Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Metrika |
|
||
[math]f(x)=\begin{cases}\sin{x},&\!\mbox{if}\quad{x}\in[0;\pi]\\0,&\!\mbox{if}\quad{x}\notin[0;\pi]\end{cases}[/math] Я только понимаю, что надо использовать синус-преобразование Фурье, так функция нечетная. Но не знаю, как использовать формулу |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Ваша функция не обладает свойством нечётности.
[math]F(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{-itx}f(x)\,dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi{e^{-itx}\sin{x}\,dx}=[/math] [math]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\pi}{e^{-itx}\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}dx=\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\pi}\Bigl(e^{ix(1-t)}-e^{-ix(1+t)}\Bigl)dx[/math] Вычислив интеграл, получим [math]\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\left.{\left(\frac{e^{ix(1-t)}}{i(1-t)}+\frac{e^{-ix(1+t)}}{i(1+t)}\right)}\right|_0^\pi[/math] [math]=\frac{-1}{2\sqrt{2\pi}}\left(\frac{e^{i\pi(1-t)}}{1-t}+\frac{e^{-i\pi(1+t)}}{1+t}-\frac{2}{1-t^2}\right)=\frac{1-\sin(\pi{t})-i\cos(\pi{t})}{\sqrt{2\pi}(1-t^2)}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Metrika |
|
|
Prokop писал(а): Ваша функция не обладает свойством нечётности. [math]F(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{-itx}f(x)\,dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi{e^{-itx}\sin{x}\,dx}=[/math] [math]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi{e^{-itx}\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,dx=\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi\Bigl(e^{ix(1-t)}-e^{-ix(1+t)}\Bigl)dx[/math] Вычислив интеграл, получим [math]\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\left.{\left(\frac{e^{ix(1-t)}}{i(1-t)}+\frac{e^{-ix(1+t)}}{i(1+t)}\right)}\right|_0^\pi[/math] [math]=\frac{-1}{2\sqrt{2\pi}}\left(\frac{e^{i\pi(1-t)}}{1-t}+\frac{e^{-i\pi(1+t)}}{1+t}-\frac{2}{1-t^2}\right)=\frac{1-\sin(\pi{t})-i\cos(\pi{t})}{\sqrt{2\pi}(1-t^2)}[/math] Великолепно! Спасибо огромное, Prokop! Действительно, функция не является нечётной - задана же от ноля до пи, а не от минус пи до плюс пи. Ещё раз спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
igrodnitskii |
|
|
Добрый день!
Возможно ли продублировать решение данного примера с полным решением. Если можно - с комментариями. Почему-то не отображается промежуточное решение. Спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Преобразование Фурье | 0 |
567 |
15 май 2014, 00:40 |
|
Преобразование Фурье | 0 |
496 |
14 дек 2016, 19:23 |
|
Преобразование Фурье | 2 |
607 |
08 июл 2016, 13:11 |
|
Преобразование Фурье | 2 |
810 |
18 июн 2014, 21:10 |
|
Косинус-преобразование Фурье | 1 |
494 |
15 май 2017, 10:15 |
|
Дискретное преобразование Фурье | 0 |
355 |
17 апр 2017, 19:54 |
|
Обратное преобразование Фурье | 9 |
824 |
05 апр 2015, 22:02 |
|
Выполнить преобразование Фурье | 1 |
136 |
27 май 2023, 09:26 |
|
дискретное преобразование Фурье
в форуме Численные методы |
0 |
302 |
08 апр 2016, 19:44 |
|
Преобразование Фурье для функции | 3 |
384 |
14 июн 2023, 08:20 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |