Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 12:12 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Обозначим
[math]z=10163+30030x[/math], x – натуральное число

Обозначим далее [math]a_i[/math] (i=1,2,…,15) элементы следующей последовательности в порядке следования:
Код:
0, 6, 24, 30, 54, 66, 84, 90, 96, 114, 126, 150, 156, 174, 180

Требуется решить систему 15 линейных уравнений

[math]z+a_1=y_1[/math]
[math]z+a_2=y_2[/math]
. . . . . . . .
[math]z+a_{15}=y_{15}[/math]

так чтобы все [math]y_i[/math] были простыми числами.

Кроме того, имеется ещё 31 других формул для z; все формулы отличаются первым слагаемым, например:

[math]5543+30030n[/math]
[math]7433+30030n[/math]
[math]2813+30030n[/math]
[math]23033+30030n[/math]
[math]18413+30030n[/math]
[math]20303+30030n[/math]
[math]15683+30030n[/math]

и т. д.

Решения, разумеется, существуют, но… уж очень огромные значения x получаются, поэтому без матпакета мне не справиться.
Обладатели матпакетов – дерзните :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 13:06 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, могу добавить...
о простых числах [math]y_i[/math] известно, что все они либо вида [math]6k+1[/math], либо вида [math]6k-1[/math]; смешивание не допускается.
Это важное условие, и оно может помочь в решении системы.

Сейчас переписала систему с учётом этого условия (сначала для простых чисел вида [math]6k+1[/math]) и скормила систему онлайн-решателю. Он выдал любопытное решение :)
Но... до реального решения в конкретных числах ой как далеко. Это только общее решение.
Однако проверка по известному решению проходит: общее решение известное решение даёт. Ну, иначе и быть не может.
Кроме известного решения должна быть ещё куча решений, ну целый короб. Вот как бы мне этот короб найти.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 13:23 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот так переписала систему уравнений с учётом условия для простых чисел:
Код:
10163+30030x=6y1+1
10163+30030x+6=6y2+1
10163+30030x+24=6y3+1
10163+30030x+30=6y4+1
10163+30030x+54=6y5+1
10163+30030x+66=6y6+1
10163+30030x+84=6y7+1
10163+30030x+90=6y8+1
10163+30030x+96=6y9+1
10163+30030x+114=6y10+1
10163+30030x+126=6y11+1
10163+30030x+150=6y12+1
10163+30030x+156=6y13+1
10163+30030x+174=6y14+1
10163+30030x+180=6y15+1

(ну, здесь можно было вместо [math]yi[/math] использовать другие переменные, не суть важно)

Скормила её онлайн-решателю, он выдал такое общее решение системы:
Код:
{x = (3y1-5081)/15015,
y10 = y1+19,
y11 = y1+21,
y12 = y1+25,
y13 = y1+26,
y14 = y1+29,
y15 = y1+30,
y2 = y1+1,
y3 = y1+4,
y4 = y1+5,
y5 = y1+9,
y6 = y1+11,
y7 = y1+14,
y8 = y1+15,
y9 = y1+16 }

Теперь дело за малым: найти решения в конкретных числах.
Потом то же самое надо проделать для простых чисел вида [math]6k-1[/math].
А потом ещё с другими формулами для z.

Ну, хоть одно решение для начала кто может найти?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 13:44 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не забудем, что x - натуральное число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 15:07 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что ещё плохо: все простые числа моут быть записаны либо в виде [math]6k+1[/math], либо в виде [math]6k-1[/math] (кроме простых чисел 2 и 3), но... не все числа такого вида являются простыми. Увы!

Итак, нам надо найти такое значение [math]y_1[/math], при котором x, вычисленное по формуле
Код:
x = (3y1-5081)/15015

будет натуральным числом, а [math]6y_1+1[/math] будет простым числом и, кроме того, все остальные [math]y_i[/math], вычисляемые по формулам в общем решении системы, дадут простые числа [math]6y_i+1[/math].

Имеем всего одну свободную переменную - [math]y_1[/math]. Все остальные переменные зависимые.
Вроде всё ну очень просто.
А решения найти не могу :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 15:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Следует ожидать первые решения в районе 27 цифр.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 15:35 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В том и дело, что числа огромные.
Если б были небольшие, давно бы решила.

Ну, вы преувеличили слегка, известное решение 19-значное, всего-то. И не факт, что это минимальное решение, хотя вполне может быть.

Прошу прощения, 21-значное решение, это если говорить о простых числах [math]6y_i+1[/math].
x естественно имеет меньше цифр.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 15:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может быть.
Я оценивал плотность 15-плетов формулой
[math]\pi_{15}(x) \sim \frac x{\ln^{15} x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
bimol
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 16:01 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ещё замечание ---
когда мы пишем представление простых чисел в виде [math]6k+1[/math] или в виде [math]6k-1[/math], подразумеваем, что k - натуральное число.
Так вот, в известном решении все [math]y_i[/math] положительные рациональные числа, тем не менее, все [math]6y_i+1[/math] простые числа.

Не знаю, могут ли найтись решения с натуральным значением [math]y_1[/math], а следовательно и всех остальных [math]y_i[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Необычная система уравнений
СообщениеДобавлено: 27 сен 2015, 18:37 
Не в сети
Свет и истина МРК
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 янв 2015, 22:27
Сообщений: 7006
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 783
Спасибо получено:
583 раз в 507 сообщениях
Очков репутации: -237

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну вот предположила, что все простые числа имеют вид [math]6k-1[/math], система такая:
Код:
10163+30030x=6y1-1
10163+30030x+6=6y2-1
10163+30030x+24=6y3-1
10163+30030x+30=6y4-1
10163+30030x+54=6y5-1
10163+30030x+66=6y6-1
10163+30030x+84=6y7-1
10163+30030x+90=6y8-1
10163+30030x+96=6y9-1
10163+30030x+114=6y10-1
10163+30030x+126=6y11-1
10163+30030x+150=6y12-1
10163+30030x+156=6y13-1
10163+30030x+174=6y14-1
10163+30030x+180=6y15-1

Решение в онлайн-решателе выдаётся такое:
Код:
{x = (y1-1694)/5005,
y10 = y1+19,
y11 = y1+21,
y12 = y1+25,
y13 = y1+26,
y14 = y1+29,
y15 = y1+30,
y2 = y1+1,
y3 = y1+4,
y4 = y1+5,
y5 = y1+9,
y6 = y1+11,
y7 = y1+14,
y8 = y1+15,
y9 = y1+16}

Немного другое решение, хотя так же одна свободная переменная [math]y_1[/math], все остальные зависимые.
Условия те же.

Два общих решения уже имеем, конкретного решения в числах пока ни одного (ну, кроме того, которое мне известно).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 30 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несколько необычная задача про шары и урну

в форуме Теория вероятностей

delmel

1

260

24 сен 2015, 12:01

Система уравнений

в форуме Алгебра

Nikita_99

2

694

21 мар 2016, 16:00

Система Уравнений

в форуме Алгебра

Platon

2

455

09 июн 2016, 18:56

Система уравнений

в форуме Алгебра

newtagi

2

236

13 май 2016, 00:21

Система уравнений

в форуме Численные методы

omgomgomg

3

245

11 окт 2019, 19:55

Система уравнений

в форуме Алгебра

Grosser

4

227

03 окт 2019, 23:13

Система уравнений

в форуме Алгебра

ivashenko

20

886

07 май 2016, 00:00

Система уравнений

в форуме Алгебра

Nikita_99

1

493

21 мар 2016, 14:35

Система уравнений

в форуме Алгебра

ivansokol123

3

237

14 дек 2018, 19:05

Система уравнений

в форуме Алгебра

Lisuka

7

604

11 дек 2017, 21:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved