Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 07 дек 2010, 17:05 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
если бы был интервал от [math]0[/math] до [math]\pi[/math], то вам было бы нужно продлить вашу функцию на интервал [math][-\pi;\pi][/math] чётным или нечётным образом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 12 дек 2010, 21:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 сен 2010, 21:53
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер! Я по прежнему решаю ряды и посему опять нужна ваша помощь, начал решать пример f(x)=e^x+x [-П;П] (прикрепляю ниже), застрял ... Точнее дальше бесконечно получается чередование синусов и косинусов (в последнем интеграле, если его раскладывать по частям)

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 00:07 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
подобные интегралы берутся одним хитрым приёмом.
1. снова интегрируем по частям:
[math]u=e^x, dv=\cos{nx}dx,du=e^xdx, v=\frac{1}{n}\sin{nx}[/math]
получаем [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int e^x\sin{nx}dx[/math]
2. ещё раз по частям, при этом за [math]u[/math] обязательно снова берём [math]e^x[/math]:
[math]u=e^x, dv=\sin{nx}dx,du=e^xdx, v=-\frac{1}{n}\cos{nx}[/math]
получаем [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}-\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}dx[/math]
а теперь переносим интеграл [math]-\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}dx[/math] в левую часть равенства, получаем
[math]\int e^x\cos{nx}dx+\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}[/math]
[math](1+\frac{1}{n^2})\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}[/math]
и делим обе части равенства на [math](1+\frac{1}{n^2})[/math]:
[math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{n^2}{n^2+1}(\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx})=\frac{ne^x}{n^2+1}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2+1}\cos{nx}[/math]
для интегрирования произведения показательной и тригонометрической функции пользуются таким приёмом. только обязательно за [math]u[/math] оба раза выбирать одну и ту же функцию.


Последний раз редактировалось mad_math 13 дек 2010, 01:15, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 00:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 сен 2010, 21:53
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо за совет, буду знать!
теперь попробую решить дальше

блин, да что же это такое, расписал bn на страницу, а конец даже не близится.
mad_math, если вас не затруднит, доведите пожалуйста мой пример до конца. Очень выручите этим
просто реально хочу разобраться с рядами этими досконально

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 13 дек 2010, 20:58 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(e^x+x)dx=\frac{1}{\pi}\left ( e^x+\frac{x^2}{2}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( e^{\pi}+\frac{\pi^2}{2}-e^{-\pi}-\frac{(-\pi)^2}{2}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( e^{\pi}+\frac{\pi^2}{2}-e^{-\pi}-\frac{\pi^2}{2}\right )=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}=\frac{2\mathrm{sh}\pi}{\pi}[/math]

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(e^x+x)\cos{nx}dx=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\cos{nx}dx\right )[/math]

[math]u=e^x,dv=\cos{nx}dx,du=e^xdx,v=\frac{1}{n}\sin{nx}[/math]
[math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int e^x\sin{nx}dx[/math]
[math]u=e^x,dv=\sin{nx}dx,du=e^xdx,v=-\frac{1}{n}\cos{nx}dx[/math]
[math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int e^x\sin{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}-\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}[/math]
[math]\int e^x\cos{nx}dx+\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}=\frac{e^x}{n^2}(n\sin{nx}+\cos{nx})[/math]
[math](1+\frac{1}{n^2})\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}(n\sin{nx}+\cos{nx})[/math]
[math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}\cdot\frac{n^2}{n^2+1}(n\sin{nx}+\cos{nx})=\frac{e^x}{n^2+1}(n\sin{nx}+\cos{nx})[/math]

[math]u=x,dv=\cos{nx}dx,du=dx,v=\frac{1}{n}\sin{nx}[/math]
[math]\int x\cos{nx}dx=\frac{x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int \sin{nx}dx=\frac{x}{n}\sin{nx}+\frac{1}{n^2}\cos{nx}[/math]

[math]a_n=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\cos{nx}dx\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^x}{n^2+1}(n\sin{nx}+\cos{nx})+\frac{x}{n}\sin{nx}+\frac{1}{n^2}\cos{nx}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^{\pi}}{n^2+1}(n\sin{n\pi}+\cos{n\pi})+\frac{\pi}{n}\sin{n\pi}+\frac{1}{n^2}\cos{n\pi}-\frac{e^{-\pi}}{n^2+1}(n\sin{(-n\pi)}+\cos{(-n\pi)})-\frac{-\pi}{n}\sin{(-n\pi)}-\frac{1}{n^2}\cos{(-n\pi)}\right )=
\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^{\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}+\frac{1}{n^2}\cos{n\pi}-\frac{e^{-\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}-\frac{1}{n^2}\cos{n\pi}\right )=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi(n^2+1)}\cos{n\pi}=(-1)^n\frac{2\mathrm{sh}\pi}{\pi(n^2+1)}[/math]


[math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(e^x+x)\sin{nx}dx=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\sin{nx}dx\right )[/math]

[math]u=e^x,dv=\sin{nx}dx,du=e^xdx,v=-\frac{1}{n}\cos{nx}[/math]
[math]\int e^x\sin{nx}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n}\int e^x\cos{nx}dx[/math]
[math]u=e^x,dv=\cos{nx}dx,du=e^xdx,v=\frac{1}{n}\sin{nx}dx[/math]
[math]\int e^x\sin{nx}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n}\int e^x\cos{nx}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{nx}+\frac{e^x}{n^2}\sin{nx}-\frac{1}{n^2}\int e^x\sin{nx}[/math]
[math]\int e^x\sin{nx}dx+\frac{1}{n^2}\int e^x\sin{nx}=\frac{e^x}{n^2}(\sin{nx}-n\cos{nx})[/math]
[math](1+\frac{1}{n^2})\int e^x\sin{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}(\sin{nx}-n\cos{nx})[/math]
[math]\int e^x\sin{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}\cdot\frac{n^2}{n^2+1}(\sin{nx}-n\cos{nx})=\frac{e^x}{n^2+1}(\sin{nx}-n\cos{nx})[/math]

[math]u=x,dv=\sin{nx}dx,du=dx,v=-\frac{1}{n}\cos{nx}[/math]
[math]\int x\sin{nx}dx=-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n}\int \cos{nx}dx=-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n^2}\sin{nx}[/math]

[math]b_n=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\sin{nx}dx\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^x}{n^2+1}(\sin{nx}-n\cos{nx})-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n^2}\sin{nx}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^{\pi}}{n^2+1}(\sin{n\pi}-n\cos{n\pi})-\frac{\pi}{n}\cos{n\pi}+\frac{1}{n^2}\sin{n\pi}-\frac{e^{-\pi}}{n^2+1}(\sin{(-n\pi)}-n\cos{(-n\pi)})+\frac{-\pi}{n}\cos{(-n\pi)}-\frac{1}{n^2}\sin{(-n\pi)}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( -\frac{ne^{\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}-\frac{\pi}{n}\cos{n\pi}+\frac{ne^{-\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}-\frac{\pi}{n}\cos{n\pi}\right )=\frac{n(e^{-\pi}-e^{\pi})}{\pi(n^2+1)}\cos{n\pi}-\frac{2\pi}{\pi n}\cos{n\pi}=(-1)^{n+1}\left (\frac{2n\cdot\mathrm{sh}\pi}{\pi(n^2+1)}+\frac{2}{n}\right )[/math]

у меня получилось так, но это ещё всё нужно перепроверить, ибо я в последнее время что-то часто ошибаться стала.


Последний раз редактировалось mad_math 14 дек 2010, 21:23, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 14 дек 2010, 18:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 дек 2010, 00:38
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
заинтересовал пример, но у меня возник небольшой вопрос - при раскладывании по частям интегралов xsinnx и xcosnx соответственно, у вас почему то в обоих случаях нет x перед uv (у нас u=x du=dx, но почему то этот x вы не пишете). Или я не верно понимаю данный момент в решении?

+ маленькая описка в последней строчке, где находим bn - там по синусу берем интеграл (в самом начале строки после bn=...)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 14 дек 2010, 19:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Коэффициент [math]a_n[/math] найден правильно, а вот коэффициентом [math]b_n[/math] не всё в порядке. Интеграл от [math]e^x[/math] найден правильно, а интеграл от [math]x[/math] нет. В результате должно получится

[math]b_n = \frac{{2\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}{\pi }\left( {\frac{{n\operatorname{sh} \pi }}{{n^2 + 1}} + \frac{\pi }{n}} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 14 дек 2010, 21:34 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vince Carter,спасибо, исправила.

Prokop, спасибо. я сразу знала, что где-то ошиблась, потому что в коэффициентах синусов должно было быть слагаемое, отвечающее за разложение [math]x[/math]. просто никак не могла ошибку найти. оказалось, неправильно проинтегрировала по частям [math]x\cos{nx}[/math] и [math]x\sin{nx}[/math], как справедливо заметил(а) Vince Carter

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряды Фурье!
СообщениеДобавлено: 27 дек 2010, 19:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 дек 2010, 18:12
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
как в самом первом сообщении данной темы у меня анологичный пример в 1 задании. только cos(2x)
что изменится в формулах?

и можно пожалуйста график?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  Страница 3 из 3 [ Сообщений: 29 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ряды Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

dmanev

1

602

15 янв 2015, 15:50

Ряды Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

By-all-by

0

362

09 дек 2018, 10:23

Ряды Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

animanics

1

807

18 июн 2014, 13:18

Ряды Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

valter

0

401

12 май 2018, 21:31

Ряды Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

aleks_bg

4

638

08 фев 2021, 14:19

Ряды Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Adilmyrza

0

358

22 апр 2019, 16:40

Ряды Фурье

в форуме MathCad

a_replica

3

266

01 ноя 2020, 14:40

Ряды Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

olga_budilova

1

393

09 апр 2015, 10:00

Ряды фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Saiver

1

565

25 дек 2014, 14:48

Обобщенные ряды Фурье

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

aleksandrannn

0

272

22 дек 2014, 19:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved