Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=61&t=32859
Страница 1 из 2

Автор:  Tina5310 [ 27 апр 2014, 20:15 ]
Заголовок сообщения:  Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

Помогите пожалуйста разобраться,
Воспользовавшись разложением функции [math]f(x)=\begin{cases}1, & -1 \leqslant x < 0;\\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1; \end{cases}[/math] найти сумму ряда sum_(n=1)^00(1/(2n-1)^2)

разложение в ряд получилось вот такое:
f(x)=3/4+ sum_(n=1)^00(((2*pi*n*sin(pi*n)+cos(pi*n-1)cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2)+((sin(pi*n)-pi*n)*sin(pi*n*x))/(pi^2*n^2))

а что дальше делать не пойму

Автор:  Wersel [ 27 апр 2014, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

Запишите все математические выражения через редактор формул, а то непонятно ничего.

Автор:  Tina5310 [ 27 апр 2014, 21:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

ряд:
[math]f(x)=\frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{ 2 \pi n \sin{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} }} \cos{ \pi n x}+\frac{\sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} } \sin{ \pi n x}\right)[/math]

вроде бы так

да, так, только все под знаком суммы

[math]f(x)= \frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{ 2 \pi n\sin{ \pi n}+\cos{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} } \right)\cdot \cos{ \pi n x}+ \frac{ \sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} }\cdot \sin{ \pi n x}[/math]

Автор:  Wersel [ 27 апр 2014, 22:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

Ряд Фурье похож на правду, а сумму какого ряда нужно найти?

Автор:  Tina5310 [ 27 апр 2014, 22:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\frac{ 1}{ (2 \pi -1)^{2} }[/math]

Автор:  Wersel [ 28 апр 2014, 00:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

Суть тут такая: распишите Ваш ряд при [math]n=2k-1[/math] и при [math]n=2k[/math], где [math]k \in \mathbb{Z}[/math], то есть для четных номеров, и для нечетных. Что-то должно сократится. Потом подставляете в исходную функцию значение, например, [math]x=0[/math] и его же в полученный ряд Фурье, то есть [math]f(0) = S(0)[/math], и вот из этого выражения, нужно выразить сумму Вашего ряда.

Где-то может ошибаюсь, но в целом суть такая.

Подробнее можете почитать тут или тут.

Автор:  Alexdemath [ 28 апр 2014, 09:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

Коэффициенты ряда Фурье

[math]a_0= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\,dx= \frac{1}{1}\int\limits_{-1}^{0}1\,dx+ \frac{1}{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dx= \ldots=\frac{3}{2}[/math]

[math]\begin{aligned}a_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \cos\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\cos\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{2\pi n\sin\pi n+\cos\pi n-1}{\pi^2n^2}=\frac{(-1)^n-1}{\pi^2n^2}=\begin{cases}0,& n=2k,\\ \dfrac{-2}{\pi^2(2k-1)^2},& n=2k-1,\end{cases}k\in\mathbb{N}\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}b_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \sin\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\sin\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{\sin\pi n-\pi n}{\pi^2n^2}=\frac{-1}{\pi n}\end{aligned}[/math]

Ряд Фурье

[math]\begin{aligned}f(x)&= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\cos\frac{\pi nx}{l}\right)=\\ &=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos[\pi(2k-1)x]}{(2k-1)^2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\pi nx}{n},\quad x\in[-1;1]\end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 28 апр 2014, 10:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

Tina5310, теперь вспоминайте теорему Дирихле для ряда Фурье :D1 (К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции? Какая у Вашей функции точка разрыва?)

Автор:  Wersel [ 28 апр 2014, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

Alexdemath писал(а):
К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции?

Вот почему у меня не получилось...

Автор:  Tina5310 [ 28 апр 2014, 15:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного

точка разрыва [math]\equiv \frac{ 1 }{ 2 }[/math]

к сумме односторонних пределов, и как посчитать [math]\lim_{n \to -L+0}[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/