Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Sone4ko |
|
|
а) по косинусах на [-П, П] б) по синусах на [-П, П] в) на интервале (0, 2П) Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math], а также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^(n+1)}{n^2}[/math] , также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}[/math] Подскажите, пожалуйста, заранее огромное спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Формулы нужно заключать в тэг math.
В чём конкретно возникли трудности? |
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Sone4ko писал(а): Разложить функцию [math]y=x^2[/math] в ряд Фурье а) по косинусах на [math][-\pi, \pi][/math] б) по синусах на [math][-\pi, \pi][/math] в) на интервале [math](0, 2 \pi)[/math] Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] , а также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}}{n^2}[/math] , также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}[/math] Подскажите, пожалуйста, заранее огромное спасибо!!!! Перевел в латекс - чтобы была ясна задача - задача интересна - это классика жанра - будем решать. |
||
Вернуться к началу | ||
Wersel |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Alexander N писал(а): Sone4ko писал(а): Разложить функцию [math]y=x^2[/math] в ряд Фурье a) по косинусам на [math][-\pi, \pi][/math] b) по синусам на [math][-\pi, \pi][/math] b) ==0! [math]a) \overline{f}=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{(\pi)^2}{3}[/math] [math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx x^2 cos(nx)=\frac{1}{\pi}[x^2\frac{sin(nx)}{n}+2x\frac{cos(nx)}{n^2}-\frac{2sin(nx)}{n^3}]_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{n^2}[/math] [math]x^2_{[-\pi;\pi]}=\frac{(\pi)^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n cos(nx)}{n^2}[/math] Последний раз редактировалось Alexander N 18 окт 2013, 23:06, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Wersel
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Sone4ko писал(а): Разложить функцию [math]y=x^2[/math] в ряд Фурье в) на интервале [math](0, 2 \pi)[/math] [math]a) \overline{f}=\frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{2 \pi}x^2dx=\frac{4(\pi)^2}{3}[/math] [math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}dx x^2 cos(nx)=\frac{1}{\pi}[x^2\frac{sin(nx)}{n}+2x\frac{cos(nx)}{n^2}-\frac{2sin(nx)}{n^3}]_{0}^{2\pi}=\frac{4}{n^2}[/math] [math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}dx x^2 sin(nx)=\frac{1}{\pi}[-x^2\frac{cos(nx)}{n}+2x\frac{sin(nx)}{n^2}+\frac{2cos(nx)}{n^3}]_{0}^{2\pi}=-\frac{4 \pi}{n}[/math] [math]x^2_{[0;2 \pi]}= \frac{4(\pi)^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty}[\frac{2 cos(nx)}{n^2}- \frac{4 \pi sin(nx)}{n}][/math] Последний раз редактировалось Alexander N 18 окт 2013, 23:41, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Ну вот задачки решены, а теперь бесплатная раздача слонов - за что мне нравятся ряды Фурье, потому что с помoщью них можно посчитать в общем то чуть ли не любую сумму ряда типа [math]S=\sum_{n=0}^{\infty}a_n[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Alexander N писал(а): Ну вот задачки решены, а теперь бесплатная раздача слонов - за что мне нравятся ряды Фурье, потому что с помoщью них можно посчитать в общем то чуть ли не любую сумму ряда типа [math]S=\sum_{n=0}^{\infty}a_n[/math] Сходу из первой задачки получаем [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}= \frac{2}{3}(\pi)^2; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{(\pi)^2}{12}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Из второй задачки получаем [math]4(\pi)^2=\frac{4(\pi)^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2};..... (\pi)^2=\frac{4(\pi)^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2};[/math]
Откуда [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{3(\pi)^2}{8}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: Sone4ko |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложить функцию в ряд Фурье | 0 |
644 |
08 апр 2014, 22:09 |
|
Разложить в ряд Фурье функцию | 1 |
1163 |
04 июл 2014, 17:11 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 3 |
377 |
12 дек 2019, 19:57 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 8 |
446 |
07 дек 2019, 20:31 |
|
РАЗЛОЖИТЬ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЮ x*(pi-x)
в форуме Ряды |
1 |
580 |
19 дек 2014, 21:05 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 0 |
430 |
05 июн 2019, 22:47 |
|
Разложить функцию в ряд фурье | 1 |
662 |
26 апр 2015, 17:25 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 2 |
298 |
01 май 2020, 05:09 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 1 |
264 |
18 май 2020, 18:40 |
|
Разложить функцию в ряд Фурье | 2 |
654 |
10 окт 2020, 11:26 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |