Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 3 |
[ Сообщений: 25 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Alexander N |
|
||
[math]U_x(0,t)=0; U(\pi,t)=0;[/math] [math]U(x,0)=-x-\frac{4}{5}\cos(\frac{3x}{2}); U_t(x,0)=0[/math] [math]\frac{T_{tt}-3T_t}{T}=k=\frac{X_xx+X}{X}=> T_{tt}-3T_t-kT=0; X_{xx}+X(1-k)=0;[/math] [math]X=A\cos(x\sqrt{k-1})+B\sin(x\sqrt{k-1}); X_x=\sqrt{k-1}(-A\sin(x\sqrt{k-1})+B\cos(x\sqrt{k-1}))[/math] [math]X_x(0)=0 => B=0; X(\pi)=Acos(\pi\sqrt{k-1})=0; => \pi\sqrt{k-1}=\pi(0,5+n); => k=1+(n+0,5)^2; n=0,1,..... X=T_n(0)\cos(x(n+0,5))[/math] [math]T_{tt}-3T_t-[1+(0,5+n)^2]T=0; P_{1,2}=1,5\pm\sqrt{n^2+n+3,5}[/math] [math]T=e^{1,5t}(A_n\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})+B_n\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5}));[/math] [math]T_t=e^{1,5t}[\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})(1,5A_n+\sqrt{n^2+n+3,5}B_n)+\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5})(1,5B_n+\sqrt{n^2+n+3,5}A_n)][/math] [math]T_t(0)=0;=> 1,5B_n+\sqrt{n^2+n+3,5}A_n=0; => B_n= - \frac{A_n\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}[/math] [math]U=\sum_{n=0}^{\infty}\cos[(n+0,5)x]A_n e^{1,5t}[\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})- \frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5})][/math] [math]U(x,0) = - x-\frac{4}{5}\cos(1,5x); => \sum_{n=0}^{\infty}C_n \cos(x(n+0,5))=x+\frac{4}{5}\cos(1,5x); C_n=A_n\frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}[/math] [math]C_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(x+\frac{4}{5}\cos(1,5x)cos((n+0,5)x)dx = \frac{(-1)^n}{2n+1}; n>1; C_0=4; C_1=-\frac{8}{15}[/math] [math]U=e^{1,5t}[\cos(0,5x)6\sqrt{\frac{2}{7}}(\sinh(t\sqrt{\frac{7}{2}})-\frac{\sqrt{14}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{7}{2}}))]-\cos(1,5x)\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{11}}(\sinh(t\sqrt{\frac{11}{2}})-\frac{\sqrt{22}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{11}{2}}))+[/math] [math]+\sum_{n=2}^{\infty} \cos((n+0,5)x)\frac{3(-1)^n}{(n+0,5)\sqrt{n^2+n+3,5}}e^{1,5t}(\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})-\frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5}))][/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexander N |
|
||
При решении второй задачи с помощью преобразования Лапласа получилось чрезвычайно сложное отображение U(p), обратить которое чрезвычайно сложно, поэтому решать задачу нужно по другому.
Изюминка решения состоит в следующем. После сведения граничных условий к нулевым получается довольно сложное выражение для правой части уравнения. Однако если искать решение методом разделения перемнных, то при нулевых граничных и начальных условиях нетрудно найти спектр собственных значений, удовлетворяющих нулевым граничным условиям. Далее следует применить нетривиальный ход - разложить правую часть в ряд Фурье по собственным функциям полученным для переменной х. Тогда решение сведется к нахождению множества частных решений по t с правой частью и с нулевыми начальными условиями. PS. Пока я выложил точный и результативный план решения задачи, потому что у меня сейчас нет времени и советую вам самому попробовать ее решить. Я решу задачу позже - скорее завтра или точно в воскресенье вечером. |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexander N |
|
|
Маленькое уточнение ответа задачи 2 -множитель [math]e^{1,5t}[/math] общий для всех членов решения
[math]U=e^{1,5t}[\cos(0,5x)6\sqrt{\frac{2}{7}}(\sinh(t\sqrt{\frac{7}{2}})-\frac{\sqrt{14}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{7}{2}}))-\cos(1,5x)\frac{4}{5}\sqrt{\frac{2}{11}}(\sinh(t\sqrt{\frac{11}{2}})-\frac{\sqrt{22}}{3}\cosh(t\sqrt{\frac{11}{2}}))]+[/math] [math]+\sum_{n=2}^{\infty} \cos((n+0,5)x)\frac{3(-1)^n}{(n+0,5)\sqrt{n^2+n+3,5}}e^{1,5t}(\sinh(t\sqrt{n^2+n+3,5})-\frac{\sqrt{n^2+n+3,5}}{1,5}\cosh(t\sqrt{n^2+n+3,5}))][/math][/quote] |
||
Вернуться к началу | ||
IIyTHuK |
|
||
ух ты абалдеть... спасибо огромное ...
|
|||
Вернуться к началу | |||
Alexander N |
|
|
IIyTHuK писал(а): ух ты абалдеть... спасибо огромное ... Не спеши - публикую решение второй задачи самой сложной и громздкой по частям в нескольких постах. Решение второй задачи - часть 1 [math]u_t=u_xx+6u+x^2(1-6t)-2(1+3x)+sin(2x); (0<x<1)[/math] [math]u_x(0,t)=1; u_x(1,t)=2\pi t+1; u(x,0)=1[/math] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [math]u=v+x+x^2\pi t; v=u-x-x^2 \pi t[/math] [math]v_t+\pi x^2=v_{xx} +6v +x^2(1-6t)-2(1+3x)+sin(2x)+2\pi t +6x+6x^2 \pi t[/math] [math]v_t=v_{xx}+6v +x^2(1-\pi)(1-6t)+2(\pi t - 1) +sin (2x)[/math] [math]v_x(0,t)=0; v_x(1,t)=0; v(x,0)=0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
||
Решение второй задачи - часть 2
Ищем сначала частное решение без правой части методом разделения переменных Фурье [math]v=T(t)X(x); \frac{T_t}{T}=\frac{X_{xx}+6X}{X}=\lambda; => T=T_o e^{\lambda t}; X_{xx}+X(6-\lambda)=0[/math] Решение можно представить в виде [math]X=A_{\lambda}\cos(x\sqrt{6-\lambda}) + B_{\lambda}\sin(x\sqrt{6-\lambda})[/math] 1). Граничное условие при х=0; [math]X(0)=0=\sqrt{6-\lambda}(-A_{\lambda}\sin(0\sqrt{6-\lambda}) + B_{\lambda}\cos(0\sqrt{6-\lambda}); => B_{\lambda}=0;[/math] 2). Граничное условие при х=1; [math]X(1)=0=\sqrt{6-\lambda}(-A_{\lambda}\sin(\sqrt{6-\lambda}); => \sin(\sqrt{6-\lambda})=0; => \sqrt{6-\lambda})= \pi n; => \lambda = 6-(\pi n)^2; n=0,1,2,3,.......[/math] Общее решение V запишется в виде [math]V=\sum_{n=0}^{\infty}e^{(6-(\pi n)^2)t}C_n \cos(\pi n x)[/math] Далее следует искать решение с правой частью в виде данного ряда по [math]{cos(n\pi x)}[/math], а [math]C_n=C_n(t)[/math] следует искать методом вариации произвольной постоянной для правой части. Для решения следует представить правую часть [math]x^2(1-\pi)(1-6t)+2(\pi t - 1) +sin (2x)[/math] в виде ряда по [math]{cos(n\pi x)}[/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexander N |
|
||
Решение второй задачи - часть 3
1). Разложение [math]x^2=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(\pi n x)[/math] [math]a_0=\int_0^1 x^2 dx= \frac{1}{3}; \int_0^1 cos^2(\pi n x) dx = \int_0^1 \frac{1+cos(2 \pi n x)}{2}dx = \frac{1}{2}+ \frac{sin(2 \pi n x)}{2 \pi n x}|_0^1=\frac{1}{2}[/math] [math]a_n= 2 \int_0^1 x^2 \cos(\pi n x) dx= 2[x^2\frac{sin(\pi n x)}{\pi n}+2x\frac{cos(\pi n x)}{(\pi n)^2}-2 \frac{sin(\pi n x)}{(\pi n)^3}]_0^1=4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}[/math] 2). Разложение [math]sin(2x)=b_0+\sum_{n=1}^{\infty}b_n \cos(\pi n x)[/math] [math]b_0=\int_0^1 \sin(2x) dx= - \frac{\cos(2x)}{2}|_0^1=\frac{1-cos2}{2}; sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)][/math] [math]b_n=2\int_0^1 cos(\pi n x) sin(2x) dx = \int_0^1 [sin(2-\pi n)x +sin(2+\pi n)x]dx=-[\frac{cos(x(2-\pi n))}{2-\pi n}+ \frac{cos(x(2+\pi n))}{2+\pi n}]_0^1=[\frac{1-cos(2-\pi n)}{2-\pi n}+\frac{1-cos(2+\pi n)}{2+\pi n}]=[/math] [math]\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{2-\pi n}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{2+\pi n}= \frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5\pi n)^2}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
IIyTHuK |
|
||
ОХ.. сколько же это у вас времени заняло .. мне аж стыдно... Но я Очень благодарен... Завтра пойду на последнюю пересдачу ...
|
|||
Вернуться к началу | |||
Alexander N |
|
||
Решение второй задачи - часть 4
Решение по t с правой частью для n=0. [math]C'_0(t)e^{6t}= \frac{(1-\pi)(1-6t)}{3}+2(\pi+t) \frac{1-cos2}{2}[/math] при [math]C_0(0)=0[/math] [math]C_0(t)=C_0 - \frac{e^{-6t}}{6}[\frac{(1-\pi)(1-6t)}{3}+2(\pi+t)+ \frac{1-cos2}{2}]-\frac{e^{-6t}}{36}[2(1-\pi)+2]=C_0-\frac{e^{-6t}}{18}[(1-\pi)(1-6t)+6(\pi+t)+\frac{3}{2}(1-cos2)+2-\pi]=[/math] [math]C_0-\frac{e^{-6t}}{18}[-6\pi t+4\pi +\frac{9}{2}-\frac{3}{2}cos2];[/math] Отсюда [math]C_0= \frac{4\pi +\frac{9}{2}-\frac{3}{2}cos2}{18};[/math] [math]V_0= \frac{4\pi +\frac{9}{2}-\frac{3}{2}cos2}{18}(e^{6t}-1)+\frac{\pi t}{3}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexander N |
|
||
Решение второй задачи - часть 5
Решение по t с правой частью для n>0 [math]C'_n(t)e^{(6-(\pi n)^2)t}=(1-\pi)(1-6t)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}[/math] при [math]C_n(0)=0[/math] [math]C_n(t)=C_{n0}+\int e^{(\pi n)^2-6)t}dt [(1-\pi)(1-6t)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}]=[/math] [math]C_{n0}+\frac{e^{((\pi n)^2-6)t}}{(\pi n)^2-6}[(1-\pi)(1-6t)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}]+24(1-\pi)\frac{e^{((\pi n)^2-6)t}}{[(\pi n)^2-6]^2}[\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}][/math] [math]C_n(0)=0 =C_{n0}+\frac{1}{(\pi n)^2-6}[(1-\pi)4\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2}]+24(1-\pi)[\frac{(-1)^n-1}{(\pi n)^2 [(\pi n)^2-6]^2}]=0;[/math] [math]v_n=cos(\pi n x)[-\frac{(1-\pi)24t[(-1)^n-1]}{((\pi n)^2-6)(\pi n)^2}+(1-e^{(6-(\pi n)^2)t})[(\frac{1}{(\pi n)^2-6})(\frac{(1-\pi)4[(-1)^n-1]}{(\pi n)^2}+\frac{1+(-1)^{n+1}cos2}{1-(0,5 \pi n)^2})+\frac{24(1-\pi)[(-1)^n-1]}{((\pi n)^2-6)^2(\pi n)^2}][/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
На страницу Пред. 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 25 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решение начально-краевой задачи методом Фурье | 0 |
383 |
01 ноя 2017, 22:40 |
|
Найти решение задачи методом разделения переменных (Фурье) | 1 |
306 |
16 янв 2017, 21:34 |
|
Решить методом Фурье | 1 |
290 |
20 май 2018, 16:58 |
|
Волновое уравнение методом Фурье | 0 |
170 |
24 янв 2019, 17:16 |
|
Фильтрация данных методом Фурье
в форуме MathCad |
2 |
562 |
12 мар 2015, 00:10 |
|
Уравнение теплопроводности методом фурье | 1 |
318 |
09 фев 2018, 21:58 |
|
Уравнение Лапласа в полярных координатах методом Фурье | 0 |
163 |
22 сен 2019, 14:41 |
|
Решение ДУ операционным методом | 7 |
372 |
23 апр 2018, 19:13 |
|
Решение методом Гаусса
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
534 |
29 сен 2017, 15:09 |
|
Решение методом Гаусса
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
362 |
11 окт 2016, 20:26 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |