Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Slash90 |
|
|
Помогите, пожалуйста, разложить в ряд Фурье: [math]f(x)=\begin{cases}-1, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ x-2,&1 \leqslant x \leqslant 2.\end{cases}[/math] Заранее благодарю) |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
[math]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\!\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)[/math]
[math]a_0=\frac{1}{l}\int\limits_0^{2l}f(x)\,dx=-\int\limits_0^1dx+\int\limits_1^2(x-2)\,dx=-1+\left.{\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)}\right|_1^2=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}[/math] [math]\begin{aligned}a_n&=\frac{1}{l}\int\limits_0^{2l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx=-\int\limits_0^1\cos(n\pi x)\,dx+\int\limits_1^2(x-2)\cos(n\pi x)\,dx=\\[2pt] &=\left.{-\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)}\right|_0^1+\left.{\frac{x-2}{n\pi}\sin(n\pi x)}\right|_1^2-\frac{1}{n\pi}\int\limits_1^2{\sin(n\pi x)\,dx}=\\[2pt] &=-0+0+\left.{\frac{1}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x)}\right|_1^2=\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}\end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned} b_n&=\frac{1}{l}\int\limits_0^{2l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx=-\int\limits_0^1\sin(n\pi x)\,dx+\int\limits_1^2(x-2)\sin(n\pi x)\,dx=\\[2pt] &=\left.{\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)}\right|_0^1-\left.{\frac{x-2}{n\pi}\cos(n\pi x)}\right|_1^2+\frac{1}{n\pi}\int\limits_1^2\cos(n\pi x)\,dx=\\[2pt] &=\frac{(-1)^n-1}{n\pi}-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\left.{\frac{1}{n^2\pi^2}\sin(n\pi x)}\right|_1^2=-\frac{1}{n\pi}\end{aligned}[/math] Итак, окончательно имеем: [math]f(x)=-\frac{3}{4}+\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty\!\left(\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi}\cos(n\pi x)-\frac{1}{n}\sin(n\pi x)\right)\!,~x\in[0;2][/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложить в ряд Фурье
в форуме Ряды |
0 |
294 |
24 дек 2015, 10:26 |
|
Разложить в ряд Фурье | 0 |
493 |
01 июн 2014, 17:51 |
|
Разложить в ряд фурье | 1 |
369 |
24 дек 2016, 13:42 |
|
Разложить в ряд Фурье
в форуме Ряды |
2 |
392 |
05 ноя 2014, 14:55 |
|
Разложить в ряд Фурье
в форуме Ряды |
1 |
400 |
14 ноя 2014, 23:41 |
|
Разложить в Ряд Фурье | 1 |
657 |
14 апр 2015, 02:01 |
|
Разложить в ряд Фурье | 0 |
441 |
27 дек 2016, 19:15 |
|
Разложить в ряд Фурье | 1 |
618 |
16 июн 2015, 15:17 |
|
Разложить в ряд Фурье
в форуме Ряды |
0 |
246 |
15 ноя 2017, 19:37 |
|
Разложить в ряд Фурье | 4 |
730 |
03 авг 2014, 11:10 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |