Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 20:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 20:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста разобраться,
Воспользовавшись разложением функции [math]f(x)=\begin{cases}1, & -1 \leqslant x < 0;\\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1; \end{cases}[/math] найти сумму ряда sum_(n=1)^00(1/(2n-1)^2)

разложение в ряд получилось вот такое:
f(x)=3/4+ sum_(n=1)^00(((2*pi*n*sin(pi*n)+cos(pi*n-1)cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2)+((sin(pi*n)-pi*n)*sin(pi*n*x))/(pi^2*n^2))

а что дальше делать не пойму

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 20:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Запишите все математические выражения через редактор формул, а то непонятно ничего.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 21:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 20:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ряд:
[math]f(x)=\frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{ 2 \pi n \sin{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} }} \cos{ \pi n x}+\frac{\sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} } \sin{ \pi n x}\right)[/math]

вроде бы так

да, так, только все под знаком суммы

[math]f(x)= \frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{ 2 \pi n\sin{ \pi n}+\cos{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} } \right)\cdot \cos{ \pi n x}+ \frac{ \sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} }\cdot \sin{ \pi n x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 22:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ряд Фурье похож на правду, а сумму какого ряда нужно найти?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 27 апр 2014, 22:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 20:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\frac{ 1}{ (2 \pi -1)^{2} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 00:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Суть тут такая: распишите Ваш ряд при [math]n=2k-1[/math] и при [math]n=2k[/math], где [math]k \in \mathbb{Z}[/math], то есть для четных номеров, и для нечетных. Что-то должно сократится. Потом подставляете в исходную функцию значение, например, [math]x=0[/math] и его же в полученный ряд Фурье, то есть [math]f(0) = S(0)[/math], и вот из этого выражения, нужно выразить сумму Вашего ряда.

Где-то может ошибаюсь, но в целом суть такая.

Подробнее можете почитать тут или тут.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 09:40 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Коэффициенты ряда Фурье

[math]a_0= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\,dx= \frac{1}{1}\int\limits_{-1}^{0}1\,dx+ \frac{1}{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dx= \ldots=\frac{3}{2}[/math]

[math]\begin{aligned}a_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \cos\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\cos\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{2\pi n\sin\pi n+\cos\pi n-1}{\pi^2n^2}=\frac{(-1)^n-1}{\pi^2n^2}=\begin{cases}0,& n=2k,\\ \dfrac{-2}{\pi^2(2k-1)^2},& n=2k-1,\end{cases}k\in\mathbb{N}\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}b_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \sin\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\sin\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{\sin\pi n-\pi n}{\pi^2n^2}=\frac{-1}{\pi n}\end{aligned}[/math]

Ряд Фурье

[math]\begin{aligned}f(x)&= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\cos\frac{\pi nx}{l}\right)=\\ &=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos[\pi(2k-1)x]}{(2k-1)^2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\pi nx}{n},\quad x\in[-1;1]\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 10:02 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tina5310, теперь вспоминайте теорему Дирихле для ряда Фурье :D1 (К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции? Какая у Вашей функции точка разрыва?)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 13:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции?

Вот почему у меня не получилось...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Воспользовавшись разложением в ряд Фурье найти сумму данного
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 15:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 апр 2014, 20:03
Сообщений: 28
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
точка разрыва [math]\equiv \frac{ 1 }{ 2 }[/math]

к сумме односторонних пределов, и как посчитать [math]\lim_{n \to -L+0}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Воспользовавшись разложением, найти сумму указанного ряда

в форуме Ряды

Knight_of_Light

7

335

18 июн 2016, 18:16

Воспользовавшись разложением ряда функции f(x) в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Biblbroxxx

13

564

03 мар 2020, 20:41

Найти сумму ряда, используя разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

RaulGonzal19

2

766

29 янв 2015, 19:22

Разложить функцию в ряд фурье и найти сумму ряда

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MathSamurai

2

532

20 май 2020, 02:48

Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Kipriot

15

832

01 май 2020, 05:45

Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Kipriot

7

1055

30 апр 2020, 17:36

Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Atemyn

1

660

13 май 2021, 13:18

Воспользовавшись формулой дисперсии суммы найти D(x+y )

в форуме Теория вероятностей

Kepel

5

581

16 май 2021, 12:39

Найти решение ДУ разложением в степеной ряд

в форуме Ряды

allc

1

305

27 окт 2014, 17:30

Найти интеграл, воспользовавшись методом введения функции

в форуме Интегральное исчисление

lesyaTAG

2

275

17 май 2021, 18:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved