Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
wrobel |
|
|
Через ствол дерева, имеющего в горизонтальном сечении форму овала, (на рисунке сечение заштриховано точками) перекидывают нерастяжимый ремень и тянут за концы ремня с силами [math]\boldsymbol G[/math] и [math]\boldsymbol F[/math]. Коэффициент сухого трения ремня о ствол равен [math]\gamma>0[/math]. Угол (по часовой стрелке) от вектора [math]\boldsymbol G[/math] до вектора [math]\boldsymbol F[/math] равен [math]\alpha\ge \pi[/math]. (Если векторы [math]\boldsymbol G[/math] и [math]\boldsymbol F[/math] направлены в противополжные стороны ,то [math]\alpha=\pi[/math].) Какими должны быть модули сил [math]|\boldsymbol G|[/math] и [math]|\boldsymbol F|[/math]что бы система находилась в равновесии (ремень не скользил)? Силами тяжести пренебрегаем. В классической формулировке ствол дерева в сечении представляет собой окружность. Эту задачу почему-то любил В.И. Арнольд, он упоминал ее в нескольких своих научно-популярных текстах и даже вставил в теор. минимум. У Арнольда ствол тоже был окружностью. Замечательный факт состоит в том, что на самом деле, ответ не зависит от формы ствола, лишь бы ствол был выпуклым. Условие равновесия следующее [math]e^{-\gamma(\alpha-\pi)}\le \frac{|\boldsymbol F|}{|\boldsymbol G|}\le e^{\gamma(\alpha-\pi)}[/math] Действительно, введем на ремне натуральный параметр [math]s[/math] так, что слева ремень отрывается от ствола в точке [math]s=0,[/math] а справа в точке [math]s=l.[/math] Рассмотрим малую дугу ремня длины [math]h[/math], начинающуюся в точке [math]O[/math] c натуральным параметром [math]s[/math] (см рисунок). Введем репер Френе [math]O\boldsymbol v\boldsymbol n.[/math] Через [math]\boldsymbol T(s)=T(s)\boldsymbol v(s)[/math] обозначим силу натяжения ремня в сечении [math]s[/math], точнее говоря, силу с которой правая часть ремня действует на левую (право, лево -- относительно сечения). Через [math]\boldsymbol P=P\boldsymbol v[/math] силу трения, действующую на дугу [math][s,s+h][/math], а [math]\boldsymbol N=N \boldsymbol n,\quad N<0[/math] -- сила нормальной реакции со стороны ствола дерева. Уравнение равновесия дуги [math][s,s+h][/math] имеет вид [math]\boldsymbol N(s)-\boldsymbol T(s)+\boldsymbol T(s+h)+\boldsymbol P(s)+o(h)=0\qquad h\to 0.[/math] Причем[math]\boldsymbol T(0)=-\boldsymbol G,\quad \boldsymbol T(l)=\boldsymbol F.[/math] Используя формулу Френе [math]\boldsymbol v'(s)=k(s)\boldsymbol n(s)[/math] ([math]k[/math] -- кривизна) находим [math]\boldsymbol T(s+h)=T(s) \boldsymbol v(s)+(T'(s)\boldsymbol v(s)+T(s)k(s) \boldsymbol n(s))h+o(h).[/math] Раскладывая уравнение равновесия по реперу Френе находим [math]N(s)+T(s)k(s) h+o(h)=0,\quad T'(s)h+P(s)+o(h)=0.[/math] Таким образом, условие [math]| P|\le \gamma |N|[/math] в пределе [math]h\to 0[/math] приобретает вид [math]|T'(s)|\le \gamma T(s) k(s).[/math] Интегрируя это неравенство по [math]s[/math] находим [math]T(0)e^{-\gamma\int_0^s k(t)dt}\le T(s)\le T(0)e^{\gamma\int_0^s k(t)dt}[/math] причем, как уже отмечалось, [math]T(0)=|\boldsymbol G|,\quad T(l)=|\boldsymbol F|.[/math] Интеграл от кривизны это [math]\alpha-\pi[/math] угол-- поворота вектора [math]\boldsymbol v.[/math] Как говорится, ЧТД |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача с кругами эйлера
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
426 |
08 сен 2022, 22:46 |
|
Задача на уравнение Эйлера | 0 |
385 |
10 дек 2016, 01:41 |
|
Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
19 |
1689 |
15 сен 2017, 12:31 |
|
Круги Эйлера | 1 |
253 |
09 дек 2016, 10:42 |
|
Метод эйлера | 0 |
343 |
15 окт 2015, 14:58 |
|
Круги Эйлера | 1 |
362 |
17 фев 2017, 11:58 |
|
Метод Эйлера | 1 |
123 |
10 май 2022, 15:12 |
|
Формула Эйлера
в форуме Теория чисел |
1 |
329 |
28 май 2020, 22:54 |
|
Уравнение Эйлера | 12 |
405 |
27 апр 2018, 05:07 |
|
Метод эйлера
в форуме Численные методы |
0 |
367 |
14 фев 2015, 19:01 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |