Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 21:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 21:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста разобраться,
Воспользовавшись разложением функции [math]f(x)=\begin{cases}1, & -1 \leqslant x < 0;\\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1; \end{cases}[/math] найти сумму ряда sum_(n=1)^00(1/(2n-1)^2)

разложение в ряд получилось вот такое:
f(x)=3/4+ sum_(n=1)^00(((2*pi*n*sin(pi*n)+cos(pi*n-1)cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2)+((sin(pi*n)-pi*n)*sin(pi*n*x))/(pi^2*n^2))

а что дальше делать не пойму

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 21:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 18:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Запишите все математические выражения через редактор формул, а то непонятно ничего.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 22:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 21:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ряд:
[math]f(x)=\frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{ 2 \pi n \sin{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} }} \cos{ \pi n x}+\frac{\sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} } \sin{ \pi n x}\right)[/math]

вроде бы так

да, так, только все под знаком суммы

[math]f(x)= \frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{ 2 \pi n\sin{ \pi n}+\cos{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} } \right)\cdot \cos{ \pi n x}+ \frac{ \sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} }\cdot \sin{ \pi n x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 23:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 18:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ряд Фурье похож на правду, а сумму какого ряда нужно найти?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 23:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 21:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\frac{ 1}{ (2 \pi -1)^{2} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 01:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 18:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Суть тут такая: распишите Ваш ряд при [math]n=2k-1[/math] и при [math]n=2k[/math], где [math]k \in \mathbb{Z}[/math], то есть для четных номеров, и для нечетных. Что-то должно сократится. Потом подставляете в исходную функцию значение, например, [math]x=0[/math] и его же в полученный ряд Фурье, то есть [math]f(0) = S(0)[/math], и вот из этого выражения, нужно выразить сумму Вашего ряда.

Где-то может ошибаюсь, но в целом суть такая.

Подробнее можете почитать тут или тут.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 10:40 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5947
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3212
Спасибо получено:
3076 раз в 2247 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Коэффициенты ряда Фурье

[math]a_0= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\,dx= \frac{1}{1}\int\limits_{-1}^{0}1\,dx+ \frac{1}{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dx= \ldots=\frac{3}{2}[/math]

[math]\begin{aligned}a_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \cos\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\cos\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{2\pi n\sin\pi n+\cos\pi n-1}{\pi^2n^2}=\frac{(-1)^n-1}{\pi^2n^2}=\begin{cases}0,& n=2k,\\ \dfrac{-2}{\pi^2(2k-1)^2},& n=2k-1,\end{cases}k\in\mathbb{N}\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}b_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \sin\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\sin\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{\sin\pi n-\pi n}{\pi^2n^2}=\frac{-1}{\pi n}\end{aligned}[/math]

Ряд Фурье

[math]\begin{aligned}f(x)&= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\cos\frac{\pi nx}{l}\right)=\\ &=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos[\pi(2k-1)x]}{(2k-1)^2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\pi nx}{n},\quad x\in[-1;1]\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 11:02 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5947
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3212
Спасибо получено:
3076 раз в 2247 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tina5310, теперь вспоминайте теорему Дирихле для ряда Фурье :D1 (К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции? Какая у Вашей функции точка разрыва?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 14:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 18:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции?

Вот почему у меня не получилось...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 16:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 21:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
точка разрыва [math]\equiv \frac{ 1 }{ 2 }[/math]

к сумме односторонних пределов, и как посчитать [math]\lim_{n \to -L+0}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Воспользовавшись разложением, найти сумму указанного ряда

в форуме Ряды

Knight_of_Light

7

128

18 июн 2016, 19:16

Найти сумму ряда, используя разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

RaulGonzal19

2

334

29 янв 2015, 20:22

Найти сумму ряда используя разложения ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Koleso

0

101

11 май 2017, 20:16

Найти решение ДУ разложением в степеной ряд

в форуме Ряды

allc

1

135

27 окт 2014, 18:30

Найти сумму ряда с помощью ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Rempi Izek

4

920

19 фев 2014, 22:01

Как найти производную из данного выражения?

в форуме Дифференциальное исчисление

SergeyKunuwin

1

144

09 дек 2012, 00:24

Для данного множества найти кодовое расстояние

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

any5957

0

146

26 июн 2015, 11:20

Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного

в форуме Теория вероятностей

plovik322

1

557

18 янв 2016, 14:39

Найти для данного множества верхнюю и нижнюю грани

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Alinmora

2

117

02 янв 2016, 20:39

Найти векторные линии данного векторного поля F

в форуме Векторный анализ и Теория поля

pspfreez

1

424

30 ноя 2013, 15:06


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved