Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложение в ряд Фурье параболы y=ax-x^2, 0≤x≤a
СообщениеДобавлено: 22 сен 2010, 13:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2010, 13:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очень прошу помочь разложить в ряд Фурье параболу [math]y=ax-x^2,~0\leqslant{x}\leqslant{a}[/math].

Я сколько не решаю, все равно не получается правильный ответ :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение в ряд Фурье параболы y=ax-x^2, 0≤x≤a
СообщениеДобавлено: 24 окт 2010, 16:21 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Magret писал(а):
Очень прошу помочь разложить в ряд Фурье параболу [math]y=ax-x^2,~0\leqslant{x}\leqslant{a}[/math].

Я сколько не решаю, все равно не получается правильный ответ :cry:

Разложим данную функцию в ряд Фурье по косинусам, то есть

[math]{y=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n\cos\frac{n\pi{x}}{a}},~x\in[0;a].}[/math]

Вычислим коэффициенты косинус-ряда Фурье:

[math]{a_0=\frac{2}{a}\int\limits_0^a(ax-x^2)\,dx=\left.{\frac{2}{a}\!\left(\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)}\right|_0^a=\frac{2}{a}\!\left(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}\right)=\frac{a^2}{3}.}[/math]

[math]{a_n=\frac{2}{a}\int\limits_0^a(ax-x^2)\cos\frac{n\pi{x}}{a}\,dx=}[/math]

[math]{=\left.{\frac{2}{n\pi}(ax-x^2)\sin\frac{n\pi{x}}{a}}\right|_0^a-\frac{2}{n\pi}\int\limits_0^a(a-2x)\sin\frac{n\pi{x}}{a}\,dx=}[/math]

[math]{=0+\left.{\frac{2a}{n^2\pi^2}(a-2x)\cos\frac{n\pi{x}}{a}}\right|_0^a+\frac{4a}{n^2\pi^2}\int\limits_0^a\cos\frac{n\pi{x}}{a}\,dx=}[/math]

[math]{=\frac{2a}{n^2\pi^2}\Bigl(-a(-1)^n-a\Bigl)+\left.{\frac{4a^2}{n^3\pi^3}\sin\frac{n\pi{x}}{a}}\right|_0^a=}[/math]

[math]{=-\frac{2a^2}{n^2\pi^2}\Bigl((-1)^n+1\Bigl)+0=\begin{cases}0,&\text{if}\quad{n=2k-1,}\\-\dfrac{a^2}{k^2\pi^2},&\text{if}\quad{n=2k.}\end{cases}}[/math]

Итак, окончательно имеем:

[math]{y=\frac{a^2}{6}-\frac{a^2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\cos\frac{2k\pi{x}}{a},~x\in[0;a].}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды

Tuxedomask

0

275

24 дек 2017, 19:12

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Kashirov+++

5

1131

28 май 2014, 18:59

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

makc2299

3

534

13 фев 2019, 19:18

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

qluxzq

6

528

15 май 2016, 13:50

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Undertaker

0

468

10 апр 2016, 14:51

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Gromomolot

0

232

27 май 2020, 22:16

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды

makc2299

6

273

18 май 2019, 15:30

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды

Ntallii

4

321

23 ноя 2019, 21:30

Ряд Фурье разложение

в форуме Mathematica

Nastya999

4

1348

05 мар 2015, 03:06

Разложение в ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

ginkok

1

588

30 июн 2019, 22:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved