Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 21:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 21:07
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье

а) по косинусах на [-П, П]
б) по синусах на [-П, П]
в) на интервале (0, 2П)
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math], а также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^(n+1)}{n^2}[/math] , также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}[/math]
Подскажите, пожалуйста, заранее огромное спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 21:23 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формулы нужно заключать в тэг math.
В чём конкретно возникли трудности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 21:31 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sone4ko писал(а):
Разложить функцию [math]y=x^2[/math] в ряд Фурье
а) по косинусах на [math][-\pi, \pi][/math]
б) по синусах на [math][-\pi, \pi][/math]
в) на интервале [math](0, 2 \pi)[/math]
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] , а также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}}{n^2}[/math] , также [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}[/math]
Подскажите, пожалуйста, заранее огромное спасибо!!!!

Перевел в латекс - чтобы была ясна задача - задача интересна - это классика жанра - будем решать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 22:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что же интересного, если классика. Типичная учебная задача.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 22:28 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Sone4ko писал(а):
Разложить функцию [math]y=x^2[/math] в ряд Фурье
a) по косинусам на [math][-\pi, \pi][/math]
b) по синусам на [math][-\pi, \pi][/math]


b) ==0!
[math]a) \overline{f}=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{(\pi)^2}{3}[/math]

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx x^2 cos(nx)=\frac{1}{\pi}[x^2\frac{sin(nx)}{n}+2x\frac{cos(nx)}{n^2}-\frac{2sin(nx)}{n^3}]_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{n^2}[/math]

[math]x^2_{[-\pi;\pi]}=\frac{(\pi)^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n cos(nx)}{n^2}[/math]


Последний раз редактировалось Alexander N 18 окт 2013, 23:06, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 22:39 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wersel
А может человек давно что-нибудь в ряд Фурье не раскладывал, соскучился :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 23:04 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sone4ko писал(а):
Разложить функцию [math]y=x^2[/math] в ряд Фурье
в) на интервале [math](0, 2 \pi)[/math]


[math]a) \overline{f}=\frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{2 \pi}x^2dx=\frac{4(\pi)^2}{3}[/math]

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}dx x^2 cos(nx)=\frac{1}{\pi}[x^2\frac{sin(nx)}{n}+2x\frac{cos(nx)}{n^2}-\frac{2sin(nx)}{n^3}]_{0}^{2\pi}=\frac{4}{n^2}[/math]

[math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}dx x^2 sin(nx)=\frac{1}{\pi}[-x^2\frac{cos(nx)}{n}+2x\frac{sin(nx)}{n^2}+\frac{2cos(nx)}{n^3}]_{0}^{2\pi}=-\frac{4 \pi}{n}[/math]

[math]x^2_{[0;2 \pi]}= \frac{4(\pi)^2}{3}+ \sum_{n=1}^{\infty}[\frac{2 cos(nx)}{n^2}- \frac{4 \pi sin(nx)}{n}][/math]


Последний раз редактировалось Alexander N 18 окт 2013, 23:41, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 23:11 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну вот задачки решены, а теперь бесплатная раздача слонов - за что мне нравятся ряды Фурье, потому что с помoщью них можно посчитать в общем то чуть ли не любую сумму ряда типа [math]S=\sum_{n=0}^{\infty}a_n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 23:19 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Ну вот задачки решены, а теперь бесплатная раздача слонов - за что мне нравятся ряды Фурье, потому что с помoщью них можно посчитать в общем то чуть ли не любую сумму ряда типа [math]S=\sum_{n=0}^{\infty}a_n[/math]


Сходу из первой задачки получаем [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}= \frac{2}{3}(\pi)^2; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{(\pi)^2}{12}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложить функцию y=x^2 в ряд Фурье
СообщениеДобавлено: 18 окт 2013, 23:54 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из второй задачки получаем [math]4(\pi)^2=\frac{4(\pi)^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2};..... (\pi)^2=\frac{4(\pi)^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2};[/math]

Откуда [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{3(\pi)^2}{8}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
Sone4ko
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

akiruask

0

644

08 апр 2014, 22:09

Разложить в ряд Фурье функцию

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Neket777

1

1163

04 июл 2014, 17:11

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

351w

3

377

12 дек 2019, 19:57

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

351w

8

446

07 дек 2019, 20:31

РАЗЛОЖИТЬ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЮ x*(pi-x)

в форуме Ряды

STUDENTKARFGGRD

1

580

19 дек 2014, 21:05

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Arsooha

0

430

05 июн 2019, 22:47

Разложить функцию в ряд фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

gudzik

1

662

26 апр 2015, 17:25

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Kipriot

2

298

01 май 2020, 05:09

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

EGORall

1

264

18 май 2020, 18:40

Разложить функцию в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

351w

2

654

10 окт 2020, 11:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved