Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Tina5310 |
|
|
Воспользовавшись разложением функции [math]f(x)=\begin{cases}1, & -1 \leqslant x < 0;\\ x, & 0 \leqslant x \leqslant 1; \end{cases}[/math] найти сумму ряда sum_(n=1)^00(1/(2n-1)^2) разложение в ряд получилось вот такое: f(x)=3/4+ sum_(n=1)^00(((2*pi*n*sin(pi*n)+cos(pi*n-1)cos(pi*n*x))/(pi^2*n^2)+((sin(pi*n)-pi*n)*sin(pi*n*x))/(pi^2*n^2)) а что дальше делать не пойму |
||
Вернуться к началу | ||
Wersel |
|
|
Запишите все математические выражения через редактор формул, а то непонятно ничего.
|
||
Вернуться к началу | ||
Tina5310 |
|
|
ряд:
[math]f(x)=\frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{ 2 \pi n \sin{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} }} \cos{ \pi n x}+\frac{\sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} } \sin{ \pi n x}\right)[/math] вроде бы так да, так, только все под знаком суммы [math]f(x)= \frac{ 3 }{ 4 }+ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{ 2 \pi n\sin{ \pi n}+\cos{ \pi n}-1 }{ \pi ^{2}n^{2} } \right)\cdot \cos{ \pi n x}+ \frac{ \sin{ \pi n}- \pi n }{ \pi ^{2}n^{2} }\cdot \sin{ \pi n x}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Wersel |
|
|
Ряд Фурье похож на правду, а сумму какого ряда нужно найти?
|
||
Вернуться к началу | ||
Tina5310 |
|
|
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math][math]\frac{ 1}{ (2 \pi -1)^{2} }[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
Wersel |
|
|
Суть тут такая: распишите Ваш ряд при [math]n=2k-1[/math] и при [math]n=2k[/math], где [math]k \in \mathbb{Z}[/math], то есть для четных номеров, и для нечетных. Что-то должно сократится. Потом подставляете в исходную функцию значение, например, [math]x=0[/math] и его же в полученный ряд Фурье, то есть [math]f(0) = S(0)[/math], и вот из этого выражения, нужно выразить сумму Вашего ряда.
Где-то может ошибаюсь, но в целом суть такая. Подробнее можете почитать тут или тут. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Коэффициенты ряда Фурье
[math]a_0= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\,dx= \frac{1}{1}\int\limits_{-1}^{0}1\,dx+ \frac{1}{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dx= \ldots=\frac{3}{2}[/math] [math]\begin{aligned}a_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \cos\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\cos\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{2\pi n\sin\pi n+\cos\pi n-1}{\pi^2n^2}=\frac{(-1)^n-1}{\pi^2n^2}=\begin{cases}0,& n=2k,\\ \dfrac{-2}{\pi^2(2k-1)^2},& n=2k-1,\end{cases}k\in\mathbb{N}\end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned}b_n&= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{\pi nx}{l}\,dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-1}^{0}1\cdot \sin\frac{\pi nx}{1}\,dx+ \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{1}x\sin\frac{\pi nx}{1}\,dx= \ldots=\\ &=\frac{\sin\pi n-\pi n}{\pi^2n^2}=\frac{-1}{\pi n}\end{aligned}[/math] Ряд Фурье [math]\begin{aligned}f(x)&= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\cos\frac{\pi nx}{l}\right)=\\ &=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos[\pi(2k-1)x]}{(2k-1)^2}-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\pi nx}{n},\quad x\in[-1;1]\end{aligned}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Tina5310, теперь вспоминайте теорему Дирихле для ряда Фурье (К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции? Какая у Вашей функции точка разрыва?)
|
||
Вернуться к началу | ||
Wersel |
|
|
Alexdemath писал(а): К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва функции? Вот почему у меня не получилось... |
||
Вернуться к началу | ||
Tina5310 |
|
|
точка разрыва [math]\equiv \frac{ 1 }{ 2 }[/math]
к сумме односторонних пределов, и как посчитать [math]\lim_{n \to -L+0}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 14 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Воспользовавшись разложением, найти сумму указанного ряда
в форуме Ряды |
7 |
335 |
18 июн 2016, 18:16 |
|
Воспользовавшись разложением ряда функции f(x) в ряд Фурье | 13 |
564 |
03 мар 2020, 20:41 |
|
Найти сумму ряда, используя разложение в ряд Фурье | 2 |
766 |
29 янв 2015, 19:22 |
|
Разложить функцию в ряд фурье и найти сумму ряда | 2 |
532 |
20 май 2020, 02:48 |
|
Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье | 15 |
832 |
01 май 2020, 05:45 |
|
Найти сумму ряда с помощью разложения в ряд Фурье | 7 |
1055 |
30 апр 2020, 17:36 |
|
Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда | 1 |
660 |
13 май 2021, 13:18 |
|
Воспользовавшись формулой дисперсии суммы найти D(x+y )
в форуме Теория вероятностей |
5 |
581 |
16 май 2021, 12:39 |
|
Найти решение ДУ разложением в степеной ряд
в форуме Ряды |
1 |
305 |
27 окт 2014, 17:30 |
|
Найти интеграл, воспользовавшись методом введения функции
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
275 |
17 май 2021, 18:56 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |