Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Magret |
|
||
Я сколько не решаю, все равно не получается правильный ответ |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
Magret писал(а): Очень прошу помочь разложить в ряд Фурье параболу [math]y=ax-x^2,~0\leqslant{x}\leqslant{a}[/math]. Я сколько не решаю, все равно не получается правильный ответ Разложим данную функцию в ряд Фурье по косинусам, то есть [math]{y=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n\cos\frac{n\pi{x}}{a}},~x\in[0;a].}[/math] Вычислим коэффициенты косинус-ряда Фурье: [math]{a_0=\frac{2}{a}\int\limits_0^a(ax-x^2)\,dx=\left.{\frac{2}{a}\!\left(\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)}\right|_0^a=\frac{2}{a}\!\left(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}\right)=\frac{a^2}{3}.}[/math] [math]{a_n=\frac{2}{a}\int\limits_0^a(ax-x^2)\cos\frac{n\pi{x}}{a}\,dx=}[/math] [math]{=\left.{\frac{2}{n\pi}(ax-x^2)\sin\frac{n\pi{x}}{a}}\right|_0^a-\frac{2}{n\pi}\int\limits_0^a(a-2x)\sin\frac{n\pi{x}}{a}\,dx=}[/math] [math]{=0+\left.{\frac{2a}{n^2\pi^2}(a-2x)\cos\frac{n\pi{x}}{a}}\right|_0^a+\frac{4a}{n^2\pi^2}\int\limits_0^a\cos\frac{n\pi{x}}{a}\,dx=}[/math] [math]{=\frac{2a}{n^2\pi^2}\Bigl(-a(-1)^n-a\Bigl)+\left.{\frac{4a^2}{n^3\pi^3}\sin\frac{n\pi{x}}{a}}\right|_0^a=}[/math] [math]{=-\frac{2a^2}{n^2\pi^2}\Bigl((-1)^n+1\Bigl)+0=\begin{cases}0,&\text{if}\quad{n=2k-1,}\\-\dfrac{a^2}{k^2\pi^2},&\text{if}\quad{n=2k.}\end{cases}}[/math] Итак, окончательно имеем: [math]{y=\frac{a^2}{6}-\frac{a^2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\cos\frac{2k\pi{x}}{a},~x\in[0;a].}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Разложение в ряд Фурье
в форуме Ряды |
0 |
275 |
24 дек 2017, 19:12 |
|
Разложение в ряд Фурье | 5 |
1131 |
28 май 2014, 18:59 |
|
Разложение в ряд Фурье | 3 |
534 |
13 фев 2019, 19:18 |
|
Разложение в ряд Фурье | 6 |
528 |
15 май 2016, 13:50 |
|
Разложение в ряд Фурье | 0 |
468 |
10 апр 2016, 14:51 |
|
Разложение в ряд Фурье | 0 |
232 |
27 май 2020, 22:16 |
|
Разложение в ряд Фурье
в форуме Ряды |
6 |
273 |
18 май 2019, 15:30 |
|
Разложение в ряд Фурье
в форуме Ряды |
4 |
321 |
23 ноя 2019, 21:30 |
|
Ряд Фурье разложение
в форуме Mathematica |
4 |
1348 |
05 мар 2015, 03:06 |
|
Разложение в ряд Фурье | 1 |
588 |
30 июн 2019, 22:36 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |