Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 09 окт 2013, 16:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 окт 2013, 15:48
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток. Собственно нужна помощь в решении данных задач...

Изображение

#3( есть на фото) Найти функцию гармоническую внутри круга радиуса R с центром
в начале координат и такую, что
u|r=R = sin2 (ϕ).

1 и 2 задания я неуверен как звучат ... но вроде бы. Решить методом фурье.

PS курс называется Метод Фурье .. вроде бы...
4 курс мат.фак как решать я и близко не знаю... а сдавать уже надо оооочень в скором времени... ибо отчисление на носу..
Буду рад любым решенным из списка..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 09 окт 2013, 18:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
▼ 3-ья
3. Гармонические в круге функции в двумерном случае представляются в виде линейной комбинации (возможно, что и бесконечной) следующего набора функций:

[math]1,\ r^n\cos n\varphi,\ r^n\sin n\varphi,\ n\in\mathbb{N}[/math]

Граничную функцию можно представить в виде

[math]\sin^3\varphi=\frac34\sin\varphi-\frac14\sin3\varphi[/math]

откуда становится ясно, что решение нужно искать в виде

[math]u=A_1r\sin\varphi+A_2r^3\sin3\varphi[/math]

Тогда

[math]\left.u_r\right|_{r=R}=A_1\sin\varphi+3A_2R^2\sin3\varphi=\frac34\sin\varphi-\frac14\sin3\varphi[/math]

Отсюда [math]A_1=\frac34,\ A_2=-\frac1{12R^2}[/math], и окончательно

[math]u=\frac34r\sin\varphi-\frac1{12R^2}r^3\sin3\varphi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
IIyTHuK
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 09 окт 2013, 21:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 окт 2013, 15:48
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваще чётко!!! Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 10 окт 2013, 01:20 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 14:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
160 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IIyTHuK писал(а):
Доброго времени суток. Собственно нужна помощь в решении данных задач...
1 и 2 задания я неуверен как звучат ... но вроде бы. Решить методом фурье.

PS курс называется Метод Фурье .. вроде бы...
4 курс мат.фак как решать я и близко не знаю... а сдавать уже надо оооочень в скором времени... ибо отчисление на носу..
Буду рад любым решенным из списка..

Круто вас загрузили. Я такие задачи живьем не встречал и пошел по неверному пути приведения их к однородным путем подбора частного решения, компенсирующего лишние члены не содержащие неизвестную функцию. При этом получаются зверские граничные и краевые условия, которые методом разделения переменных не одолеть. Правильный путь по видимому состоит в применении преобразования Лапласа по времени в лоб ко всем уравнениям и краевым и граничным условиям. Но это требует большого времени и неизвестно, что там вылезет с обратным преобразованием Лапласа. Если будет время завтра попробую расщелкать ваши интересные задачки. Я вам это пишу для того, чтобы вы и сами попробовали реализовать предлагаемый план решения, что возможно ускорит процесс решения и его понимания вами.
PS. На мой вкус это очень интересные задачи - я с такими навороченными по жизни не сталкивался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
IIyTHuK
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 10 окт 2013, 02:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 окт 2013, 15:48
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень рад что Вам понравилось.. но я не прибёг бы к варианту с вашим форумом если бы мне мог хоть кто нибудь решить с моего курса... я вообще не понимаю как многие сдали ЭТО ... ибо сам я смотрю на эти задачи... как на китайские иероглифы... вот и надеюсь что вы мне поможете с решениями.. и меня все таки не отчислят 15 числа... =))
PS

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 10 окт 2013, 12:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну не знаю, первая после обнуления граничных условий сводится к довольно простому виду, к которому уже можно применять метод Фурье. Во второй подозреваю опечатку в граничном условии, вряд ли там стоит число пи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 10 окт 2013, 19:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 окт 2013, 15:48
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
вот номера вытащенные из методички... вроде без ошибок..
Изображение
наличие методички ситуацию не прояснило..

но все равно спасибо.. буду искать другие пути сдачи...

PS методичка сама лежит тут
(http://www.kuchp.ru/index.php?name=File ... ile&lid=21 )
мало ли может кому то интересно...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 10 окт 2013, 22:44 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 14:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
160 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Ну не знаю, первая после обнуления граничных условий сводится к довольно простому виду, к которому уже можно применять метод Фурье. Во второй подозреваю опечатку в граничном условии, вряд ли там стоит число пи.

Как? Подскажите коллега, а то я все забыл, да и времени не было ни минуты, а студента надо спасать - мне почему то его жаль.
Кстати уважаемый Human! Что скажете о моем плане решения? Я без корысти - просто хочется человеку помочь.
Кстати есть еще запасной вариант, но там очень сложно со сходимостью - короче по х представляем решение в виде ряда Фурье в интервале [0,1], а по t как получится. Частные решения ищем путем умножения решения-ряда на один из компонентов, интегрирования в интервале [0,1] и использования условия ортогональности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 11 окт 2013, 13:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Кстати есть еще запасной вариант, но там очень сложно со сходимостью - короче по х представляем решение в виде ряда Фурье в интервале [0,1], а по t как получится. Частные решения ищем путем умножения решения-ряда на один из компонентов, интегрирования в интервале [0,1] и использования условия ортогональности.


Так это и есть метод Фурье (метод разделения переменных).

Alexander N писал(а):
Как? Подскажите коллега, а то я все забыл, да и времени не было ни минуты, а студента надо спасать - мне почему то его жаль.


▼ Вот его применение для первой задачи
Сначала заменой [math]u=v+x(t+1)[/math] обнуляем гранусловия, после чего задача сводится к виду

[math]\left\{\begin{aligned}&v_{tt}-3v_t=v_{xx}+v+\cos\frac{3x}2\\&v_x(0,t)=0,\ v(\pi,t)=0\\&v(x,0)=-x,\ v_t(x,0)=0\end{aligned}\right.[/math]

Теперь решаем вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля для нахождения ортогональной системы функции, по которой будем раскладывать решение. Для этого отбрасываем неоднородный член и разделяем переменные:

[math]XT''-3XT'=X''T+XT[/math]

[math]\frac{T''-3T'}T=\frac{X''+X}X=-\lambda=const[/math]

Отсюда получаем нужную задачу Штурма-Лиувилля

[math]\left\{\begin{aligned}&X''+(\lambda+1)X=0\\&X'(0)=0\\&X(\pi)=0\end{aligned}\right.[/math]

Её решением является система функций

[math]X_n=\cos\left(n+\frac12\right)x,\ \lambda_n=\left(n+\frac12\right)^2-1,\ n=0,1,\ldots[/math]

По теореме Стеклова решение исходной задачи представляется в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля с нулевыми гранусловиями, поэтому решение ищем в виде ряда

[math]v(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty}T_n(t)X_n(x)[/math]

Подстановка в диффур и начальные условия даёт соответствующие задачи Коши для нахождения функций [math]T_n(t)[/math]

[math]T_n''-3T_n'+\lambda_nT_n=\left\{\begin{aligned}&0,\ n\ne1\\&1,\ n=1\end{aligned}\right.,\ T_n(0)=-\frac2{\pi}\int\limits_0^{\pi}xX_n(x)\,dx,\ T'_n(0)=0[/math]

Остальное уже дело техники.


Во второй задаче обнуление гранусловий не приводит к хорошему диффуру, и решение будет очень громоздким. Но я всё же считаю, что в условии допущена опечатка и числа пи там быть не должно, поскольку тогда всё удачно (слишком удачно) сокращается и задача становится на порядок проще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Методом Фурье
СообщениеДобавлено: 11 окт 2013, 14:02 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 14:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
160 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Так это и есть метод Фурье (метод разделения переменных).
Вот его применение для первой задачи]

Совершенно правильно вы заметили насчет обнуления граничных условий. Я уже лет 30 такими задачами не занимался, поэтому сходу такую простецкую задачу решить не смог. Ваше решение правильное и очень грамотно аргументировано, а я также довел это решение до числа, поэтому продолжу ваше в следующем посте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение начально-краевой задачи методом Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

evaf

0

153

01 ноя 2017, 23:40

Найти решение задачи методом разделения переменных (Фурье)

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

RED_Snail

1

142

16 янв 2017, 22:34

Решить методом Фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

2706Irina

1

49

20 май 2018, 17:58

Краевая задача методом Фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Bjarmian

1

308

24 дек 2012, 02:31

Фильтрация данных методом Фурье

в форуме MathCad

dusikasss

2

332

12 мар 2015, 01:10

Уравнение теплопроводности методом фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

qvwolfie

1

115

09 фев 2018, 22:58

Уравнение колебания струны методом Фурье

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

1RAF1

2

906

12 окт 2012, 19:54

Решение методом Гаусса

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Math89

2

122

11 окт 2016, 21:26

Решение ДУ операторным методом

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

6

103

16 ноя 2017, 19:07

Решение ДУ операционным методом

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

serg50

7

121

23 апр 2018, 20:13


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved