Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложить функцию в ряд фурье на интервале (-1;3)
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 20:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2013, 20:29
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, очень надеюсь на помощь. Долго бьюсь над этим примером. Мне нужно построить саму функцию и две сумммы (5ти и 10ти членов). Я пересчитывала коэффициенты раз сто. Думала, неправильные формулы использовала, или не в тех пределах интегрировала. Перебрала все варианты, но всё равно ничего не вышло - графики не сходятся. [math]y(x)=2x+2, x \in (-1;3)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд фурье на интервале (-1;3)
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 22:38 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно доопределить функцию на интервале [math](-3;-1][/math]. Лучше саму себя и продолжить на этот интервал. Тогда можно воспользоваться стандартным разложением

[math]{\color{red}\boxed{{\color{black} f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\! \left(a_n\cos \frac{\pi nx}{l}+ b_n\sin \frac{\pi nx}{l}\right)\!,\quad x\in[-l;l] }}}[/math]

[math]a_0= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\,dx= \frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}(2x+2)\,dx=\ldots=4[/math]

[math]a_n= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{\pi nx}{l}\,dx= \frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}(2x+2)\cos \frac{\pi nx}{3}\,dx=\ldots= \frac{4\sin\pi n}{\pi n}= 0[/math]

[math]b_n= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{\pi nx}{l}\,dx= \frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}(2x+2)\sin \frac{\pi nx}{3}\,dx=\ldots= \frac{12(\sin\pi n-\pi n\cos\pi n)}{\pi^2 n^2}= -\frac{12(-1)^n}{\pi n}[/math]

[math]y(x)= 2-\frac{12}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin \frac{\pi nx}{3},\quad x\in (-1;3)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд фурье на интервале (-1;3)
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 23:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2013, 20:29
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня построение всё равно не выходит. Может, маткад капризничает, не знаю.
и эх, не помню, чтобы нам давали такой способ решения, у нас карают за использование того, чему не учили. Хотя с трудом можно сказать, что нас учили. Времени не хватило и по разложению в ряд Фурье прошлись абсолютно бегло. Я мало чего поняла. :cry:
Есть ещё способы разложить в Фурье эту функцию?
Спасибо.

Ах да, забыла сказать, но в задании ещё зачем-то был дан полупериод l=2. Зачем его давать, если и так определить можно? не понимаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд фурье на интервале (-1;3)
СообщениеДобавлено: 22 дек 2013, 03:19 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shchi писал(а):
У меня построение всё равно не выходит. Может, маткад капризничает, не знаю.

Покажите, что получается. Скриншот рабочей области в Mathcad, где видно, что именно Вы вводили.

Я проверил своё решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд фурье на интервале (-1;3)
СообщениеДобавлено: 22 дек 2013, 04:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{array}{l}{a_0} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x + 2} \right)dx} = \left. {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^3 = 8\\{a_n} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x + 2} \right)\cos \frac{{\pi nx}}{2}} = ... = 4\frac{{\cos \frac{{3\pi n}}{2} + 2\pi n\sin \frac{{3\pi n}}{2} - \cos \frac{{\pi n}}{2}}}{{{\pi ^2}{n^2}}} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{8 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{\pi \left( {2k - 1} \right)}},n = 2k - 1\\0,n = 2k\end{array} \right.\\{b_n} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x + 2} \right)\sin \frac{{\pi nx}}{2}} = ... = 4\frac{{\sin \frac{{3\pi n}}{2} - 2\pi n\cos \frac{{3\pi n}}{2} + \sin \frac{{\pi n}}{2}}}{{{\pi ^2}{n^2}}} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{{\pi k}},n = 2k\\0,n = 2k - 1\end{array} \right.\\{S_n}\left( x \right) = 4 + \frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {\frac{2}{{2k - 1}}\cos \frac{{\pi \left( {2k - 1} \right)x}}{2} - \frac{1}{k}\sin \left( {\pi kx} \right)} \right)} \end{array}[/math]
Изображение
На рисунке изображены [math]y(x)[/math] и [math]S_5(x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд фурье на интервале (-1;3)
СообщениеДобавлено: 22 дек 2013, 04:18 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не догадался как Вы упростить :( только так (у Вас лучше - быстрее сходится к [math]y(x)[/math])

[math]a_0= \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}(2x+2)\,dx=\ldots= 8[/math]

[math]a_n= \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}(2x+2)\cos\frac{\pi nx}{2}\,dx=\ldots= \frac{4}{\pi^2n^2}\!\left(2\pi n\sin\frac{3\pi n}{2}+ \cos\frac{3\pi n}{2}- \cos\frac{\pi n}{2}\right)[/math]

[math]b_n= \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}(2x+2)\sin\frac{\pi nx}{2}\,dx=\ldots= \frac{4}{\pi^2n^2}\!\left(\sin\frac{3\pi n}{2}+ \sin\frac{\pi n}{2}-2\pi n\sin\frac{3\pi n}{2}\right)[/math]

Упрощаем с помощью формул преобразования сумм (разностей) синусов (косинусов) в произведение:

[math]\cos\frac{3\pi n}{2}- \cos\frac{\pi n}{2}= -2\sin\pi n\, \sin\frac{\pi n}{2}=0[/math] и [math]\sin\frac{3\pi n}{2}+ \sin\frac{\pi n}{2}= 2\sin\pi n\, \cos\frac{\pi n}{2}=0[/math], так как [math]\sin\pi n=0[/math].

[math]y(x)= 4+\frac{8}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\!\left(\sin\frac{3\pi n}{2}\cos\frac{\pi nx}{2}-\cos\frac{3\pi n}{2}\sin\frac{\pi nx}{2}\right)\!,\quad x\in(-1;3)[/math]

Упрощаем выражение под скобкой с помощью формулы [math]{\color{red}\boxed{{\color{black} \sin( \alpha + \beta )= \sin\alpha \cos\beta- \cos\alpha \sin\beta}}}[/math]

[math]y(x)= 4+\frac{8}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{\pi n\,(3-x)}{2},\quad x\in(-1;3)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию в ряд фурье на интервале (-1;3)
СообщениеДобавлено: 22 дек 2013, 12:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2013, 20:29
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо вам огромное!
Буду сидеть разбираться : )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить в ряд Фурье в интервале (-2,2) функцию f(x)=x/2

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Marina444

0

507

24 дек 2015, 23:05

Разложить функцию в ря д Фурье в интервале

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Maxpower55

0

430

17 янв 2017, 22:19

Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (-2;2)

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Senya228

0

71

26 май 2023, 19:17

Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

tittotop

1

468

21 май 2015, 19:48

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию в интервале

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

IceKing

0

435

03 дек 2017, 20:44

Разложить заданную функцию в ряд Фурье в заданном интервале

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Crow

3

735

15 июл 2017, 12:51

Разложить в ряд Фурье на интервале

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

irinochka992

2

870

25 май 2014, 12:28

Разложить в ряд Фурье в указанном интервале

в форуме Ряды

polilina

0

221

23 ноя 2017, 22:54

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

imp3l

2

473

09 июн 2016, 18:27

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

PavelGusev

2

912

07 июн 2015, 09:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved