Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 16 сен 2015, 16:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Через ствол дерева, имеющего в горизонтальном сечении форму овала, (на рисунке сечение заштриховано точками) перекидывают нерастяжимый ремень и тянут за концы ремня с силами [math]\boldsymbol G[/math] и [math]\boldsymbol F[/math]. Коэффициент сухого трения ремня о ствол равен [math]\gamma>0[/math]. Угол (по часовой стрелке) от вектора [math]\boldsymbol G[/math] до вектора [math]\boldsymbol F[/math] равен [math]\alpha\ge \pi[/math]. (Если векторы [math]\boldsymbol G[/math] и [math]\boldsymbol F[/math] направлены в противополжные стороны ,то [math]\alpha=\pi[/math].) Какими должны быть модули сил [math]|\boldsymbol G|[/math] и [math]|\boldsymbol F|[/math]что бы система находилась в равновесии (ремень не скользил)? Силами тяжести пренебрегаем.
В классической формулировке ствол дерева в сечении представляет собой окружность. Эту задачу почему-то любил В.И. Арнольд, он упоминал ее в нескольких своих научно-популярных текстах и даже вставил в теор. минимум. У Арнольда ствол тоже был окружностью.

Не уверен, что понятно изложил условие, поэтому приведу еще формулировку из учебника Фихтенгольца
ИзображениеИзображение



Замечательный факт состоит в том, что на самом деле, ответ не зависит от формы ствола, лишь бы ствол был выпуклым. Условие равновесия следующее
[math]e^{-\gamma(\alpha-\pi)}\le \frac{|\boldsymbol F|}{|\boldsymbol G|}\le e^{\gamma(\alpha-\pi)}[/math]


Действительно, введем на ремне натуральный параметр [math]s[/math] так, что слева ремень отрывается от ствола в точке [math]s=0,[/math] а справа в точке [math]s=l.[/math]
Рассмотрим малую дугу ремня длины [math]h[/math], начинающуюся в точке [math]O[/math] c натуральным параметром [math]s[/math] (см рисунок). Введем репер Френе [math]O\boldsymbol v\boldsymbol n.[/math]
Через [math]\boldsymbol T(s)=T(s)\boldsymbol v(s)[/math] обозначим силу натяжения ремня в сечении [math]s[/math], точнее говоря, силу с которой правая часть ремня действует на левую (право, лево -- относительно сечения). Через [math]\boldsymbol P=P\boldsymbol v[/math] силу трения, действующую на дугу [math][s,s+h][/math], а [math]\boldsymbol N=N \boldsymbol n,\quad N<0[/math] -- сила нормальной реакции со стороны ствола дерева.
Уравнение равновесия дуги [math][s,s+h][/math] имеет вид
[math]\boldsymbol N(s)-\boldsymbol T(s)+\boldsymbol T(s+h)+\boldsymbol P(s)+o(h)=0\qquad h\to 0.[/math]

Причем[math]\boldsymbol T(0)=-\boldsymbol G,\quad \boldsymbol T(l)=\boldsymbol F.[/math]
Используя формулу Френе [math]\boldsymbol v'(s)=k(s)\boldsymbol n(s)[/math] ([math]k[/math] -- кривизна) находим [math]\boldsymbol T(s+h)=T(s) \boldsymbol v(s)+(T'(s)\boldsymbol v(s)+T(s)k(s) \boldsymbol n(s))h+o(h).[/math]
Раскладывая уравнение равновесия по реперу Френе находим
[math]N(s)+T(s)k(s) h+o(h)=0,\quad T'(s)h+P(s)+o(h)=0.[/math]

Таким образом, условие [math]| P|\le \gamma |N|[/math] в пределе [math]h\to 0[/math] приобретает вид [math]|T'(s)|\le \gamma T(s) k(s).[/math]
Интегрируя это неравенство по [math]s[/math] находим
[math]T(0)e^{-\gamma\int_0^s k(t)dt}\le T(s)\le T(0)e^{\gamma\int_0^s k(t)dt}[/math]

причем, как уже отмечалось, [math]T(0)=|\boldsymbol G|,\quad T(l)=|\boldsymbol F|.[/math] Интеграл от кривизны это [math]\alpha-\pi[/math] угол-- поворота вектора [math]\boldsymbol v.[/math] Как говорится, ЧТД

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача с кругами эйлера

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vavucho

2

426

08 сен 2022, 22:46

Задача на уравнение Эйлера

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Gargantua

0

385

10 дек 2016, 01:41

Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

dexforint

19

1689

15 сен 2017, 12:31

Круги Эйлера

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

cincinat

1

253

09 дек 2016, 10:42

Метод эйлера

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ExtreMaLLlka

0

343

15 окт 2015, 14:58

Круги Эйлера

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

jeliza_rosa

1

362

17 фев 2017, 11:58

Метод Эйлера

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

plktre

1

123

10 май 2022, 15:12

Формула Эйлера

в форуме Теория чисел

New user

1

329

28 май 2020, 22:54

Уравнение Эйлера

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

12

405

27 апр 2018, 05:07

Метод эйлера

в форуме Численные методы

jonygibson

0

367

14 фев 2015, 19:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved