Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Shchi |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Нужно доопределить функцию на интервале [math](-3;-1][/math]. Лучше саму себя и продолжить на этот интервал. Тогда можно воспользоваться стандартным разложением
[math]{\color{red}\boxed{{\color{black} f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\! \left(a_n\cos \frac{\pi nx}{l}+ b_n\sin \frac{\pi nx}{l}\right)\!,\quad x\in[-l;l] }}}[/math] [math]a_0= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\,dx= \frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}(2x+2)\,dx=\ldots=4[/math] [math]a_n= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{\pi nx}{l}\,dx= \frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}(2x+2)\cos \frac{\pi nx}{3}\,dx=\ldots= \frac{4\sin\pi n}{\pi n}= 0[/math] [math]b_n= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{\pi nx}{l}\,dx= \frac{1}{3}\int\limits_{-3}^{3}(2x+2)\sin \frac{\pi nx}{3}\,dx=\ldots= \frac{12(\sin\pi n-\pi n\cos\pi n)}{\pi^2 n^2}= -\frac{12(-1)^n}{\pi n}[/math] [math]y(x)= 2-\frac{12}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin \frac{\pi nx}{3},\quad x\in (-1;3)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Shchi |
|
|
У меня построение всё равно не выходит. Может, маткад капризничает, не знаю.
и эх, не помню, чтобы нам давали такой способ решения, у нас карают за использование того, чему не учили. Хотя с трудом можно сказать, что нас учили. Времени не хватило и по разложению в ряд Фурье прошлись абсолютно бегло. Я мало чего поняла. Есть ещё способы разложить в Фурье эту функцию? Спасибо. Ах да, забыла сказать, но в задании ещё зачем-то был дан полупериод l=2. Зачем его давать, если и так определить можно? не понимаю. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Shchi писал(а): У меня построение всё равно не выходит. Может, маткад капризничает, не знаю. Покажите, что получается. Скриншот рабочей области в Mathcad, где видно, что именно Вы вводили. Я проверил своё решение. |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
[math]\begin{array}{l}{a_0} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x + 2} \right)dx} = \left. {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^3 = 8\\{a_n} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x + 2} \right)\cos \frac{{\pi nx}}{2}} = ... = 4\frac{{\cos \frac{{3\pi n}}{2} + 2\pi n\sin \frac{{3\pi n}}{2} - \cos \frac{{\pi n}}{2}}}{{{\pi ^2}{n^2}}} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{8 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{\pi \left( {2k - 1} \right)}},n = 2k - 1\\0,n = 2k\end{array} \right.\\{b_n} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x + 2} \right)\sin \frac{{\pi nx}}{2}} = ... = 4\frac{{\sin \frac{{3\pi n}}{2} - 2\pi n\cos \frac{{3\pi n}}{2} + \sin \frac{{\pi n}}{2}}}{{{\pi ^2}{n^2}}} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{{\pi k}},n = 2k\\0,n = 2k - 1\end{array} \right.\\{S_n}\left( x \right) = 4 + \frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {\frac{2}{{2k - 1}}\cos \frac{{\pi \left( {2k - 1} \right)x}}{2} - \frac{1}{k}\sin \left( {\pi kx} \right)} \right)} \end{array}[/math]
На рисунке изображены [math]y(x)[/math] и [math]S_5(x)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Не догадался как Вы упростить только так (у Вас лучше - быстрее сходится к [math]y(x)[/math])
[math]a_0= \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}(2x+2)\,dx=\ldots= 8[/math] [math]a_n= \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}(2x+2)\cos\frac{\pi nx}{2}\,dx=\ldots= \frac{4}{\pi^2n^2}\!\left(2\pi n\sin\frac{3\pi n}{2}+ \cos\frac{3\pi n}{2}- \cos\frac{\pi n}{2}\right)[/math] [math]b_n= \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}(2x+2)\sin\frac{\pi nx}{2}\,dx=\ldots= \frac{4}{\pi^2n^2}\!\left(\sin\frac{3\pi n}{2}+ \sin\frac{\pi n}{2}-2\pi n\sin\frac{3\pi n}{2}\right)[/math] Упрощаем с помощью формул преобразования сумм (разностей) синусов (косинусов) в произведение: [math]\cos\frac{3\pi n}{2}- \cos\frac{\pi n}{2}= -2\sin\pi n\, \sin\frac{\pi n}{2}=0[/math] и [math]\sin\frac{3\pi n}{2}+ \sin\frac{\pi n}{2}= 2\sin\pi n\, \cos\frac{\pi n}{2}=0[/math], так как [math]\sin\pi n=0[/math]. [math]y(x)= 4+\frac{8}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\!\left(\sin\frac{3\pi n}{2}\cos\frac{\pi nx}{2}-\cos\frac{3\pi n}{2}\sin\frac{\pi nx}{2}\right)\!,\quad x\in(-1;3)[/math] Упрощаем выражение под скобкой с помощью формулы [math]{\color{red}\boxed{{\color{black} \sin( \alpha + \beta )= \sin\alpha \cos\beta- \cos\alpha \sin\beta}}}[/math] [math]y(x)= 4+\frac{8}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{\pi n\,(3-x)}{2},\quad x\in(-1;3)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Shchi |
|
|
Спасибо вам огромное!
Буду сидеть разбираться : ) |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложить в ряд Фурье в интервале (-2,2) функцию f(x)=x/2 | 0 |
507 |
24 дек 2015, 23:05 |
|
Разложить функцию в ря д Фурье в интервале | 0 |
430 |
17 янв 2017, 22:19 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (-2;2) | 0 |
71 |
26 май 2023, 19:17 |
|
Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале | 1 |
468 |
21 май 2015, 19:48 |
|
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию в интервале | 0 |
435 |
03 дек 2017, 20:44 |
|
Разложить заданную функцию в ряд Фурье в заданном интервале | 3 |
735 |
15 июл 2017, 12:51 |
|
Разложить в ряд Фурье на интервале | 2 |
870 |
25 май 2014, 12:28 |
|
Разложить в ряд Фурье в указанном интервале
в форуме Ряды |
0 |
221 |
23 ноя 2017, 22:54 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 2 |
473 |
09 июн 2016, 18:27 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 2 |
912 |
07 июн 2015, 09:41 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |