Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=61&t=32859 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Tina5310 [ 27 апр 2014, 20:15 ] |
Заголовок сообщения: | Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
Помогите пожалуйста разобраться, Воспользовавшись разложением функции [math]f(x)=\begin{cases}1, & -1 \leqslant x < 0;\\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1; \end{cases}[/math] найти сумму ряда sum_(n=1)^00(1/(2n-1)^2) разложение в ряд получилось вот такое: f(x)=3/4+ sum_(n=1)^00(((2*pi*n*sin(pi*n)+cos(pi*n-1)cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2)+((sin(pi*n)-pi*n)*sin(pi*n*x))/(pi^2*n^2)) а что дальше делать не пойму |
Автор: | Wersel [ 27 апр 2014, 20:20 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
Запишите все математические выражения через редактор формул, а то непонятно ничего. |
Автор: | Tina5310 [ 27 апр 2014, 21:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
ряд: [math]f(x)=\frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{ 2 \pi n \sin{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} }} \cos{ \pi n x}+\frac{\sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} } \sin{ \pi n x}\right)[/math] вроде бы так да, так, только все под знаком суммы [math]f(x)= \frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{ 2 \pi n\sin{ \pi n}+\cos{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} } \right)\cdot \cos{ \pi n x}+ \frac{ \sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} }\cdot \sin{ \pi n x}[/math] |
Автор: | Wersel [ 27 апр 2014, 22:26 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
Ряд Фурье похож на правду, а сумму какого ряда нужно найти? |
Автор: | Tina5310 [ 27 апр 2014, 22:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\frac{ 1}{ (2 \pi -1)^{2} }[/math] |
Автор: | Wersel [ 28 апр 2014, 00:08 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
Суть тут такая: распишите Ваш ряд при [math]n=2k-1[/math] и при [math]n=2k[/math], где [math]k \in \mathbb{Z}[/math], то есть для четных номеров, и для нечетных. Что-то должно сократится. Потом подставляете в исходную функцию значение, например, [math]x=0[/math] и его же в полученный ряд Фурье, то есть [math]f(0) = S(0)[/math], и вот из этого выражения, нужно выразить сумму Вашего ряда. Где-то может ошибаюсь, но в целом суть такая. Подробнее можете почитать тут или тут. |
Автор: | Alexdemath [ 28 апр 2014, 09:40 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
Коэффициенты ряда Фурье [math]a_0= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\,dx= \frac{1}{1}\int\limits_{-1}^{0}1\,dx+ \frac{1}{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dx= \ldots=\frac{3}{2}[/math] [math]\begin{aligned}a_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \cos\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\cos\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{2\pi n\sin\pi n+\cos\pi n-1}{\pi^2n^2}=\frac{(-1)^n-1}{\pi^2n^2}=\begin{cases}0,& n=2k,\\ \dfrac{-2}{\pi^2(2k-1)^2},& n=2k-1,\end{cases}k\in\mathbb{N}\end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned}b_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \sin\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\sin\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{\sin\pi n-\pi n}{\pi^2n^2}=\frac{-1}{\pi n}\end{aligned}[/math] Ряд Фурье [math]\begin{aligned}f(x)&= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\cos\frac{\pi nx}{l}\right)=\\ &=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos[\pi(2k-1)x]}{(2k-1)^2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\pi nx}{n},\quad x\in[-1;1]\end{aligned}[/math] |
Автор: | Alexdemath [ 28 апр 2014, 10:02 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
Tina5310, теперь вспоминайте теорему Дирихле для ряда Фурье (К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции? Какая у Вашей функции точка разрыва?) |
Автор: | Wersel [ 28 апр 2014, 13:14 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
Alexdemath писал(а): К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции? Вот почему у меня не получилось... |
Автор: | Tina5310 [ 28 апр 2014, 15:29 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного |
точка разрыва [math]\equiv \frac{ 1 }{ 2 }[/math] к сумме односторонних пределов, и как посчитать [math]\lim_{n \to -L+0}[/math] |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |