Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
cowboy11 |
|
|
[math]\sum\limits_{j=0}^{z-1}[/math][math]\cos{(j \cdot \frac{ 2 \pi k }{ z } )} = \left\{\!\begin{aligned} & 0, k \mod z \ne 0 \\ & z, \frac{ k }{ z } = 1,2,3 \ldots \end{aligned}\right.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
Итак, [math]\frac{ k }{ z }[/math] не является целым. Рассмотрим комплексное уравнение:
[math]{x^z} = 1[/math] [math]{x_j} = r\left( {\cos \frac{{\varphi + 2\pi j}} {z} + i\sin \frac{{\varphi + 2\pi j}} {z}} \right) = \cos \frac{{2\pi j}} {z} + i\sin \frac{{2\pi j}} {z},j = 0 \ldots z - 1[/math] По теореме Виета, актуальной для комплексных чисел, имеем [math]\sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {{x_j}} = 0[/math] , так как коэффициент при степени 1 исходного уравнения равен нулю. Для k = 1 доказано. Теперь можно рассмотреть эту сумму в степени k > 1. Тогда придём к той сумме, что была дана изначально, но не уверен, что можно что-то из этого извлечь |
||
Вернуться к началу | ||
Student Studentovich |
|
|
cowboy11
Есть ли Вы знаете формулу Эйлера [math]e^{ix}=\cos x+i\sin x[/math]? можно перейти к экспонентам, а там воспользоваться формулой геометрической прогрессии. |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
О, ещё лучше придумал. Надо взять сумму
[math]A = \sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\cos \frac{{2\pi jk}} {z}}[/math] И умножить её на следующий косинус: [math]A\cos \frac{{2\pi k}} {z} = \sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\cos \frac{{2\pi jk}} {z}} \cos \frac{{2\pi k}} {z} = \frac{1} {2}\sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\left( {\cos (j - 1)\frac{{2\pi k}} {z} + \cos (j + 1)\frac{{2\pi k}} {z}} \right)} =[/math] Здесь нужно смекнуть, что точки [math]{\frac{{2\pi jk}} {z}}[/math] были расположены на k полных кругах с одинаковым шагом. И в полученной сумме мы сдвинули их сначала влево на 1 шаг, затем вправо на 1 шаг, но они снова перешли в себя же. Так что: [math]= \sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\cos \frac{{2\pi jk}} {z}} = A[/math] Следовательно [math]\begin{gathered} A\cos \frac{{2\pi k}} {z} = A \hfill \\ A = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math] P.S.: тут же сработало условие на кратность k и z - только в этом случае косинус равен единице и данное уравнение не даёт нам значения A) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали: cowboy11 |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сумма Косинусов равна
в форуме Тригонометрия |
11 |
1185 |
12 июн 2014, 22:26 |
|
Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна четвертая степен
в форуме Теория чисел |
1 |
320 |
01 апр 2020, 14:23 |
|
Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу
в форуме Теория чисел |
5 |
934 |
14 мар 2017, 22:00 |
|
Сумма синусов , сумма косинусов
в форуме Тригонометрия |
6 |
1299 |
19 мар 2016, 20:27 |
|
Сумма косинусов
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
3 |
651 |
27 авг 2014, 09:45 |
|
Сумма чисел равна их произведению
в форуме Алгебра |
7 |
2348 |
16 дек 2016, 12:03 |
|
Чему равна сумма модулей?
в форуме Алгебра |
5 |
793 |
21 янв 2015, 16:18 |
|
Вероятность того, что сумма с. в. равна нулю
в форуме Теория вероятностей |
17 |
374 |
02 ноя 2019, 15:05 |
|
Вектор, сумма элементов которого равна 1
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
262 |
23 янв 2017, 10:08 |
|
Чему равна сумма делимого и делителя?
в форуме Алгебра |
1 |
589 |
24 ноя 2014, 20:35 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |