Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сколько лишка содержится в ряду?
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 10:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим ряд:
[math](\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2*3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{2*5}-\frac{1}{3*5}+\frac{1}{2*3*5})+[/math]
[math]+(\frac{1}{7}-\frac{1}{2*7}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{5*7}+\frac{1}{2*3*7}+\frac{1}{2*5*7}+\frac{1}{3*5*7}-\frac{1}{2*3*5*7})+[/math]
[math]+(\frac{1}{11}-\frac{1}{2*11}-\frac{1}{3*11}-\frac{1}{5*11}-\frac{1}{7*11}+\frac{1}{2*3*11}+\frac{1}{2*5*11}+\frac{1}{2*7*11}+\frac{1}{3*5*11}+\frac{1}{3*7*11}+[/math]
[math]+\frac{1}{5*7*11}-\frac{1}{2*3*5*11}-\frac{1}{2*3*7*11}-\frac{1}{2*5*7*11}-\frac{1}{3*5*7*11}+\frac{1}{2*3*5*7*11})+.........=1-\prod\limits_{n} \left(1-\frac1{p_n}\right)[/math]

Каждая скобка соответствует простому числу [math]p_n[/math] и имеет номер [math]n\in\mathbb Z \geqslant 0[/math], Рассмотрим поскобочные частичные суммы данного ряда. Лишком частичной суммы будем называть элементы частичной суммы из [math]n[/math] скобок, знаменатель которых больше [math]p_n[/math], их количество - количество лишка.

Необходимо определить количество лишка для произвольной частичной суммы, состоящей из скобок, и процент лишка, содержащегося во всём ряду. Также интересно насколько "похудеет" сумма ряда при удалении из него лишка. К чему сходится последовательность частичных сумм данного ряда, в которых исключен лишок? Или последовательность частичных сумм самого лишка?

Пример:
[math](\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2*3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{2*5}-\frac{1}{3*5}+\frac{1}{2*3*5})+[/math]
[math]+(\frac{1}{7}-\frac{1}{2*7}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{5*7}+\frac{1}{2*3*7}+\frac{1}{2*5*7}+\frac{1}{3*5*7}-\frac{1}{2*3*5*7})+[/math]

Это частичная сумма ряда, состоящая из скобок с номерами 0,1,2,3. Третьей скобке соответствует простое число [math]p_3= 7[/math]. Лишком этой суммы будут члены ряда, знаменатель которых больше 7:[math]-\frac{1}{2*5},-\frac{1}{3*5},\frac{1}{2*3*5},-\frac{1}{2*7},-\frac{1}{3*7},-\frac{1}{5*7},\frac{1}{2*3*7},\frac{1}{2*5*7},\frac{1}{3*5*7},-\frac{1}{2*3*5*7}[/math]. Для данной частичной суммы количество лишка равно 10.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сколько лишка содержится в ряду?
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 21:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите хоть куда копать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сколько лишка содержится в ряду?
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 11:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверил экспериментально, последовательность частичных сумм ряда без лишка сходится гораздо быстрее к 1 чем сам ряд. Последовательность частичных сумм лишка похоже сходится к [math]e^{-\frac{\pi}{2}}[/math], но это под сомнением. Как это проверить и доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сколько лишка содержится в ряду?
СообщениеДобавлено: 27 фев 2018, 13:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\prod\limits_{n} \left( 1- \frac{ 1 }{ p_n } \right)[/math] очень похожа на функцию Эйлера деленную на n

P.S. если не ошибаюсь, вычисление данного произведения нужно так же в задаче решенной Чебышевым ( сталкнулся с ней лет 15 назад ):
Какова вероятность того, что произвольно взятые два натуральных числа, будут взаимно просты?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
ivashenko
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сколько элементов порядка 6 содержится в группе A5

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Ilya2016

1

924

28 сен 2016, 23:56

Сколько возможных способов размещения в ряду 6ти студентов

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Houston97

2

209

21 окт 2020, 10:47

Во множестве A натуральных чисел содержится 1

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

leonchik

1

139

22 дек 2023, 20:16

Доказать подпространство содержится в другом подпространстве

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

trivok

2

209

10 июн 2020, 01:09

Доказать подпространство содержится в другом подпространстве

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

trivok

0

176

10 июн 2020, 00:55

В урне содержится 6 черных и белых шаров

в форуме Теория вероятностей

NadezhdaNNN

2

600

05 дек 2016, 16:26

В n-значном двоичном числе содержится ровно 3 единицы

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

marii

5

315

02 июн 2020, 20:49

Найти последовательность в ряду

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

mikuskov

2

75

15 фев 2024, 19:20

Среднее арифметическое в интервальном ряду

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Fractals

0

127

10 сен 2023, 14:32

В произвольном ряду чисел найти последовательность

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

dkostiunin

4

925

30 ноя 2019, 22:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved