widetilde W{D^2}\widetilde \upsilon[/math], то результирующая последовательность значений будет удовлетворять следующему соотношению:
[math]{W_l} = - 4 \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot l}}{{2 \cdot L}}} \right) \cdot {U_l}[/math]
где [math]{U_l}[/math] результат дискретного синус-преобразования от исходных значений дискретизированной функции [math]\widetilde \upsilon[/math].
Я никак не смог вывести данной соотношение. В книге перед данной формулой сказано следующее: "Rearranging terms, we write the discrete sine transform [math]\widetilde W[/math] of [math]{D^2}\widetilde \upsilon[/math] as". И далее конечная формула. Насколько я понимаю данная фраза говорит о том что мы меняем местами оператор дифференцирования и оператор дискретного синус-преобразования. При этом получается примерно следующее:
[math]{W_l} = \sum_{j = 1}^{L - 1} { - 4 \cdot {\upsilon _j} \cdot \sin (} \frac{{\pi \cdot j \cdot l}}{L}) \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot j}}{{2 \cdot L}}} \right)[/math]
Похоже я что - то недопонимаю. Буду рад любой подсказке и помощи. Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дисктертное синус-преобразование Фурье от второй производной
СообщениеДобавлено: 03 май 2017, 16:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 фев 2017, 17:14
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Провел численный эксперимент в Mathcad и вяснилось что если дискретизировать функцию [math]f\left( x \right) = \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right)[/math] в интервале [math][0..\pi ][/math] то ни приведенная ни полученная мною формулы не подтверждаются. Окончательно не понимаю что происходит..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Косинус и Синус преобразование Фурье,вопрос по интегралам

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

hatefiles

0

133

03 май 2016, 21:53

Синус-преобразование

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

grm

4

345

30 май 2013, 11:51

График второй производной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rin

1

448

17 янв 2013, 00:04

Ряд фпурье, косинус и синус преобразование функции

в форуме Ряды

liliana

1

303

26 дек 2013, 09:53

Найти значение второй производной в точке

в форуме Дифференциальное исчисление

Vikushevaa

1

287

11 июн 2013, 16:31

Простое выражение для второй производной по индексу Бесселя

в форуме Дифференциальное исчисление

lan1967

0

97

11 апр 2015, 14:03

Исследование функции с помощью первой и второй производной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

marinyshka

5

200

24 окт 2015, 13:39

Равенство нулю второй производной ограниченной функции

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

anpe0681

3

142

26 янв 2017, 02:49

Правая разностная схема с использованием второй производной

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

stut

3

173

05 сен 2014, 09:50

Ряд Фурье, как расписать синус

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Terpariz

4

734

22 янв 2013, 19:04


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved