Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 3 из 3 |
[ Сообщений: 29 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
mad_math |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Vincent91 |
|
|
Добрый вечер! Я по прежнему решаю ряды и посему опять нужна ваша помощь, начал решать пример f(x)=e^x+x [-П;П] (прикрепляю ниже), застрял ... Точнее дальше бесконечно получается чередование синусов и косинусов (в последнем интеграле, если его раскладывать по частям)
|
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
подобные интегралы берутся одним хитрым приёмом.
1. снова интегрируем по частям: [math]u=e^x, dv=\cos{nx}dx,du=e^xdx, v=\frac{1}{n}\sin{nx}[/math] получаем [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int e^x\sin{nx}dx[/math] 2. ещё раз по частям, при этом за [math]u[/math] обязательно снова берём [math]e^x[/math]: [math]u=e^x, dv=\sin{nx}dx,du=e^xdx, v=-\frac{1}{n}\cos{nx}[/math] получаем [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}-\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}dx[/math] а теперь переносим интеграл [math]-\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}dx[/math] в левую часть равенства, получаем [math]\int e^x\cos{nx}dx+\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}[/math] [math](1+\frac{1}{n^2})\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}[/math] и делим обе части равенства на [math](1+\frac{1}{n^2})[/math]: [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{n^2}{n^2+1}(\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx})=\frac{ne^x}{n^2+1}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2+1}\cos{nx}[/math] для интегрирования произведения показательной и тригонометрической функции пользуются таким приёмом. только обязательно за [math]u[/math] оба раза выбирать одну и ту же функцию. Последний раз редактировалось mad_math 13 дек 2010, 01:15, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Vincent91 |
|
|
спасибо за совет, буду знать!
теперь попробую решить дальше блин, да что же это такое, расписал bn на страницу, а конец даже не близится. mad_math, если вас не затруднит, доведите пожалуйста мой пример до конца. Очень выручите этим просто реально хочу разобраться с рядами этими досконально |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
[math]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(e^x+x)dx=\frac{1}{\pi}\left ( e^x+\frac{x^2}{2}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( e^{\pi}+\frac{\pi^2}{2}-e^{-\pi}-\frac{(-\pi)^2}{2}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( e^{\pi}+\frac{\pi^2}{2}-e^{-\pi}-\frac{\pi^2}{2}\right )=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}=\frac{2\mathrm{sh}\pi}{\pi}[/math]
[math]a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(e^x+x)\cos{nx}dx=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\cos{nx}dx\right )[/math] [math]u=e^x,dv=\cos{nx}dx,du=e^xdx,v=\frac{1}{n}\sin{nx}[/math] [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int e^x\sin{nx}dx[/math] [math]u=e^x,dv=\sin{nx}dx,du=e^xdx,v=-\frac{1}{n}\cos{nx}dx[/math] [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int e^x\sin{nx}dx=\frac{e^x}{n}\sin{nx}+\frac{e^x}{n^2}\cos{nx}-\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}[/math] [math]\int e^x\cos{nx}dx+\frac{1}{n^2}\int e^x\cos{nx}=\frac{e^x}{n^2}(n\sin{nx}+\cos{nx})[/math] [math](1+\frac{1}{n^2})\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}(n\sin{nx}+\cos{nx})[/math] [math]\int e^x\cos{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}\cdot\frac{n^2}{n^2+1}(n\sin{nx}+\cos{nx})=\frac{e^x}{n^2+1}(n\sin{nx}+\cos{nx})[/math] [math]u=x,dv=\cos{nx}dx,du=dx,v=\frac{1}{n}\sin{nx}[/math] [math]\int x\cos{nx}dx=\frac{x}{n}\sin{nx}-\frac{1}{n}\int \sin{nx}dx=\frac{x}{n}\sin{nx}+\frac{1}{n^2}\cos{nx}[/math] [math]a_n=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\cos{nx}dx\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^x}{n^2+1}(n\sin{nx}+\cos{nx})+\frac{x}{n}\sin{nx}+\frac{1}{n^2}\cos{nx}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^{\pi}}{n^2+1}(n\sin{n\pi}+\cos{n\pi})+\frac{\pi}{n}\sin{n\pi}+\frac{1}{n^2}\cos{n\pi}-\frac{e^{-\pi}}{n^2+1}(n\sin{(-n\pi)}+\cos{(-n\pi)})-\frac{-\pi}{n}\sin{(-n\pi)}-\frac{1}{n^2}\cos{(-n\pi)}\right )= \frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^{\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}+\frac{1}{n^2}\cos{n\pi}-\frac{e^{-\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}-\frac{1}{n^2}\cos{n\pi}\right )=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi(n^2+1)}\cos{n\pi}=(-1)^n\frac{2\mathrm{sh}\pi}{\pi(n^2+1)}[/math] [math]b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(e^x+x)\sin{nx}dx=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\sin{nx}dx\right )[/math] [math]u=e^x,dv=\sin{nx}dx,du=e^xdx,v=-\frac{1}{n}\cos{nx}[/math] [math]\int e^x\sin{nx}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n}\int e^x\cos{nx}dx[/math] [math]u=e^x,dv=\cos{nx}dx,du=e^xdx,v=\frac{1}{n}\sin{nx}dx[/math] [math]\int e^x\sin{nx}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n}\int e^x\cos{nx}dx=-\frac{e^x}{n}\cos{nx}+\frac{e^x}{n^2}\sin{nx}-\frac{1}{n^2}\int e^x\sin{nx}[/math] [math]\int e^x\sin{nx}dx+\frac{1}{n^2}\int e^x\sin{nx}=\frac{e^x}{n^2}(\sin{nx}-n\cos{nx})[/math] [math](1+\frac{1}{n^2})\int e^x\sin{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}(\sin{nx}-n\cos{nx})[/math] [math]\int e^x\sin{nx}dx=\frac{e^x}{n^2}\cdot\frac{n^2}{n^2+1}(\sin{nx}-n\cos{nx})=\frac{e^x}{n^2+1}(\sin{nx}-n\cos{nx})[/math] [math]u=x,dv=\sin{nx}dx,du=dx,v=-\frac{1}{n}\cos{nx}[/math] [math]\int x\sin{nx}dx=-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n}\int \cos{nx}dx=-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n^2}\sin{nx}[/math] [math]b_n=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{-\pi}^{\pi}e^x\sin{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}x\sin{nx}dx\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^x}{n^2+1}(\sin{nx}-n\cos{nx})-\frac{x}{n}\cos{nx}+\frac{1}{n^2}\sin{nx}\Bigr|_{-\pi}^{\pi}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{e^{\pi}}{n^2+1}(\sin{n\pi}-n\cos{n\pi})-\frac{\pi}{n}\cos{n\pi}+\frac{1}{n^2}\sin{n\pi}-\frac{e^{-\pi}}{n^2+1}(\sin{(-n\pi)}-n\cos{(-n\pi)})+\frac{-\pi}{n}\cos{(-n\pi)}-\frac{1}{n^2}\sin{(-n\pi)}\right )=\frac{1}{\pi}\left ( -\frac{ne^{\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}-\frac{\pi}{n}\cos{n\pi}+\frac{ne^{-\pi}}{n^2+1}\cos{n\pi}-\frac{\pi}{n}\cos{n\pi}\right )=\frac{n(e^{-\pi}-e^{\pi})}{\pi(n^2+1)}\cos{n\pi}-\frac{2\pi}{\pi n}\cos{n\pi}=(-1)^{n+1}\left (\frac{2n\cdot\mathrm{sh}\pi}{\pi(n^2+1)}+\frac{2}{n}\right )[/math] у меня получилось так, но это ещё всё нужно перепроверить, ибо я в последнее время что-то часто ошибаться стала. Последний раз редактировалось mad_math 14 дек 2010, 21:23, всего редактировалось 3 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
Vince Carter |
|
|
заинтересовал пример, но у меня возник небольшой вопрос - при раскладывании по частям интегралов xsinnx и xcosnx соответственно, у вас почему то в обоих случаях нет x перед uv (у нас u=x du=dx, но почему то этот x вы не пишете). Или я не верно понимаю данный момент в решении?
+ маленькая описка в последней строчке, где находим bn - там по синусу берем интеграл (в самом начале строки после bn=...) |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Коэффициент [math]a_n[/math] найден правильно, а вот коэффициентом [math]b_n[/math] не всё в порядке. Интеграл от [math]e^x[/math] найден правильно, а интеграл от [math]x[/math] нет. В результате должно получится
[math]b_n = \frac{{2\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}{\pi }\left( {\frac{{n\operatorname{sh} \pi }}{{n^2 + 1}} + \frac{\pi }{n}} \right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Vince Carter,спасибо, исправила.
Prokop, спасибо. я сразу знала, что где-то ошиблась, потому что в коэффициентах синусов должно было быть слагаемое, отвечающее за разложение [math]x[/math]. просто никак не могла ошибку найти. оказалось, неправильно проинтегрировала по частям [math]x\cos{nx}[/math] и [math]x\sin{nx}[/math], как справедливо заметил(а) Vince Carter |
||
Вернуться к началу | ||
klen1 |
|
|
как в самом первом сообщении данной темы у меня анологичный пример в 1 задании. только cos(2x)
что изменится в формулах? и можно пожалуйста график? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3 | [ Сообщений: 29 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Ряды Фурье | 1 |
602 |
15 янв 2015, 15:50 |
|
Ряды Фурье | 0 |
362 |
09 дек 2018, 10:23 |
|
Ряды Фурье | 1 |
807 |
18 июн 2014, 13:18 |
|
Ряды Фурье | 0 |
401 |
12 май 2018, 21:31 |
|
Ряды Фурье | 4 |
638 |
08 фев 2021, 14:19 |
|
Ряды Фурье | 0 |
358 |
22 апр 2019, 16:40 |
|
Ряды Фурье
в форуме MathCad |
3 |
266 |
01 ноя 2020, 14:40 |
|
Ряды Фурье | 1 |
393 |
09 апр 2015, 10:00 |
|
Ряды фурье | 1 |
565 |
25 дек 2014, 14:48 |
|
Обобщенные ряды Фурье | 0 |
272 |
22 дек 2014, 19:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |