Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 11 окт 2013, 14:45 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]U=v-\frac{4}{5}\cos(\frac{3x}{2}); => U_{tt}-3U_t=U_{xx}+U;[/math]

[math]U_x(0,t)=0; U(\pi,t)=0;[/math]

[math]U(x,0)=-x-\frac{4}{5}\cos(\frac{3x}{2}); U_t(x,0)=0[/math]

[math]\frac{T_{tt}-3T_t}{T}=k=\frac{X_xx+X}{X}=> T_{tt}-3T_t-kT=0; X_{xx}+X(1-k)=0;[/math]

[math]X=A\cos(x\sqrt{k-1})+B\sin(x\sqrt{k-1}); X_x=\sqrt{k-1}(-A\sin(x\sqrt{k-1})+B\cos(x\sqrt{k-1}))[/math]

[math]X_x(0)=0 => B=0; X(\pi)=Acos(\pi\sqrt{k-1})=0; => \pi\sqrt{k-1}=\pi(0,5+n); => k=1+(n+0,5)^2; n=0,1,..... X=T_n(0)\cos(x(n+0,5))[/math]

[math]T_{tt}-3T_t-[1+(0,5+n)^2]T=0; P_{1,2}=1,5\pm\sqrt{n^2+n+3,5}[/math]

[math]T=e^{1,5t}(A_n\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})+B_n\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5}));[/math]

[math]T_t=e^{1,5t}[\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})(1,5A_n+\sqrt{n^2+n+3,5}B_n)+\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5})(1,5B_n+\sqrt{n^2+n+3,5}A_n)][/math]

[math]T_t(0)=0;=> 1,5B_n+\sqrt{n^2+n+3,5}A_n=0; => B_n= - \frac{A_n\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}[/math]

[math]U=\sum_{n=0}^{\infty}\cos[(n+0,5)x]A_n e^{1,5t}[\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})- \frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5})][/math]

[math]U(x,0) = - x-\frac{4}{5}\cos(1,5x); => \sum_{n=0}^{\infty}C_n \cos(x(n+0,5))=x+\frac{4}{5}\cos(1,5x); C_n=A_n\frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}[/math]

[math]C_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(x+\frac{4}{5}\cos(1,5x)cos((n+0,5)x)dx = \frac{(-1)^n}{2n+1}; n>1; C_0=4; C_1=-\frac{8}{15}[/math]

[math]U=e^{1,5t}[\cos(0,5x)6\sqrt{\frac{2}{7}}(\sinh(t\sqrt{\frac{7}{2}})-\frac{\sqrt{14}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{7}{2}}))]-\cos(1,5x)\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{11}}(\sinh(t\sqrt{\frac{11}{2}})-\frac{\sqrt{22}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{11}{2}}))+[/math]


[math]+\sum_{n=2}^{\infty} \cos((n+0,5)x)\frac{3(-1)^n}{(n+0,5)\sqrt{n^2+n+3,5}}e^{1,5t}(\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})-\frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5}))][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 11 окт 2013, 18:53 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При решении второй задачи с помощью преобразования Лапласа получилось чрезвычайно сложное отображение U(p), обратить которое чрезвычайно сложно, поэтому решать задачу нужно по другому.
Изюминка решения состоит в следующем.
После сведения граничных условий к нулевым получается довольно сложное выражение для правой части уравнения.
Однако если искать решение методом разделения перемнных, то при нулевых граничных и начальных условиях нетрудно найти спектр собственных значений, удовлетворяющих нулевым граничным условиям. Далее следует применить нетривиальный ход - разложить правую часть в ряд Фурье по собственным функциям полученным для переменной х. Тогда решение сведется к нахождению множества частных решений по t с правой частью и с нулевыми начальными условиями.
PS. Пока я выложил точный и результативный план решения задачи, потому что у меня сейчас нет времени и советую вам самому попробовать ее решить. Я решу задачу позже - скорее завтра или точно в воскресенье вечером.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 11 окт 2013, 19:05 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Маленькое уточнение ответа задачи 2 -множитель [math]e^{1,5t}[/math] общий для всех членов решения
[math]U=e^{1,5t}[\cos(0,5x)6\sqrt{\frac{2}{7}}(\sinh(t\sqrt{\frac{7}{2}})-\frac{\sqrt{14}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{7}{2}}))-\cos(1,5x)\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{11}}(\sinh(t\sqrt{\frac{11}{2}})-\frac{\sqrt{22}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{11}{2}}))]+[/math]


[math]+\sum_{n=2}^{\infty} \cos((n+0,5)x)\frac{3(-1)^n}{(n+0,5)\sqrt{n^2+n+3,5}}e^{1,5t}(\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})-\frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5}))][/math][/quote]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 22:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 окт 2013, 14:48
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ух ты абалдеть... спасибо огромное ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 23:06 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IIyTHuK писал(а):
ух ты абалдеть... спасибо огромное ...

Не спеши - публикую решение второй задачи самой сложной и громздкой по частям в нескольких постах.
Решение второй задачи - часть 1
[math]u_t=u_xx+6u+x^2(1-6t)-2(1+3x)+sin(2x); (0<x<1)[/math]
[math]u_x(0,t)=1; u_x(1,t)=2\pi t+1; u(x,0)=1[/math]
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[math]u=v+x+x^2\pi t; v=u-x-x^2 \pi t[/math]
[math]v_t+\pi x^2=v_{xx} +6v +x^2(1-6t)-2(1+3x)+sin(2x)+2\pi t +6x+6x^2 \pi t[/math]
[math]v_t=v_{xx}+6v +x^2(1-\pi)(1-6t)+2(\pi t - 1) +sin (2x)[/math]
[math]v_x(0,t)=0; v_x(1,t)=0; v(x,0)=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 23:40 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение второй задачи - часть 2
Ищем сначала частное решение без правой части методом разделения переменных Фурье
[math]v=T(t)X(x); \frac{T_t}{T}=\frac{X_{xx}+6X}{X}=\lambda; => T=T_o e^{\lambda t}; X_{xx}+X(6-\lambda)=0[/math]
Решение можно представить в виде [math]X=A_{\lambda}\cos(x\sqrt{6-\lambda}) + B_{\lambda}\sin(x\sqrt{6-\lambda})[/math]
1). Граничное условие при х=0;
[math]X(0)=0=\sqrt{6-\lambda}(-A_{\lambda}\sin(0\sqrt{6-\lambda}) + B_{\lambda}\cos(0\sqrt{6-\lambda}); => B_{\lambda}=0;[/math]
2). Граничное условие при х=1;
[math]X(1)=0=\sqrt{6-\lambda}(-A_{\lambda}\sin(\sqrt{6-\lambda}); => \sin(\sqrt{6-\lambda})=0; => \sqrt{6-\lambda})= \pi n; => \lambda = 6-(\pi n)^2; n=0,1,2,3,.......[/math]
Общее решение V запишется в виде [math]V=\sum_{n=0}^{\infty}e^{(6-(\pi n)^2)t}C_n \cos(\pi n x)[/math]
Далее следует искать решение с правой частью в виде данного ряда по [math]{cos(n\pi x)}[/math], а [math]C_n=C_n(t)[/math] следует искать методом вариации произвольной постоянной для правой части.
Для решения следует представить правую часть [math]x^2(1-\pi)(1-6t)+2(\pi t - 1) +sin (2x)[/math] в виде ряда по [math]{cos(n\pi x)}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 14 окт 2013, 00:12 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение второй задачи - часть 3
1). Разложение [math]x^2=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(\pi n x)[/math]

[math]a_0=\int_0^1 x^2 dx= \frac{1}{3}; \int_0^1 cos^2(\pi n x) dx = \int_0^1 \frac{1+cos(2 \pi n x)}{2}dx = \frac{1}{2}+ \frac{sin(2 \pi n x)}{2 \pi n x}|_0^1=\frac{1}{2}[/math]

[math]a_n= 2 \int_0^1 x^2 \cos(\pi n x) dx= 2[x^2\frac{sin(\pi n x)}{\pi n}+2x\frac{cos(\pi n x)}{(\pi n)^2}-2 \frac{sin(\pi n x)}{(\pi n)^3}]_0^1=4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}[/math]

2). Разложение [math]sin(2x)=b_0+\sum_{n=1}^{\infty}b_n \cos(\pi n x)[/math]

[math]b_0=\int_0^1 \sin(2x) dx= - \frac{\cos(2x)}{2}|_0^1=\frac{1-cos2}{2}; sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)][/math]

[math]b_n=2\int_0^1 cos(\pi n x) sin(2x) dx = \int_0^1 [sin(2-\pi n)x +sin(2+\pi n)x]dx=-[\frac{cos(x(2-\pi n))}{2-\pi n}+ \frac{cos(x(2+\pi n))}{2+\pi n}]_0^1=[\frac{1-cos(2-\pi n)}{2-\pi n}+\frac{1-cos(2+\pi n)}{2+\pi n}]=[/math]

[math]\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{2-\pi n}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{2+\pi n}= \frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5\pi n)^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 14 окт 2013, 00:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 окт 2013, 14:48
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ОХ.. сколько же это у вас времени заняло .. мне аж стыдно... Но я Очень благодарен... Завтра пойду на последнюю пересдачу ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 14 окт 2013, 00:37 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение второй задачи - часть 4
Решение по t с правой частью для n=0.
[math]C'_0(t)e^{6t}= \frac{(1-\pi)(1-6t)}{3}+2(\pi+t) \frac{1-cos2}{2}[/math] при [math]C_0(0)=0[/math]

[math]C_0(t)=C_0 - \frac{e^{-6t}}{6}[\frac{(1-\pi)(1-6t)}{3}+2(\pi+t)+ \frac{1-cos2}{2}]-\frac{e^{-6t}}{36}[2(1-\pi)+2]=C_0-\frac{e^{-6t}}{18}[(1-\pi)(1-6t)+6(\pi+t)+\frac{3}{2}(1-cos2)+2-\pi]=[/math]

[math]C_0-\frac{e^{-6t}}{18}[-6\pi t+4\pi +\frac{9}{2}-\frac{3}{2}cos2];[/math]

Отсюда [math]C_0= \frac{4\pi +\frac{9}{2}-\frac{3}{2}cos2}{18};[/math]

[math]V_0= \frac{4\pi +\frac{9}{2}-\frac{3}{2}cos2}{18}(e^{6t}-1)+\frac{\pi t}{3}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 14 окт 2013, 01:17 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение второй задачи - часть 5
Решение по t с правой частью для n>0

[math]C'_n(t)e^{(6-(\pi n)^2)t}=(1-\pi)(1-6t)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}[/math] при [math]C_n(0)=0[/math]

[math]C_n(t)=C_{n0}+\int e^{(\pi n)^2-6)t}dt [(1-\pi)(1-6t)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}]=[/math]

[math]C_{n0}+\frac{e^{((\pi n)^2-6)t}}{(\pi n)^2-6}[(1-\pi)(1-6t)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}]+24(1-\pi)\frac{e^{((\pi n)^2-6)t}}{[(\pi n)^2-6]^2}[\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}][/math]

[math]C_n(0)=0 =C_{n0}+\frac{1}{(\pi n)^2-6}[(1-\pi)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}]+24(1-\pi)[\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2 [(\pi n)^2-6]^2}]=0;[/math]

[math]v_n=cos(\pi n x)[-\frac{(1-\pi)24t[(-1)^n-1]}{((\pi n)^2-6)(\pi n)^2}+(1-e^{(6-(\pi n)^2)t})[(\frac{1}{(\pi n)^2-6})(\frac{(1-\pi)4[(-1)^n-1]}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2})+\frac{24(1-\pi)[(-1)^n-1]}{((\pi n)^2-6)^2(\pi n)^2}][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  След.  Страница 2 из 3 [ Сообщений: 25 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение начально-краевой задачи методом Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

evaf

0

383

01 ноя 2017, 22:40

Найти решение задачи методом разделения переменных (Фурье)

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

RED_Snail

1

306

16 янв 2017, 21:34

Решить методом Фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

2706Irina

1

290

20 май 2018, 16:58

Волновое уравнение методом Фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

spriter95

0

170

24 янв 2019, 17:16

Фильтрация данных методом Фурье

в форуме MathCad

dusikasss

2

562

12 мар 2015, 00:10

Уравнение теплопроводности методом фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

qvwolfie

1

318

09 фев 2018, 21:58

Уравнение Лапласа в полярных координатах методом Фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

9lov

0

163

22 сен 2019, 14:41

Решение ДУ операционным методом

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

serg50

7

372

23 апр 2018, 19:13

Решение методом Гаусса

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

maksim-maksim

3

534

29 сен 2017, 15:09

Решение методом Гаусса

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Math89

2

362

11 окт 2016, 20:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved