Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложение функции в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 01 дек 2013, 18:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2013, 17:47
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}& \sin x,\quad 0<x<\frac{ \pi }{ 2 }\\& 0,\qquad \frac{ \pi }{ 2 } <x<\pi \end{aligned}\right.[/math]

не сходится график :(
разложение по косинусам и синусам вышло таким:
[math]S(x)=\frac{ 1 }{ \pi }+ summ(\frac{ 2cos(2*\pi*n*x) }{ \pi(1-4*n^{2}) } -\frac{ 2n(-1)^{n}sin(2*\pi*n*x) }{ \pi(1-4n^{2})) })[/math]
по синусам:
[math]S(x)=summ(\frac{ -2ncos(n \frac{ \pi }{ 2 })*sin(nx) }{ \pi(1-n^{2}) })[/math]
а по косинусам:
[math]S(x)=-\frac{ 1 }{ \pi } + summ(\frac{ (-2nsin(n\frac{ \pi }{ 2 })+2)*cos(nx) }{ 1-n^{2} })[/math]
как видно, в последних 2 разложениях в знаменателе 0, если начинать суммирование с n=1.
ну а графики вообще ни на что не похожи(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 02 дек 2013, 01:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какой у исходной функции [math]f(x)[/math] период [math]\pi[/math] или [math]2\pi[/math]?
Если период [math]2\pi[/math], то как доопрееляется на промежутке [math](-\pi,0)[/math] четным или нечетным образом?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 02 дек 2013, 18:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2013, 17:47
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
у исходной период ведь [math]\pi[/math]
для разложения по косинусам доопределяю до чётной с периодом [math]2\pi[/math]
по синусам - нечётная с периодом [math]2\pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 02 дек 2013, 22:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \sin x,0 < x < \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0,\frac{\pi }{2} < x < \pi \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
1.
[math]{a_0} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \frac{2}{\pi }[/math]
[math]{a_n} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\cos 2nxdx} = ... = - \frac{2}{{\pi \left( {4{n^2} - 1} \right)}}[/math]
[math]{b_n} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sin 2nxdx} = ... = - \frac{{4n{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\pi \left( {4{n^2} - 1} \right)}}[/math]
[math]{S_n}\left( x \right) = \frac{1}{\pi }\left( {1 - 2\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\cos 2kx + 2k{{\left( { - 1} \right)}^k}\sin 2kx}}{{4{k^2} - 1}}} } \right)[/math]
Изображение
На рис. изображены функции [math]f\left( x \right),{S_{15}}\left( x \right)[/math]
2.
[math]{b_1} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x} dx = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)} dx = \frac{1}{2}[/math]
[math]{b_n} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sin nxdx} = ... = \left\{ \begin{gathered} 0,n = 2k + 1 \hfill \\ - \frac{{4k{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{\pi \left( {4{k^2} - 1} \right)}},n = 2k \hfill \\ \end{gathered} \right.,k = 1,2,...[/math]
[math]{S_n}\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{2} - \frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}k\sin 2kx}}{{4{k^2} - 1}}}[/math]
Изображение
На рис. изображены функции [math]f\left( x \right)[/math](доопределенная нечетным образом),[math]{S_{15}}\left( x \right)[/math]


С разложением по косинусам ,я думаю, Вы сами теперь справитесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 06:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2013, 17:47
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо огромное!
Неясно лишь, откуда в разложении по синусам [math]\frac{ sin(x) }{ 2 }[/math]
с косинусами всё же не получается.
[math]a_{0}=\frac{ 2 }{ \pi }[/math]
[math]a_{n}=\frac{ 2(nsin(n*\frac{ \pi }{ 2 })-1) }{ \pi(n^{2}-1) }
=\left\{\!\begin{aligned}
\frac{ -2 }{ \pi(4k^{2}-1)
& n=2k \\
&
\end{aligned}\right.[/math]



а вот 0 не равняется при целых n
как с этим быть?
ну и график, соответственно, не сходится

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 03 дек 2013, 09:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
tata77 писал(а):
Неясно лишь, откуда в разложении по синусам [math]\frac{ sin(x) }{ 2 }[/math]

Посмотрите в моем решении коэффициент [math]b_1[/math]

tata77 писал(а):
Спасибо огромное!

с косинусами всё же не получается.
[math]a_{0}=\frac{ 2 }{ \pi }[/math]
[math]a_{n}=\frac{ 2(nsin(n*\frac{ \pi }{ 2 })-1) }{ \pi(n^{2}-1) }
=\left\{\!\begin{aligned}
\frac{ -2 }{ \pi(4k^{2}-1)
& n=2k \\
&
\end{aligned}\right.[/math]



а вот 0 не равняется при целых n
как с этим быть?
ну и график, соответственно, не сходится


[math]a_1[/math] вычислите отдельно, используя формулу для синуса двойного угла.
[math]\sin \frac{{\pi n}}{2} = \left\{ \begin{gathered} 0,n = 2k \hfill \\ {\left( { - 1} \right)^k},n = 2k + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 16 дек 2013, 18:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 дек 2013, 17:47
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо за помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложение функции в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

animanics

1

816

18 июн 2014, 13:25

Разложение функции в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Danoldjar

0

615

10 авг 2015, 11:04

Разложение функции в ряд Фурье по косинусам

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

alexander_swan

2

585

08 ноя 2014, 16:54

Разложение функции в тригонометрический ряд фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Dyaside

1

813

25 июн 2014, 19:04

Разложение ряда Фурье для четной функции

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

GoodNightMiky

1

425

06 апр 2015, 19:19

Разложение в ряд Фурье функции заданной графически

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Enginer

6

1274

27 фев 2016, 13:01

Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Dirolina

35

1902

03 июн 2015, 00:46

Разложение функции в ряд Фурье по синусам кратных дуг

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

kristalliks

5

370

18 окт 2023, 11:24

Разложение функции в ряд ФУРЬЕ по функциям УОЛША и АДАМАРА

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

taramz5

0

709

22 май 2014, 23:13

Записать разложение в ряд Фурье функции, заданной графиком

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Fedorpanow

5

499

18 дек 2016, 19:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved