Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Katerina2006 |
|
|
[math]f(x)=|x|,\quad (-1;1);\qquad \sum\limits_{1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ (2n+1)^2 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Видимо, надо использовать теорему Дирихле для суммы ряда Фурье.
|
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
или равенство парсеваля
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Katerina2006 писал(а): Воспользовавшись разложением f(x) в ряд Фурье в указанном интервале, найти сумму данного числового ряда: [math]f(x)=|x|,\quad (-1;1);\qquad \sum\limits_{1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ (2n+1)^2 }[/math] Так функция [math]f(x)[/math] чётная, то раскладывайте только по косинусам (учитывайте, что [math]\sin\pi n=0[/math] и [math]\cos\pi n=(-1)^n[/math]) [math]a_0= \frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x)\,dx= \frac{2}{1}\int\limits_{0}^{1}x\,dx=\ldots=1[/math] [math]a_n= \frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx= \frac{2}{1}\int\limits_{0}^{1}x\cos\frac{n\pi x}{1}\,dx= \ldots=\frac{2}{\pi^2}\cdot \frac{(-1)^n-1}{n^2}= \begin{cases}0,& n=2k,\\ \dfrac{-4}{\pi^2(2k-1)^2},& n=2k-1,\end{cases}k\in\mathbb{N}.[/math] [math]f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi x}{l}= \frac{1}{2}- \frac{4}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k-1)\pi x]}{(2k-1)^2},~~ x\in(-1;1)[/math] Далее воспользуйтесь этим [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k-1)\pi x]}{(2k-1)^2}= \frac{\cos[(2\cdot1-1)\pi x]}{(2\cdot1-1)^2}+ \sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{\cos[(2k-1)\pi x]}{(2k-1)^2}= \cos(\pi x)+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k+1)\pi x]}{(2k+1)^2}[/math] и [math]f(0)= \frac{1}{2}- \frac{4}{\pi^2}\left(\cos(\pi\cdot 0})+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos[(2k+1)\pi\cdot 0]}{(2k+1)^2}\right)=0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Katerina2006, mad_math |
||
Human |
|
|
По-хорошему нужно ещё сказать, почему полученный ряд будет поточечно сходиться к функции. Для этого, как указал Prokop, нужно воспользоваться теоремой Дирихле.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math |
||
Alexdemath |
|
|
Human
Вы правы, но я надеюсь, что ТС и без меня разберётся в тонкостях оформления |
||
Вернуться к началу | ||
Katerina2006 |
|
|
Спасибо
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сумма числового ряда
в форуме Ряды |
3 |
450 |
09 ноя 2014, 22:04 |
|
Сумма числового ряда
в форуме Ряды |
1 |
481 |
15 окт 2014, 23:14 |
|
Через ряд Фурье найти сумму другого числового ряда | 1 |
660 |
13 май 2021, 13:18 |
|
Сумма продифференцированного ряда Фурье | 0 |
251 |
09 дек 2018, 15:36 |
|
Частичная сумма ряда и сумма ряда
в форуме Ряды |
7 |
344 |
14 окт 2020, 16:00 |
|
Сходимость числового ряда
в форуме Ряды |
6 |
376 |
30 ноя 2016, 18:02 |
|
Сходимость числового ряда
в форуме Ряды |
2 |
197 |
20 ноя 2016, 23:04 |
|
Сходимость числового ряда
в форуме Ряды |
3 |
281 |
06 июл 2020, 03:11 |
|
Вычисление числового ряда в С++
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
1 |
412 |
05 апр 2016, 13:55 |
|
Сходимость числового ряда
в форуме Ряды |
3 |
333 |
04 дек 2016, 10:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |