Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Ряд Фурье, сумма числового ряда
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2012, 13:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 ноя 2012, 13:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Воспользовавшись разложением f(x) в ряд Фурье в указанном интервале, найти сумму данного числового ряда:

[math]f(x)=|x|,\quad (-1;1);\qquad \sum\limits_{1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ (2n+1)^2 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Фурье, сумма числового ряда
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2012, 19:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Видимо, надо использовать теорему Дирихле для суммы ряда Фурье.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Фурье, сумма числового ряда
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2012, 21:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
или равенство парсеваля

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Фурье, сумма числового ряда
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 13:54 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Katerina2006 писал(а):
Воспользовавшись разложением f(x) в ряд Фурье в указанном интервале, найти сумму данного числового ряда:
[math]f(x)=|x|,\quad (-1;1);\qquad \sum\limits_{1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ (2n+1)^2 }[/math]

Так функция [math]f(x)[/math] чётная, то раскладывайте только по косинусам
(учитывайте, что [math]\sin\pi n=0[/math] и [math]\cos\pi n=(-1)^n[/math])

[math]a_0= \frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x)\,dx= \frac{2}{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dx=\ldots=1[/math]

[math]a_n= \frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx= \frac{2}{1}\int\limits_{0}^{1}x\cos\frac{n\pi x}{1}\,dx= \ldots=\frac{2}{\pi^2}\cdot \frac{(-1)^n-1}{n^2}= \begin{cases}0,& n=2k,\\ \dfrac{-4}{\pi^2(2k-1)^2},& n=2k-1,\end{cases}k\in\mathbb{N}.[/math]

[math]f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi x}{l}= \frac{1}{2}- \frac{4}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k-1)\pi x]}{(2k-1)^2},~~ x\in(-1;1)[/math]

Далее воспользуйтесь этим

[math]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k-1)\pi x]}{(2k-1)^2}= \frac{\cos[(2\cdot1-1)\pi x]}{(2\cdot1-1)^2}+ \sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{\cos[(2k-1)\pi x]}{(2k-1)^2}= \cos(\pi x)+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k+1)\pi x]}{(2k+1)^2}[/math]
и
[math]f(0)= \frac{1}{2}- \frac{4}{\pi^2}\left(\cos(\pi\cdot 0})+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k+1)\pi\cdot 0]}{(2k+1)^2}\right)=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Katerina2006, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Фурье, сумма числового ряда
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-хорошему нужно ещё сказать, почему полученный ряд будет поточечно сходиться к функции. Для этого, как указал Prokop, нужно воспользоваться теоремой Дирихле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Фурье, сумма числового ряда
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:16 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human

Вы правы, но я надеюсь, что ТС и без меня разберётся в тонкостях оформления :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Ряд Фурье, сумма числового ряда
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2012, 13:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 ноя 2012, 13:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма числового ряда

в форуме Ряды

Gagarin

3

450

09 ноя 2014, 22:04

Сумма числового ряда

в форуме Ряды

slog

1

481

15 окт 2014, 23:14

Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Atemyn

1

660

13 май 2021, 13:18

Сумма продифференцированного ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MishaVN

0

251

09 дек 2018, 15:36

Частичная сумма ряда и сумма ряда

в форуме Ряды

Ilya Sokolov

7

344

14 окт 2020, 16:00

Сходимость числового ряда

в форуме Ряды

tuleviku6

6

376

30 ноя 2016, 18:02

Сходимость числового ряда

в форуме Ряды

mad_math

2

197

20 ноя 2016, 23:04

Сходимость числового ряда

в форуме Ряды

Vantabu

3

281

06 июл 2020, 03:11

Вычисление числового ряда в С++

в форуме Информатика и Компьютерные науки

love_me

1

412

05 апр 2016, 13:55

Сходимость числового ряда

в форуме Ряды

kastima

3

333

04 дек 2016, 10:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved