Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 20 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
Какова же тогда должна быть размерность пространства, чтобы возможно было перейти к однородным координатам? И как должны выглядеть эти координаты? Как оказалось, такими координатами в [math]n[/math]- мерном евклидовом пространстве могут выступать расстояния от вершин n-симплекса, они однозначно задают положение каждой точки пространства и являются абсолютно однородными. На первый взгляд может показаться, что такое описание избыточно, а сами координаты взаимозависимы, поскольку размерность такого описания равна [math]n+1[/math], по числу вершин n-симплекса. Но если мы ставим целью максимальную однородность координат, то это неизбежно. Отметим, что в пространствах размерностей [math]n>4[/math] существует лишь 3 правильных политопа: n - симплекс, гиперкуб и гипероктаэдр. Первый двойственен сам себе, n-куб и n-октаэдр двойственны друг другу и могут рассматриваться далее как один случай, т.е. всего в n- мерном евклидовом пространстве существует 2 независимых случая правильных n политопов и, соответственно 2 системы однородных координат. При этом в случае расстояний до вершин n-симплекса в качестве координат, n-мерное евклидово пространство описывается как n+1 -мерное пространство в "зависимых" однородных координатах. А в случае n-октаэдра в качестве координат, оно описывается как 2n- мерное пространство в однородной системе "зависимых" координат. Например описание 3х-мерного евклидова пространства в случае таких зависимых координат будет 4х-мерным и 6-ти-мерным соответственно. А описание евклидовой плоскости - 3х-мерным и 4x-мерным, соответственно. Мы достигли однородности координат и описываемого пространства в совокупности с координатами. Приведем уравнение окружности в системе координат вершин правильного 2-симплекса или попросту треугольника: Пусть имеем на плоскости правильный треугольник: [math]A,B,C[/math] и 2 точки вне этого треугольника:[math]E,F[/math]. Введем обозначения: [math]a=AF-AE[/math]; [math]b=BF-BE[/math]; [math]c=CF-CE[/math]; тогда длину отрезка [math]EF[/math] можно выразить формулой: [math]EF^{2}=\frac{ a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca }{ 3 }[/math]; (1) /Формула Пехтерева Захара/ Теперь зафиксируем точку [math]E[/math], а координаты точки F будем менять таким образом, чтобы расстояние [math]EF=R=\operatorname{const}[/math], обнаруживаем, что в данном случае уравнение (1) является также и уравнением окружности с центром в точке [math]E[/math]. При использовании такой системы координат возникает множество простых уравнений, описывающих неизвестные доселе кривые второго порядка. Аналогичная ситуация и с размерностями высших порядков. Так для чего же необходима зависимость однородных координат и "лишняя" координата, для чего нужна вся эта избыточность описания? Мы привыкли, что описываемые геометрические объекты неподвижны, а если мы как-то и перемещаем их в пространстве, то безотносительно времени. Данная система координат позволяет ввести в описание время, не прибегая к дополнительным инструментам и описать положение точки в пространстве в любой момент времени. Рассмотрим плоский случай: Координатами точки на плоскости будет 3 числа, выражающих расстояния до точки от вершин треугольника. Устремим одну из вершин треугольника в произвольном направлении со скоростью [math]c[/math] И одновременно будем произвольно перемещать рассматриваемую точку. Изменение 3-х зависимых координат будет описывать положение точки на плоскости в любой момент времени. Т.е. тройка чисел будет пространственно-временной координатой точки, а сама такая плоскость (или пространство высшей размерности) превратится в однородное пространство-время. Зачем же существует второе "октаэдрическое" описание пространства размерности n, выражаемое 2n координатами? Очевидно для того, чтобы сделать однородным и ход времени и сопоставить этот ход с направлением движения. Время, таким образом, может изливаться из любой точки пространства и во всех направлениях, но время движущейся точки связано с направлением движения. Ранее, в системе координат на вершинах n-симплекса, время текло в одном направлении, связанном с движением одной из вершин, что создавало неоднородность времени, вследствие чего геометрическое тело могло двигаться быстрее или медленнее во времени, в зависимости от направления движения и само время могло течь для него со скоростью выше [math]c[/math]. Известна работа советского авиаконструктора Р.Л.Бартини, в которой он выводит аналитически наиболее вероятную размерность пространства, равную 6-ти, а затем находит в этом пространстве комплексное многообразие из структуры которого выводит постоянную Зоммерфельда(тонкой структуры) и ряд физических констант. Известны исследования английского математика, филдсовского лауреата М.Ф.Атья о существовании комплексной структуры на шестимерной сфере, которые он использовал при доказательстве гипотезы Римана, основываясь на взаимосвязи постоянной тонкой структуры и шестимерного образования. Результаты исследований обоих ученых не признаны научным сообществом. Примечательно то, что в обоих случаях обнаруживается взаимосвязь шестимерной абстрактной математической структуры с физическими параметрами. Вывод: Подходя к представлению о размерности пространства из соображений однородности координат, был сделан вывод о том, что однородные координаты возможно ввести только в случае их зависимости. При этом размерность представления повышается на 1 и численно равна количеству вершин n-симплекса. В таких координатах можно определить время, однако для его однородности требуется размерность представления 2n, что численно равно количеству вершин n-октаэдра. Вершины n-симплекса и n-октаэдра являются базисами систем однородных координат неких "геометрических" описаний пространства-времени. Движение в 3х-мерном пространстве имеет размерность описания в таких однородных координатах 4 или 6. Четырехмерное описание несовершенно вследствие неоднородности времени. Шестимерное описание не разработано вследствие длительного доминирования реляционных представлений о времени: "Если время не субстанциально, а лишь соотнесение длительности процессов, то оно никуда не течет. Это лишь такая удобная абстракция, положим, что она однородна и изотропна и будем довольствоваться четырехмерной геометрией пространства-времени Минковского". Но как было показано выше, невозможно 4-мерное однородное описание 4-х мерного пространства-времени оно становится возможным лишь при размерности представления 6. И тогда, возможно, произойдет объединение геометрии и физики. Физические константы выведутся из геометрических параметров 6-мерной структуры. А пока, время продолжает ждать своих героев, способных вывести его из тюрьмы релятивизма и одномерности. Прошу не судить строго мой феерический бред, отнестись с пониманием и терпением ) |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
ivashenko
Немного Вас поправлю. В формуле должны быть квадраты расстояний от точки до вершин базиса: 3axap писал(а): У меня абсолютно точно получилось следующее: [math]\left| EF \right| ^{2}=\frac{ c^{2}+a^{2}+b^{2}-ab-ac-bc }{ 3 }[/math] [math]\left| AF \right| ^2-\left| AE \right| ^2=a[/math] [math]\left| BF \right| ^2-\left| BE \right| ^2=b[/math] [math]\left| CF \right| ^2-\left| CE \right| ^2=c[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
Да, конечно, снова прозевал, переписывая формулу. Спасибо.
|
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
ivashenko
Я ещё раз проанализировал тему "Точечная система координат" и обнаружил ошибку в выводе формулы для тетраэдра. Учитывая исправление, для отрезка я получил на данный момент следующее: [math]\left| AF \right| ^2-\left| AE \right| ^2=a[/math] [math]\left| BF \right| ^2-\left| BE \right| ^2=b[/math] [math]\left| CF \right| ^2-\left| CE \right| ^2=c[/math] [math]\left| DF \right| ^2-\left| DE \right| ^2=d[/math] [math]\frac{ 6(c-b)^2+2(c+b-2a)^2+a+2b+c-3d }{ 24 }[/math] Теперь из этой формулы нужно получить инвариант, чем я и займусь, пожалуй... |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
3axap |
|
|
Забыл квадрат поставить ))) вот так должно быть:
[math]\left| AF \right| ^2-\left| AE \right| ^2=a[/math] [math]\left| BF \right| ^2-\left| BE \right| ^2=b[/math] [math]\left| CF \right| ^2-\left| CE \right| ^2=c[/math] [math]\left| DF \right| ^2-\left| DE \right| ^2=d[/math] [math]\left| EF \right| ^2=\frac{ 6(c-b)^2+2(c+b-2a)^2+(a+2b+c-3d)^2 }{ 24 }[/math] Вот теперь нужно получить его инвариант... трудно не запутаться ))) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
3axap |
|
|
Решил. Получил инвариант:
[math]\left| EF \right|^2=\frac{ 27a^2+27b^2+27c^2+27d^2-26ab-26ac-26ad-26bc-26bd-26cd+9a+9b+9c+9d }{ 144 }[/math] [math]\left| AF \right| ^2-\left| AE \right| ^2=a[/math] [math]\left| BF \right| ^2-\left| BE \right| ^2=b[/math] [math]\left| CF \right| ^2-\left| CE \right| ^2=c[/math] [math]\left| DF \right| ^2-\left| DE \right| ^2=d[/math] Нужно проверять. Если всё верно, то это будет также уравнением сферы. Напомню также, что за базис принимается фигура с единичной стороной. Получаем решения длин без проекций на оси координат(и вообще без осей) в однородной системе, но расчёты очень сложны. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
Захар
Рад, что Вы не потеряли интереса к теме! Интересные коэффициенты получаются. Только 26 не лепится к ним, но он и не при степенях, а при произведениях. |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
ivashenko
Интерес прежний ))) Вот только указал, что нужно проверять. При подстановке значений у меня не сошёлся инвариант, наверное, где-то снова закралась ошибка, очень много вариантов складывать, приходится трудно. Но я хочу довести дело до конца. Терпение, мой дорогой друг ))) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
ivashenko |
|
|
3axap
А Вы поделили сумму уравнений на количество уравнений и вообще, сколько частных уравнений сферы у Вас получается? |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
ivashenko
Их там несколько десятков получается. Считал ночью 9 часов подряд, так и не пришёл пока к правильному решению, но совершенно точно могу сказать, что будет такого вида: [math]\left| EF \right| ^2=\frac{ 6(c-b)^2+2(c+b-2a)^2+(a+2b+c-3d)^2 }{ 24 }=\frac{ x(a^2+b^2+c^2+d^2)-y(ab+ac+ad+bc+bd+cd) }{ 24z }[/math] Найти численные значения [math]x,y,z[/math] - не так-то просто, мягко говоря... |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 20 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |