Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложить в ряд Фурье и построить график
СообщениеДобавлено: 16 мар 2011, 22:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 мар 2011, 21:20
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу о помощи

1. [math]f(x) = e^x[/math] задана на [math][-\pi;\pi][/math]

2. [math]f(x)[/math] задана на сегменте [math][ - l;l][/math] и определяется [math]f(x)=\begin{cases}0,& - l \leqslant x \leqslant 0 \\ x,& 0 < x \leqslant l/2\\1/2, & l/2 < x \leqslant l \end{cases}[/math]

3. [math]f(x)=\pi-2x[/math] на [math][0;\pi)[/math] Продолжить f(x) на [math][-\pi;0][/math] нечетным образом.
Полученные функции разложить в ряд фурье

Заранее спасибо, обещаю помогать другим в темах, в которых я разобрался :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить в ряд Фурье и построить график
СообщениеДобавлено: 17 мар 2011, 00:09 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. [math]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^xdx=\frac{1}{\pi}e^x \Bigr|_{-\pi}^{\pi}=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}=\frac{2}{\pi}sh(\pi)[/math]

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx[/math]

[math]u=e^x,dv=\cos{(nx)},du=e^x,v=\frac{1}{n}\sin{(nx)}[/math]

[math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=uv\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}vdu=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}dx[/math]

[math]u=e^x,dv=\sin{(nx)},du=e^x,v=-\frac{1}{n}\cos{(nx)}[/math]

[math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}dx[/math]

т.о. [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx[/math], откуда

[math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx+\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}[/math]

[math]\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{e^{\pi}}{n}\sin{(n\pi)}-\frac{e^{-\pi}}{n}\sin{(-n\pi)}+\frac{e^{\pi}}{n^2}\cos{(n\pi)}-\frac{e^{-\pi}}{n^2}\cos{(-n\pi)}[/math]

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\frac{n^2}{1+n^2}\frac{1}{n^2}(e^{\pi}-e^{-\pi})\cos{(n\pi)}=\frac{(-1)^{n-1}\cdot 2 sh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/math]

[math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx[/math]

[math]u=e^x,dv=\sin{(nx)},du=e^x,v=-\frac{1}{n}\cos{(nx)}[/math]

[math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=uv\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}vdu=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}dx[/math]

[math]u=e^x,dv=\cos{(nx)},du=e^x,v=\frac{1}{n}\sin{(nx)}[/math]

[math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}dx[/math]

т.о. [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx[/math], откуда
[math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx+\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}[/math]

[math]\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=-\frac{e^{\pi}}{n}\cos{(n\pi)}+\frac{e^{-\pi}}{n}\cos{(-n\pi)}+\frac{e^{\pi}}{n^2}\sin{(n\pi)}-\frac{e^{-\pi}}{n^2}\sin{(-n\pi)}[/math]

[math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\frac{n^2}{1+n^2}\frac{1}{n}(e^{-\pi}-e^{\pi})\cos{(n\pi)}=\frac{(-1)^n\cdot 2n sh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/math]

[math]f(x)\sim \frac{sh(\pi)}{\pi}+\frac{2sh(\pi)}{\pi}\sum_1^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\cos{(nx)}-n\sin{(nx)}}{1+n^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
hexploy
 Заголовок сообщения: Re: Разложить в ряд Фурье и построить график
СообщениеДобавлено: 03 янв 2012, 12:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2012, 12:25
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Должен поправить ответ. Т.к. cos(pi*n)=(-1)^n, то и в окончательном ответе -1 должна быть в степени n. Это существенно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить в ряд Фурье и построить график
СообщениеДобавлено: 03 янв 2012, 18:00 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
olegpo
Эта минус единица в ответе стоит между синусом и косинусом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить в ряд фурье и построить график

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

gosha1997

0

375

10 дек 2016, 19:41

Разложить на отрезке[-п;п] в ряд Фурье и построить график

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

LARISA18

3

542

05 фев 2017, 19:48

Разложить в ряд Фурье и построить график суммы

в форуме Ряды

Knight_of_Light

4

700

19 июн 2016, 17:54

Разложить в ряд Фурье по косинусам и построить график суммы

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

perigeliq

1

438

12 янв 2020, 18:49

Разложить функцию в ряд фурье по синусам и построить график

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

ANATOLY-GA-GA

1

835

02 ноя 2015, 12:47

Построить График ряда фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

joygastell

0

457

16 дек 2017, 17:31

По заданной функции построить ряд фурье и изобразить график

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

crazywolf

0

442

18 дек 2016, 13:46

Изобразить интегралом Фурье функцию и построить график

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

chert12

1

706

07 апр 2015, 19:37

Разложить в ряд Фурье и построить спектр амплитуд

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

evaf

1

1052

06 июн 2014, 12:07

Затрудняюсь построить график функции и суммы ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

footbolistka

1

357

08 июн 2020, 15:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved