Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Детское доказательство
СообщениеДобавлено: 04 июл 2019, 08:28 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2018, 10:04
Сообщений: 125
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказательство теоремы Ферма для детей школьного возраста

Упростим теорему Ферма до такого примитивного уровня, чтобы и школьникам было понятно, чему профессиональные математики посвящают всю свою жизнь.

Невозможно из полного числа кубиков, образующих правильную четырёхугольную призму, сложить без остатка две другие правильные четырёхугольные призмы, если все три высоты представляют собой одинаковые степени сторон своих оснований.


Если проводить доказательство методом от противного, ничего у нас, к сожалению, не получится. Потому что противный – это я. Как ни грустно в этом признаваться, настоящие математики не желают со мной общаться. Скажу вам больше: у меня даже с вымышленными математиками взаимопонимания нет. Сколько ни напрягаю фантазию, сочиняя их аргументы и реплики, диалог никак не выстраивается. Я им про Фому, они мне про Ерёму. Я им, допустим, про бузину в огороде, они в ответ про какого-то дядьку из Киева. А однажды вообще заявили: пока не представишь нам доказательство для кубов, мы тебя даже слушать не собираемся. Представляете, какие зануды? Не зря Эйнштейн сетовал: после того, как за мою теорию относительности взялись математики, я и сам перестал её понимать.

Ну, да ладно, для кубов так для кубов. Но действовать предлагаю всё-таки методом, противным первоначальному – методом от приятного. Не понимаете? Сейчас поймёте.

Для доказательства нам понадобится три ребёнка. Математики в таких случаях говорят: «возьмём трёх ребятишек» или «пусть у нас имеется трое детей», а откуда что берётся – это их не касается. Станут они по капусте шарить, как же. От них дождёшься. Они всегда начинают со слова «дано». Привыкли жить на всём готовом.

Ну, и нам придётся не привыкать, раз мы лезем в чужую вотчину. Мы себе детей навыдумываем: Аз у нас будущий математик, Буки – будущий физик, а Веди – будущий пенсионер. Очень способные и послушные дети. Никакого сравнения с настоящими. Можно смело препоручить им сооружение наших замечательных призм. То есть, пардон, кубов.

Задание очень простое: Азу предстоит собрать малый куб [math]a^3[/math], Буки займётся сборкой среднего куба [math]b^3[/math], а самый большой куб [math]c^3[/math] достанется на долю Веди. Снабдим ребятишек кубиками, а сами устроимся в сторонке и примемся за ними наблюдать.

Весь процесс сборки разобьётся на два хорошо различимых этапа. На первом этапе предстоит возвести все кубы до высоты [math]a[/math], а потом довести её до того, что останется. А сколько останется? Не спрашивайте. Никто этого не знает, даже великие математики. Дети сами разберутся. Если не морочить им голову.

Азу будем выдавать на каждом шаге по [math]a^2[/math] кубиков, Веди – по [math]b^2[/math] кубиков, а Буки – ровно по [math](a^2 + b^2)[/math] кубиков. После совершения [math]a[/math] таких шагов Аз у нас выбывает из игры, поскольку он своё задание выполнил. Веди за то же время собрал свой средний куб лишь частично, а Буки и вовсе пришлось откладывать на каждом шаге по [math](a^2 + b^2 – c^2)[/math] лишних кубиков, потому что он понятия не имеет, какую геометрическую фигуру можно из них создать – куб, квадрат, пирамиду или вообще какой-нибудь круглый пирамидальный биквадрат.

На следующем этапе сборки изменим количество выделяемых кубиков: и Буки, и Веди будут получать по [math]c^2[/math] кубиков. Теперь уже не Веди, а Буки придётся откладывать в сторону лишние кубики, потому что он тоже понятия не имеет, какую фигуру можно сложить из [math](c^2 – b^2)[/math] кубиков.

Сама собой напрашивается мысль, что второй этап, завершающий сборку, должен состоять из [math](c – a)[/math] шагов. Но почему, собственно? Откуда это известно? Это может быть верным лишь только тогда, когда уравнение Ферма справедливо. А если нет? Какова должна быть высота большого или среднего куба, если данное уравнение не выполняется? В том-то и дело, что сие никому неведомо. Ну, разве, Эндрю Уайлсу, да и то, пожалуй что, вряд ли.

Тут бы надо пойти на хитрость. А не замахнуться ли нам на Вильяма, понимаете ли, нашего Шекспира? Я имею в виду не «Гамлета», а учебник Киселёва. Автор убеждает несчастных детишек в том, что бесконечная десятичная периодическая дробь – это целое число. Подчеркну: не просто высказывает мнение, а приводит «неопровержимое» логическое доказательство. Самое строгое. Математическое. И очень красивое. Ну просто загляденье! Настоящий гениальный Шекспир! Ибо только истинный поэт и романтик может сочинить такое: точка, движущаяся к недостижимому пределу, и есть этот сам предел. Ну разве это не замечательно? Ну разве это не достойный пример литераторам для подражания? Гитлер, направляющийся в рай, и есть этот самый рай!

Вот, наверное, почему математики не любят со мной разговаривать. Я распространяю их священную логику на такие пошлые сферы, где она не работает. Кому это понравится?

Вернёмся поэтому к делу. Чтобы не накалять обстановку. Обозначим остающуюся высоту знаком [math]x[/math]. А затем, чтобы выяснить точное значение этого икса, попросим Буки и Веди продолжать процесс сборки своих конструкций до тех самых пор, пока лишние кубики, отложенные Буки, не сравняются с лишними кубиками, отложенными Веди. Мы ведь каждый раз выдавали одинаковое количество кубиков, предназначенных для сборки двух малых кубов и одного большого куба, не так ли?

По завершении первого этапа количество кубиков, отложенных Веди, остаётся постоянным: [math]a(a^2 + b^2 – c^2)[/math]. Количество же кубиков, откладываемых Буки, растёт вместе с ростом числа [math]x[/math]. Составить нужное уравнение не составляет никакого труда.

[math]x(c^2 – b^2) = a(a^2 + b^2 – c^2)[/math]

После несложных преобразований получаем:

[math]a^3 + b^2(a + x) = c^2(a + x)[/math]

Записанное равенство соблюдается лишь при нулевом значении [math]x[/math]. А это значит, что уравнение Ферма справедливо только при [math]n = 2[/math]:

[math]a^2 + b^2 = c^2[/math]

Такой же детский сад и в случае с другими показателями степени:

[math]x(c^2 – b^2) = (a^2 + b^2 – c^2)a^{n-2}[/math]

С этого момента надо забыть всё то, чему нас учили в школе. Особенно те ужасные вещи, что написаны в школьных учебниках для будущих выдающихся математиков, физиков и пенсионеров.

Вы спросите, с какой стати? А вот с какой. Школьная математика уверенно делит все числа на несколько разных видов, но в чём между ними разница, не уточняет. Просто спрашивает об этой разнице на экзаменах, и всё. Не приводя ни одной дефиниции.

Здесь математики ведут себя как обычные писатели и поэты: бла-бла-бла. Не согласны? Что ж, тогда ответьте на простейший вопрос: для какой категории чисел справедливы приведённые выкладки, в которых мелькают буковки [math]a, b, c[/math]? Это целые? Дроби? Или, может, действительные числа, из которых к тому же изъяли все рациональные или нечётные?

Не ломайте голову, если не хотите её сломать. А если всё-таки хотите, я задам вам вопрос ещё интересней: каким числом является показатель степени [math]n[/math]? Натуральным или не совсем? Периодической дробью или числом чему-нибудь кратным?

Смотрите, что у вас непременно получится, если вы, не зная ответов на поставленные вопросы, запишите исходное уравнение Ферма в таком виде, для которого природа показателя степени не уточняется:

[math]a^2a^y + b^2b^y= c^2c^y[/math]

Что изменится в теореме Ферма, если показатель степени [math]n[/math] разложить на составляющие:

[math]n = 2 + y[/math]

Может ли [math]y[/math] быть числом меньшим единицы? Вполне. Больше? Тоже. Иррациональным? Запросто. Стало быть, нельзя исключать никакой из существующих вариантов?

Если отказаться от положений, «доказанных» в школьных учебниках, в голове образуется каша. А кому она нужна? Никому. Так что не стоило мне, пожалуй, ополчаться на Киселёва. Я ведь вырос на его литературе и должен быть ему благодарен. А также всем другим талантливым математикам, принимавшим участие в украшении математики.

Готов даже внести свою скромную лепту в эту учёную сферу. Причём моя лепта тоже будет носить художественный оттенок. Чтобы было не скучно и не очень противно. Предлагаю следующую дефиницию понятия "число":

Числом является только то, что можно выразить исключительно цифрами без каких-либо дополнительных знаков, цифрами не являющихся.


Если же знак, обозначающий ту или иную математическую операцию, удалить не получается, значит, такая математическая операция невыполнима на множестве чисел.

Признак, согласитесь, вполне себе чёткий, ясный и однозначный:

Есть только цифры – значит, число.


Есть ещё и другой неустранимый знак – не-число.



Например, [math]\frac{ 2 }{ 3 }[/math], согласно данному определению, не является числом, потому что чёрточка является не цифрой, а знаком деления. То же самое касается выражения [math]0,(9)[/math], потому что ни запятую, ни скобку выразить цифрами не удастся. Зато, например, дробь [math]\frac{ 8 }{ 4 }[/math] является именно числом, так как в записи результата можно обойтись исключительно цифрами. И, естественно, [math]\sqrt{7}[/math] также числом не является, то есть, говоря языком дихотомической логики, является не-числом. А [math]\sqrt[3]{27}[/math] – это число.

У кого-нибудь есть другие варианты определения «числа»? Хочу сравнить, чтобы выбрать покрасивше. А потом поспорим о вкусах.

Заодно посудачим о том, что изменится в рассуждениях, если выстраивать их на множестве всех не-чисел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Детское доказательство
СообщениеДобавлено: 04 июл 2019, 12:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2604
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 228
Спасибо получено:
172 раз в 165 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin писал(а):
Азу будем выдавать на каждом шаге по [math]a^2[/math] кубиков, Веди – по [math]b^2[/math] кубиков, а Буки – ровно по [math](a^2 + b^2)[/math] кубиков. После совершения [math]a[/math] таких шагов Аз у нас выбывает из игры, поскольку он своё задание выполнил. Веди за то же время собрал свой средний куб лишь частично, а Буки и вовсе пришлось откладывать на каждом шаге по [math](a^2 + b^2 – c^2)[/math] лишних кубиков...

Стоп.
За количество шагов, равных [math]a[/math], было выдано:

Азу: [math]a(a^2)=a^3[/math] кубиков,

Веди: [math]ab^2[/math] кубиков,

Буки: [math]a(a^2+b^2)=a^3+ab^2[/math] кубиков.

Вопрос: какие ещё лишние кубики и почему пришлось откладывать Буки, откуда он их брал? Дальше не едем, пока с этим не разберёмся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Детское доказательство
СообщениеДобавлено: 04 июл 2019, 14:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2604
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 228
Спасибо получено:
172 раз в 165 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin писал(а):
Например, [math]\frac{ 2 }{ 3 }[/math], согласно данному определению, не является числом, потому что чёрточка является не цифрой, а знаком деления. То же самое касается выражения [math]0,(9)[/math], потому что ни запятую, ни скобку выразить цифрами не удастся. Зато, например, дробь [math]\frac{ 8 }{ 4 }[/math] является именно числом, так как в записи результата можно обойтись исключительно цифрами.

Это всего лишь записи чисел в десятичной системе. В принципе, можно было бы каждое действительное число обозначать своим символом, но тогда их трудно было бы все запоминать, поэтому пришли к какой-то систематике. На самом деле, систематизировать можно как угодно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Детское доказательство
СообщениеДобавлено: 04 июл 2019, 14:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2604
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 228
Спасибо получено:
172 раз в 165 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin
Единственное, могу согласиться с Вами в том, что действительные числа возникли в результате определённых математических операций над натуральными числами. Слово "дефиниция" мне не нравится, потому как оно иностранное, поэтому, скажем так: если бы были определены какие-нибудь другие математические действия, то, возможно, как следствие, вытекали бы какие-то другие числа. То есть, понятие действительных чисел в том виде, в котором мы их знаем, введено искусственно.
PS
Например, у пифагорейцев отношение стороны квадрата к его диагонали есть иррациональное число, но если бы каким-то другим образом сравнивали бы величины, то и не пришли бы к такому, а пришли бы к чему-то другому, а натуральные числа так бы и были, потому как они естественны.


Последний раз редактировалось 3axap 04 июл 2019, 15:22, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Детское доказательство
СообщениеДобавлено: 04 июл 2019, 15:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 1718
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
297 раз в 273 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Spirin писал(а):
У кого-нибудь есть другие варианты определения «числа»? Хочу сравнить, чтобы выбрать покрасивше. А потом поспорим о вкусах.

А что вы цифрой называете? Определим запятую как цифру и уже к неотрицательным целым, которые у вас именуются "числами", добавляются некоторые рациональные. Определим знак "—" как цифру, количество чисел ещё удвоится.
Или договоримся, что запись [math]p_q[/math], использующая только цифры в традиционном понимании, будет означать более привычную запись [math]\frac{p}{q}[/math] и вот мы уже все положительные рациональные рассматриваем. Без скобок и запятых.
Spirin писал(а):
Вот, наверное, почему математики не любят со мной разговаривать. Я распространяю их священную логику на такие пошлые сферы, где она не работает.

Да нет, не поэтому.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Детское доказательство
СообщениеДобавлено: 04 июл 2019, 15:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2604
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 228
Спасибо получено:
172 раз в 165 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
А запятой и скобки могло и не быть, могло и не быть действий +, -, *, :, √, а вместо них могло быть что-то другое, с другими результатами, и действительные числа были бы совсем другими действительными числами. А Вы где-то высказывали, что математика в любом месте Вселенной одинакова...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Простые числа-близнецы. Простое детское задание

в форуме Алгебра

Aksutenko

1

82

05 май 2019, 13:14

Доказательство

в форуме Алгебра

VladGreen

3

105

13 июл 2018, 19:54

Доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

audib4

0

272

29 окт 2012, 18:46

Доказательство

в форуме Дифференциальное исчисление

shepard23

3

219

20 апр 2015, 21:20

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

K_A

1

163

05 авг 2017, 19:22

На доказательство

в форуме Алгебра

[fUKA]

21

570

27 июл 2016, 18:33

Доказательство

в форуме Алгебра

fabaz

4

298

06 янв 2012, 23:29

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

K_A

8

330

14 июл 2017, 01:39

Доказательство

в форуме Геометрия

Zhenya2

1

223

09 апр 2015, 22:26

Доказательство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

AfriCa

1

254

07 ноя 2013, 20:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved