Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Преобразование Фурье y=sin(x) if xЄ[0;pi], y=0 other cases
СообщениеДобавлено: 11 апр 2010, 11:30 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 апр 2010, 10:38
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти преобразование Фурье для этой функции

[math]f(x)=\begin{cases}\sin{x},&\!\mbox{if}\quad{x}\in[0;\pi]\\0,&\!\mbox{if}\quad{x}\notin[0;\pi]\end{cases}[/math]

Я только понимаю, что надо использовать синус-преобразование Фурье, так функция нечетная.
Но не знаю, как использовать формулу :blush:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование Фурье y=sin(x) if xЄ[0;pi], y=0 other cases
СообщениеДобавлено: 11 апр 2010, 12:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваша функция не обладает свойством нечётности.

[math]F(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{-itx}f(x)\,dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi{e^{-itx}\sin{x}\,dx}=[/math]

[math]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\pi}{e^{-itx}\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}dx=\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{\pi}\Bigl(e^{ix(1-t)}-e^{-ix(1+t)}\Bigl)dx[/math]

Вычислив интеграл, получим

[math]\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\left.{\left(\frac{e^{ix(1-t)}}{i(1-t)}+\frac{e^{-ix(1+t)}}{i(1+t)}\right)}\right|_0^\pi[/math]
[math]=\frac{-1}{2\sqrt{2\pi}}\left(\frac{e^{i\pi(1-t)}}{1-t}+\frac{e^{-i\pi(1+t)}}{1+t}-\frac{2}{1-t^2}\right)=\frac{1-\sin(\pi{t})-i\cos(\pi{t})}{\sqrt{2\pi}(1-t^2)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование Фурье y=sin(x) if xЄ[0;pi], y=0 other cases
СообщениеДобавлено: 14 апр 2010, 16:42 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 апр 2010, 10:38
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Ваша функция не обладает свойством нечётности.

[math]F(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{e^{-itx}f(x)\,dx}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi{e^{-itx}\sin{x}\,dx}=[/math]

[math]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi{e^{-itx}\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,dx=\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\pi\Bigl(e^{ix(1-t)}-e^{-ix(1+t)}\Bigl)dx[/math]

Вычислив интеграл, получим

[math]\frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\left.{\left(\frac{e^{ix(1-t)}}{i(1-t)}+\frac{e^{-ix(1+t)}}{i(1+t)}\right)}\right|_0^\pi[/math] [math]=\frac{-1}{2\sqrt{2\pi}}\left(\frac{e^{i\pi(1-t)}}{1-t}+\frac{e^{-i\pi(1+t)}}{1+t}-\frac{2}{1-t^2}\right)=\frac{1-\sin(\pi{t})-i\cos(\pi{t})}{\sqrt{2\pi}(1-t^2)}[/math]


Великолепно! Спасибо огромное, Prokop!
:bravo:
Действительно, функция не является нечётной - задана же от ноля до пи, а не от минус пи до плюс пи.
Ещё раз спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразование Фурье y=sin(x) if xЄ[0;pi], y=0 other cases
СообщениеДобавлено: 20 июн 2018, 15:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 июн 2018, 15:17
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!

Возможно ли продублировать решение данного примера с полным решением. Если можно - с комментариями.
Почему-то не отображается промежуточное решение.

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

befree666

0

567

15 май 2014, 00:40

Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

timdeygun

0

496

14 дек 2016, 19:23

Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Ksenobite

2

607

08 июл 2016, 13:11

Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Wersel

2

810

18 июн 2014, 21:10

Косинус-преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Elizabett2017

1

494

15 май 2017, 10:15

Дискретное преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

EDM

0

355

17 апр 2017, 19:54

Обратное преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

BlackCat

9

824

05 апр 2015, 22:02

Выполнить преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Forlock

1

136

27 май 2023, 09:26

дискретное преобразование Фурье

в форуме Численные методы

Air

0

302

08 апр 2016, 19:44

Преобразование Фурье для функции

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

w0nna

3

384

14 июн 2023, 08:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved