Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2016, 19:45 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 16:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Есть задание: Построить график функции f(x), убедиться, что она удовлетворяет условиям Дирихле с последующим разложением в ряд Фурье.

[math]F(x)=\left\{\!\begin{aligned}
& 4-x, x \in (-3;0) \\
& 2, x \in (0;3)
\end{aligned}\right.[/math]


График функции построила, как поняла из условия.

Изображение

А вот дальше я не понимаю, как я должна показать, что функция удовлетворяет условиям Дирихле? У меня даны два промежутка и оба не включают в себя точки.
Меня интересует разрыв x = 0?

В общем, я не понимаю сути. Буду очень признательна, если кто-нибудь подскажет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2016, 22:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
paradise писал(а):
А вот дальше я не понимаю, как я должна показать, что функция удовлетворяет условиям Дирихле?


И что это за условия? Какое именно вызывает трудность?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 08:25 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 16:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если я правильно понимаю, то речь идет о двух условиях: кусочной монотонности и кусочной непрерывности.

Моя функция кусочно непрерывна на сегменте [math]\left( -3;3 \right)[/math] с единственной точкой разрыва [math]x=0[/math]. Не понимаю, нужно мне это как-то доказывать или нет.

А как быть с монотонностью? Мне нужно рассмотреть пределы?
[math]\lim_{x \to c-0} = f\left( c - 0 \right)[/math]
[math]\lim_{x \to ^{\circ+}} = f\left( c + 0 \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 11:19 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 16:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функцию в ряд разложила, но опять же, меня смущает то, что у меня интервал не включает конечные точки. Могу ли я так делать?

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 12:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В точках разрыва ряд Фурье сходится к среднему арифметическому между левосторонним и правосторонним пределами функции, поэтому само значение в этой точке по сути не нужно.
paradise писал(а):
Если я правильно понимаю, то речь идет о двух условиях: кусочной монотонности и кусочной непрерывности.

Вы забыли еще про ограниченность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 13:07 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 16:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
В точках разрыва ряд Фурье сходится к среднему арифметическому между левосторонним и правосторонним пределами функции, поэтому само значение в этой точке по сути не нужно.
paradise писал(а):
Если я правильно понимаю, то речь идет о двух условиях: кусочной монотонности и кусочной непрерывности.

Вы забыли еще про ограниченность.


Да, вы правы. Правильно я понимаю, что ограниченность у меня следует из самого условия. Как раз те самые интервалы (-3;0) и (0;3) ?

И я вот написала, что у меня одна точка разрыва, а потом задумалась, а не три ли случайно? У меня ведь 3 и -3 не включены в промежуток?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 13:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
paradise писал(а):
Правильно я понимаю, что ограниченность у меня следует из самого условия.

Не больше чем кусочные монотонность и непрерывность.

Если функции отличаются значениями в конечном числе точек, то они имеют один и тот же ряд Фурье. Поэтому значениями на концах интервала не заморачиваются, при необходимости их можно проставить по непрерывности

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 14:35 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 16:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
paradise писал(а):
Правильно я понимаю, что ограниченность у меня следует из самого условия.

Не больше чем кусочные монотонность и непрерывность.


Значит, все-таки не следует.
Так, пытаюсь резюмировать и продвинуться дальше, для функции нужно проверить 3 условия:

1. Монотонность
2. Непрерывность
3. Ограниченность

Ну вот по отдельности f(x) = 4-x и f(x) = 2 очевидно, что монотонны и непрерывны. А вместе? У меня же система, как я должна доказать?
И я не понимаю, чем у меня они ограничены. f(x) = 4-x и f(x) = 2 не ограничены, разве что интервалами из условий. В общем, все, засела в лужу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 16:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функции рассматриваются на своей области определения. В данном случае на интервале (-3;3). На этом интервале функция очевидно ограничена. На интервалах (-3;0) и (0;3) функция монотонна и непрерывна.. Значит она кусочно непрерывна и кусочно монотонна, т.е. состоит из конечного числа монотонных и непрерывных функций.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
paradise
 Заголовок сообщения: Re: Условия Дирихле
СообщениеДобавлено: 03 ноя 2016, 18:09 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 16:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Функции рассматриваются на своей области определения. В данном случае на интервале (-3;3). На этом интервале функция очевидно ограничена. На интервалах (-3;0) и (0;3) функция монотонна и непрерывна.. Значит она кусочно непрерывна и кусочно монотонна, т.е. состоит из конечного числа монотонных и непрерывных функций.


Спасибо большое :Rose: , я почему-то думала, что все должно быть сложнее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Признак Дирихле

в форуме Ряды

lena01

5

195

26 окт 2023, 14:00

Функция Дирихле

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Einstein

5

621

14 дек 2016, 17:34

Свертка Дирихле

в форуме Теория чисел

arbuz300

1

733

18 янв 2015, 20:07

Принцип Дирихле

в форуме Теория чисел

silversurficus

9

524

13 июл 2021, 14:57

Принцип Дирихле

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Rosenrot

3

584

25 янв 2015, 23:47

Как произвести триангуляцию по Дирихле?

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

rny

1

351

18 ноя 2015, 08:12

Задача Дирихле для круга

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

yapyanchzhanchzhen

1

221

20 май 2019, 21:28

Интегрирование функции Дирихле

в форуме Интегральное исчисление

vrnvorona

2

291

27 июн 2017, 22:09

Теорема Дирихле о приближениях

в форуме Теория чисел

dserp18

2

194

13 май 2022, 14:14

Геометрическая задача на принцип Дирихле?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

avallon

5

883

22 мар 2017, 21:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved