Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
hexploy |
|
|
1. [math]f(x) = e^x[/math] задана на [math][-\pi;\pi][/math] 2. [math]f(x)[/math] задана на сегменте [math][ - l;l][/math] и определяется [math]f(x)=\begin{cases}0,& - l \leqslant x \leqslant 0 \\ x,& 0 < x \leqslant l/2\\1/2, & l/2 < x \leqslant l \end{cases}[/math] 3. [math]f(x)=\pi-2x[/math] на [math][0;\pi)[/math] Продолжить f(x) на [math][-\pi;0][/math] нечетным образом. Полученные функции разложить в ряд фурье Заранее спасибо, обещаю помогать другим в темах, в которых я разобрался |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
1. [math]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^xdx=\frac{1}{\pi}e^x \Bigr|_{-\pi}^{\pi}=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}=\frac{2}{\pi}sh(\pi)[/math]
[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx[/math] [math]u=e^x,dv=\cos{(nx)},du=e^x,v=\frac{1}{n}\sin{(nx)}[/math] [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=uv\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}vdu=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}dx[/math] [math]u=e^x,dv=\sin{(nx)},du=e^x,v=-\frac{1}{n}\cos{(nx)}[/math] [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}dx[/math] т.о. [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx[/math], откуда [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx+\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}[/math] [math]\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{e^{\pi}}{n}\sin{(n\pi)}-\frac{e^{-\pi}}{n}\sin{(-n\pi)}+\frac{e^{\pi}}{n^2}\cos{(n\pi)}-\frac{e^{-\pi}}{n^2}\cos{(-n\pi)}[/math] [math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\frac{n^2}{1+n^2}\frac{1}{n^2}(e^{\pi}-e^{-\pi})\cos{(n\pi)}=\frac{(-1)^{n-1}\cdot 2 sh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/math] [math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx[/math] [math]u=e^x,dv=\sin{(nx)},du=e^x,v=-\frac{1}{n}\cos{(nx)}[/math] [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=uv\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}vdu=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}dx[/math] [math]u=e^x,dv=\cos{(nx)},du=e^x,v=\frac{1}{n}\sin{(nx)}[/math] [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{(nx)}=\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^x}{n}\sin{(nx)}dx[/math] т.о. [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx[/math], откуда [math]\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx+\frac{1}{n^2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{e^x}{n^2}\sin{(nx)}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}[/math] [math]\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=-\frac{e^{\pi}}{n}\cos{(n\pi)}+\frac{e^{-\pi}}{n}\cos{(-n\pi)}+\frac{e^{\pi}}{n^2}\sin{(n\pi)}-\frac{e^{-\pi}}{n^2}\sin{(-n\pi)}[/math] [math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{(nx)}dx=\frac{1}{\pi}\frac{n^2}{1+n^2}\frac{1}{n}(e^{-\pi}-e^{\pi})\cos{(n\pi)}=\frac{(-1)^n\cdot 2n sh(\pi)}{\pi(1+n^2)}[/math] [math]f(x)\sim \frac{sh(\pi)}{\pi}+\frac{2sh(\pi)}{\pi}\sum_1^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\cos{(nx)}-n\sin{(nx)}}{1+n^2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: hexploy |
||
olegpo |
|
|
Должен поправить ответ. Т.к. cos(pi*n)=(-1)^n, то и в окончательном ответе -1 должна быть в степени n. Это существенно.
|
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
olegpo
Эта минус единица в ответе стоит между синусом и косинусом. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложить в ряд фурье и построить график | 0 |
375 |
10 дек 2016, 19:41 |
|
Разложить на отрезке[-п;п] в ряд Фурье и построить график | 3 |
542 |
05 фев 2017, 19:48 |
|
Разложить в ряд Фурье и построить график суммы
в форуме Ряды |
4 |
700 |
19 июн 2016, 17:54 |
|
Разложить в ряд Фурье по косинусам и построить график суммы | 1 |
438 |
12 янв 2020, 18:49 |
|
Разложить функцию в ряд фурье по синусам и построить график | 1 |
835 |
02 ноя 2015, 12:47 |
|
Построить График ряда фурье | 0 |
457 |
16 дек 2017, 17:31 |
|
По заданной функции построить ряд фурье и изобразить график | 0 |
442 |
18 дек 2016, 13:46 |
|
Изобразить интегралом Фурье функцию и построить график | 1 |
706 |
07 апр 2015, 19:37 |
|
Разложить в ряд Фурье и построить спектр амплитуд | 1 |
1052 |
06 июн 2014, 12:07 |
|
Затрудняюсь построить график функции и суммы ряда Фурье | 1 |
357 |
08 июн 2020, 15:44 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |