Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма косинусов равна 0.
СообщениеДобавлено: 05 янв 2017, 04:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 янв 2017, 03:50
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хочу применить данную формулу для того ,что бы упростить разложение в ряд Фурье, но не могу доказать её истинность. Понял пока только как доказать второй вариант значения данной суммы. Помогите доказать первый вариант(сумма косинусов равна нулю при k не кратно z). k,z - целые числа в интервале от 1 до бесконечности.
[math]\sum\limits_{j=0}^{z-1}[/math][math]\cos{(j \cdot \frac{ 2 \pi k }{ z } )} = \left\{\!\begin{aligned}
& 0, k \mod z \ne 0 \\
& z, \frac{ k }{ z } = 1,2,3 \ldots
\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма косинусов равна 0.
СообщениеДобавлено: 05 янв 2017, 23:21 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 17:52
Сообщений: 702
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 93
Спасибо получено:
205 раз в 188 сообщениях
Очков репутации: 117

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Итак, [math]\frac{ k }{ z }[/math] не является целым. Рассмотрим комплексное уравнение:

[math]{x^z} = 1[/math]
[math]{x_j} = r\left( {\cos \frac{{\varphi + 2\pi j}}
{z} + i\sin \frac{{\varphi + 2\pi j}}
{z}} \right) = \cos \frac{{2\pi j}}
{z} + i\sin \frac{{2\pi j}}
{z},j = 0 \ldots z - 1[/math]


По теореме Виета, актуальной для комплексных чисел, имеем

[math]\sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {{x_j}} = 0[/math]

, так как коэффициент при степени 1 исходного уравнения равен нулю. Для k = 1 доказано.
Теперь можно рассмотреть эту сумму в степени k > 1. Тогда придём к той сумме, что была дана изначально, но не уверен, что можно что-то из этого извлечь

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма косинусов равна 0.
СообщениеДобавлено: 05 янв 2017, 23:33 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 778
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
cowboy11
Есть ли Вы знаете формулу Эйлера [math]e^{ix}=\cos x+i\sin x[/math]? можно перейти к экспонентам, а там воспользоваться формулой геометрической прогрессии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма косинусов равна 0.
СообщениеДобавлено: 05 янв 2017, 23:34 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 17:52
Сообщений: 702
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 93
Спасибо получено:
205 раз в 188 сообщениях
Очков репутации: 117

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О, ещё лучше придумал. Надо взять сумму

[math]A = \sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\cos \frac{{2\pi jk}}
{z}}[/math]


И умножить её на следующий косинус:

[math]A\cos \frac{{2\pi k}}
{z} = \sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\cos \frac{{2\pi jk}}
{z}} \cos \frac{{2\pi k}}
{z} = \frac{1}
{2}\sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\left( {\cos (j - 1)\frac{{2\pi k}}
{z} + \cos (j + 1)\frac{{2\pi k}}
{z}} \right)} =[/math]


Здесь нужно смекнуть, что точки [math]{\frac{{2\pi jk}}
{z}}[/math]
были расположены на k полных кругах с одинаковым шагом. И в полученной сумме мы сдвинули их сначала влево на 1 шаг, затем вправо на 1 шаг, но они снова перешли в себя же. Так что:

[math]= \sum\limits_{j = 0}^{z - 1} {\cos \frac{{2\pi jk}}
{z}} = A[/math]


Следовательно

[math]\begin{gathered}
A\cos \frac{{2\pi k}}
{z} = A \hfill \\
A = 0 \hfill \\
\end{gathered}[/math]


P.S.: тут же сработало условие на кратность k и z - только в этом случае косинус равен единице и данное уравнение не даёт нам значения A)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали:
cowboy11
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма Косинусов равна

в форуме Тригонометрия

alinochka

11

722

12 июн 2014, 23:26

Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу

в форуме Алгебра

johnson

4

187

14 мар 2017, 23:00

Сумма синусов , сумма косинусов

в форуме Тригонометрия

dexforint

6

231

19 мар 2016, 21:27

Сумма косинусов

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Njkzy

3

395

27 авг 2014, 10:45

Сумма косинусов, где аргументы составляют арифм. прогрессию

в форуме Тригонометрия

spirt1g

4

594

14 мар 2013, 22:19

Чему равна сумма?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Syusha

2

430

20 мар 2013, 17:43

Чему равна сумма модулей?

в форуме Алгебра

Ivanko

5

342

21 янв 2015, 17:18

Сумма чисел равна их произведению

в форуме Алгебра

Solopa

7

221

16 дек 2016, 13:03

Вектор, сумма элементов которого равна 1

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

walruz

3

81

23 янв 2017, 11:08

Чему равна сумма делимого и делителя?

в форуме Алгебра

oksi

1

229

24 ноя 2014, 21:35


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved