Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Erx |
|
|
Я прошу вас немного помочь мне, а то сам я уже запутался. Условие: разложить функцию [math]y = x \cdot cos (x)[/math] в интервале [math]\left( 0; \pi \right)[/math] в ряд Фурье по косинусам. Коэффициент [math]\mathsf{a}_{0} = \frac{ -4 }{ \pi }[/math] (мной уже он посчитан). Теперь коэффициент [math]\mathsf{a} _{n} = \int\limits_{0}^{ \pi } \mathsf{ \boldsymbol{x} } \cdot \cos{x} \cdot \cos{nx}[/math] Тут получается замена примерно такая: [math]u=x, du=dx, dv=cos{x}*cos{nx}, v=\int cos{x}*cos{nx}dx[/math] Чтобы нормально подставить замену, тут нужно посчитать интеграл [math]v=\int cos{x}*cos{nx}dx[/math] Вообще из этого интеграла должно получиться что-то такое: [math]\frac{ n \cdot cos{x} \cdot sin{nx} - sin{nx} \cdot cos{nx} }{ n^{2} - 1 }[/math]. Суть в том, что я записал всё это вот так: [math]\int cos{x} \cdot cos{nx}dx = \frac{ n \cdot cos{x} \cdot sin{nx} - sin{nx} \cdot cos{nx} }{ n^{2} - 1 }[/math], а моему преподавателю непонятна эта запись, и мне нужно привести более подробное решение этого процесса интегрирования. Она же (преподаватель) попыталась что-то подсказать мне, что-то вроде того, что можно здесь использовать формулу наподобие [math]cos{ \alpha } \cdot cos{ \beta }[/math], но я так и не понял, что она имела в виду. Подскажите пожалуйста. |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Erx писал(а): Суть в том, что я записал всё это вот так: [math]\int cos{x}\cdot cos{nx}dx = \frac{n \cdot cos{x}\cdot sin{nx}- sin{nx}\cdot cos{nx}}{n^{2}- 1}[/math] А потому что не нужно бездумно переписывать ответы с Вольфрамы.[math]\cos{x}\cdot\cos{y}=\frac{1}{2}\left(\cos{(x-y)}+\cos{(x+y)}\right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Erx |
|
|
mad_math
Знаю, что тупо катать с вольфрамы плохо, но если пытаться интегрировать, используя формулу умножения косинусов, то тут ступор у меня. Я где-то сильно ошибся, но не могу понять где именно. [math]\int cos{x}\cdot cos{nx}dx = \frac{ 1 }{ 2 }\int cos(x+nx) + cos(x-nx) = \frac{ 1 }{ 2 } \int cos(x+nx) + \frac{ 1 }{ 2 } \int cos(x-nx)[/math] Здесь есть какие-то ошибки? Может я неправильно принял [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] из формулы умножения косинусов? |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Erx писал(а): Здесь есть какие-то ошибки Ну вы забыли ещё умножить косинусы на [math]x[/math], да и лучше оставить в виде [math]\cos{(n+1)x}[/math] и [math]\cos{(n-1)x}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Erx |
||
Erx |
|
|
mad_math писал(а): Ну вы забыли ещё умножить косинусы на , да и лучше оставить в виде и То есть получится: [math]\frac{ 1 }{ 2 } \int cos(n+1)x + \frac{ 1 }{ 2 } \int cos(n-1)x[/math] и считать их как два отдельных интеграла и затем сложить? И тут же напрашивается вопрос у меня: можно ли из этих двух интегралов вынести за знак интеграла [math]cos(n+1)[/math] и [math]cos(n-1)[/math], или это грубейшее нарушение правил? UPD: Если же нет, то тогда получается, что та сумма из двух интегралов наверху равна: [math]\frac{sin((n+1)x)}{2n+2} + \frac{ sin((n-1)x) }{ 2n-2 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Получится [math]2\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}x\cos{\left[(n+1)x\right]}dx+2\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}x\cos{\left[(n-1)x\right]}dx[/math] - вот их и нужно вычислять.
|
||
Вернуться к началу | ||
Erx |
|
|
Здорово х)
Только для того, чтобы вычислить один внутренний интеграл, мне нужно вычислить ещё и два внутренних у этого внутреннего. Матан очень суровый. Для первого интеграла получилась какая-то странная ересь. Если без учёта того какой коэффициент стоит перед интегралом, правильно решено? (Прямоугольником обведена замена) [math]\int\limits_{0}^{\pi}x \cdot cos((n+1)x)dx = \boxed{ [u = x, du = dx, dv = cos((n+1)x), v = \frac{ sin((n+1)x) }{ n+1 } ] } = \left.{ \frac{ x \cdot sin((n+1)x) }{ n+1 }\right|_{ 0 }^{ \pi } -[/math] [math]\int\limits_{0}^{\pi} sin((n+1)x)} = (\frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi }{ n+1 } - 0 ) - \left.{ \frac{ cos((n+1)x }{ n+1 } }\right|_{ o }^{ \pi } = \frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi }{ n+1 } - \frac{ cos((n+1)\pi }{ n+1 } = \frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi) - cos((n+1)\pi) - 1 }{ n+1 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Не совсем:
[math]\int_0^{\pi}x\cos{(n+1)x}dx=\frac{x\sin{(n+1)x}}{n+1}\Bigr|_0^{\pi}-\frac{1}{n+1}\int_0^{\pi}\sin{(n+1)x}dx=\frac{x\sin{(n+1)x}}{n+1}\Bigr|_0^{\pi}+\frac{\cos{(n+1)x}}{(n+1)^2}\Bigr|_0^{\pi}=...[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Erx |
||
Erx |
|
|
Странно всё это. После подстановки получается вот что:
[math]\frac{ \pi \cdot sin((n+1)\pi) }{ n+1 } + \frac{ cos((n-1)\pi) }{ (n+1)^{2} } - \frac{ 1 }{ (n+1)^{2} }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Ничего странного. Дальше извлекайте из закоулков памяти знания по трогонометрии.
Например, чему равны [math]\sin{\pi},\,\sin{2\pi},\,\sin{3\pi},\,...,\,\sin{n\pi},\,\sin{(n+1)\pi}[/math]? А также формулы приведения, ибо [math]\cos{(n+1)\pi}=\cos{(\pi+n\pi)}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали: Erx |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложение функции в ряд Фурье по косинусам | 2 |
585 |
08 ноя 2014, 16:54 |
|
Разложение функции в ряд Фурье | 0 |
615 |
10 авг 2015, 11:04 |
|
Разложение функции в ряд Фурье | 1 |
816 |
18 июн 2014, 13:25 |
|
Разложение функции в тригонометрический ряд фурье | 1 |
813 |
25 июн 2014, 19:04 |
|
Разложение функции в ряд Фурье по синусам кратных дуг | 5 |
370 |
18 окт 2023, 11:24 |
|
Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции | 35 |
1902 |
03 июн 2015, 00:46 |
|
Разложение в ряд Фурье функции заданной графически | 6 |
1274 |
27 фев 2016, 13:01 |
|
Разложение ряда Фурье для четной функции | 1 |
425 |
06 апр 2015, 19:19 |
|
Разложение функции в ряд ФУРЬЕ по функциям УОЛША и АДАМАРА | 0 |
709 |
22 май 2014, 23:13 |
|
Записать разложение в ряд Фурье функции, заданной графиком | 5 |
499 |
18 дек 2016, 19:29 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |