Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 13:28 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 12:42
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые участники форума!
Я прошу вас немного помочь мне, а то сам я уже запутался.

Условие: разложить функцию
[math]y = x \cdot cos (x)[/math]
в интервале [math]\left( 0; \pi \right)[/math] в ряд Фурье по косинусам.

Коэффициент [math]\mathsf{a}_{0} = \frac{ -4 }{ \pi }[/math] (мной уже он посчитан).

Теперь коэффициент [math]\mathsf{a} _{n} = \int\limits_{0}^{ \pi } \mathsf{ \boldsymbol{x} } \cdot \cos{x} \cdot \cos{nx}[/math]

Тут получается замена примерно такая: [math]u=x, du=dx, dv=cos{x}*cos{nx}, v=\int cos{x}*cos{nx}dx[/math]

Чтобы нормально подставить замену, тут нужно посчитать интеграл [math]v=\int cos{x}*cos{nx}dx[/math]
Вообще из этого интеграла должно получиться что-то такое: [math]\frac{ n \cdot cos{x} \cdot sin{nx} - sin{nx} \cdot cos{nx} }{ n^{2} - 1 }[/math].

Суть в том, что я записал всё это вот так: [math]\int cos{x} \cdot cos{nx}dx = \frac{ n \cdot cos{x} \cdot sin{nx} - sin{nx} \cdot cos{nx} }{ n^{2} - 1 }[/math], а моему преподавателю непонятна эта запись, и мне нужно привести более подробное решение этого процесса интегрирования.

Она же (преподаватель) попыталась что-то подсказать мне, что-то вроде того, что можно здесь использовать формулу наподобие [math]cos{ \alpha } \cdot cos{ \beta }[/math], но я так и не понял, что она имела в виду.

Подскажите пожалуйста. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 14:17 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Erx писал(а):
Суть в том, что я записал всё это вот так: [math]\int cos{x}\cdot cos{nx}dx = \frac{n \cdot cos{x}\cdot sin{nx}- sin{nx}\cdot cos{nx}}{n^{2}- 1}[/math]
А потому что не нужно бездумно переписывать ответы с Вольфрамы.
[math]\cos{x}\cdot\cos{y}=\frac{1}{2}\left(\cos{(x-y)}+\cos{(x+y)}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 14:36 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 12:42
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math

Знаю, что тупо катать с вольфрамы плохо, но если пытаться интегрировать, используя формулу умножения косинусов, то тут ступор у меня.
Я где-то сильно ошибся, но не могу понять где именно.


[math]\int cos{x}\cdot cos{nx}dx = \frac{ 1 }{ 2 }\int cos(x+nx) + cos(x-nx) = \frac{ 1 }{ 2 } \int cos(x+nx) + \frac{ 1 }{ 2 } \int cos(x-nx)[/math]

Здесь есть какие-то ошибки? Может я неправильно принял [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] из формулы умножения косинусов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 14:51 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Erx писал(а):
Здесь есть какие-то ошибки
Ну вы забыли ещё умножить косинусы на [math]x[/math], да и лучше оставить в виде [math]\cos{(n+1)x}[/math] и [math]\cos{(n-1)x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Erx
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 14:58 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 12:42
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Ну вы забыли ещё умножить косинусы на , да и лучше оставить в виде и


То есть получится:

[math]\frac{ 1 }{ 2 } \int cos(n+1)x + \frac{ 1 }{ 2 } \int cos(n-1)x[/math] и считать их как два отдельных интеграла и затем сложить?

И тут же напрашивается вопрос у меня: можно ли из этих двух интегралов вынести за знак интеграла [math]cos(n+1)[/math] и [math]cos(n-1)[/math], или это грубейшее нарушение правил?

UPD:

Если же нет, то тогда получается, что та сумма из двух интегралов наверху равна:

[math]\frac{sin((n+1)x)}{2n+2} + \frac{ sin((n-1)x) }{ 2n-2 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 15:09 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получится [math]2\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}x\cos{\left[(n+1)x\right]}dx+2\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}x\cos{\left[(n-1)x\right]}dx[/math] - вот их и нужно вычислять.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 15:47 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 12:42
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здорово х)
Только для того, чтобы вычислить один внутренний интеграл, мне нужно вычислить ещё и два внутренних у этого внутреннего. Матан очень суровый. :D1

Для первого интеграла получилась какая-то странная ересь. Если без учёта того какой коэффициент стоит перед интегралом, правильно решено? (Прямоугольником обведена замена)

[math]\int\limits_{0}^{\pi}x \cdot cos((n+1)x)dx = \boxed{ [u = x, du = dx, dv = cos((n+1)x), v = \frac{ sin((n+1)x) }{ n+1 } ] } = \left.{ \frac{ x \cdot sin((n+1)x) }{ n+1 }\right|_{ 0 }^{ \pi } -[/math]
[math]\int\limits_{0}^{\pi} sin((n+1)x)} = (\frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi }{ n+1 } - 0 ) - \left.{ \frac{ cos((n+1)x }{ n+1 } }\right|_{ o }^{ \pi } = \frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi }{ n+1 } - \frac{ cos((n+1)\pi }{ n+1 } = \frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi) - cos((n+1)\pi) - 1 }{ n+1 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 16:12 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не совсем:
[math]\int_0^{\pi}x\cos{(n+1)x}dx=\frac{x\sin{(n+1)x}}{n+1}\Bigr|_0^{\pi}-\frac{1}{n+1}\int_0^{\pi}\sin{(n+1)x}dx=\frac{x\sin{(n+1)x}}{n+1}\Bigr|_0^{\pi}+\frac{\cos{(n+1)x}}{(n+1)^2}\Bigr|_0^{\pi}=...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Erx
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 16:45 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 12:42
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Странно всё это. После подстановки получается вот что:

[math]\frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi) }{ n+1 } + \frac{ cos((n-1)\pi) }{ (n+1)^{2} } - \frac{ 1 }{ (n+1)^{2} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение функции в ряд Фурье по косинусам
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2013, 16:56 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ничего странного. Дальше извлекайте из закоулков памяти знания по трогонометрии.
Например, чему равны [math]\sin{\pi},\,\sin{2\pi},\,\sin{3\pi},\,...,\,\sin{n\pi},\,\sin{(n+1)\pi}[/math]?
А также формулы приведения, ибо [math]\cos{(n+1)\pi}=\cos{(\pi+n\pi)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Erx
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложение функции в ряд Фурье по косинусам

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

alexander_swan

2

585

08 ноя 2014, 16:54

Разложение функции в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Danoldjar

0

615

10 авг 2015, 11:04

Разложение функции в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

animanics

1

816

18 июн 2014, 13:25

Разложение функции в тригонометрический ряд фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Dyaside

1

813

25 июн 2014, 19:04

Разложение функции в ряд Фурье по синусам кратных дуг

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

kristalliks

5

370

18 окт 2023, 11:24

Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Dirolina

35

1902

03 июн 2015, 00:46

Разложение в ряд Фурье функции заданной графически

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Enginer

6

1274

27 фев 2016, 13:01

Разложение ряда Фурье для четной функции

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

GoodNightMiky

1

425

06 апр 2015, 19:19

Разложение функции в ряд ФУРЬЕ по функциям УОЛША и АДАМАРА

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

taramz5

0

709

22 май 2014, 23:13

Записать разложение в ряд Фурье функции, заданной графиком

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Fedorpanow

5

499

18 дек 2016, 19:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved