Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivashenko |
|
|
[math](\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2*3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{2*5}-\frac{1}{3*5}+\frac{1}{2*3*5})+[/math] [math]+(\frac{1}{7}-\frac{1}{2*7}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{5*7}+\frac{1}{2*3*7}+\frac{1}{2*5*7}+\frac{1}{3*5*7}-\frac{1}{2*3*5*7})+[/math] [math]+(\frac{1}{11}-\frac{1}{2*11}-\frac{1}{3*11}-\frac{1}{5*11}-\frac{1}{7*11}+\frac{1}{2*3*11}+\frac{1}{2*5*11}+\frac{1}{2*7*11}+\frac{1}{3*5*11}+\frac{1}{3*7*11}+[/math] [math]+\frac{1}{5*7*11}-\frac{1}{2*3*5*11}-\frac{1}{2*3*7*11}-\frac{1}{2*5*7*11}-\frac{1}{3*5*7*11}+\frac{1}{2*3*5*7*11})+.........=1-\prod\limits_{n} \left(1-\frac1{p_n}\right)[/math] Каждая скобка соответствует простому числу [math]p_n[/math] и имеет номер [math]n\in\mathbb Z \geqslant 0[/math], Рассмотрим поскобочные частичные суммы данного ряда. Лишком частичной суммы будем называть элементы частичной суммы из [math]n[/math] скобок, знаменатель которых больше [math]p_n[/math], их количество - количество лишка. Необходимо определить количество лишка для произвольной частичной суммы, состоящей из скобок, и процент лишка, содержащегося во всём ряду. Также интересно насколько "похудеет" сумма ряда при удалении из него лишка. К чему сходится последовательность частичных сумм данного ряда, в которых исключен лишок? Или последовательность частичных сумм самого лишка? Пример: [math](\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2*3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{2*5}-\frac{1}{3*5}+\frac{1}{2*3*5})+[/math] [math]+(\frac{1}{7}-\frac{1}{2*7}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{5*7}+\frac{1}{2*3*7}+\frac{1}{2*5*7}+\frac{1}{3*5*7}-\frac{1}{2*3*5*7})+[/math] Это частичная сумма ряда, состоящая из скобок с номерами 0,1,2,3. Третьей скобке соответствует простое число [math]p_3= 7[/math]. Лишком этой суммы будут члены ряда, знаменатель которых больше 7:[math]-\frac{1}{2*5},-\frac{1}{3*5},\frac{1}{2*3*5},-\frac{1}{2*7},-\frac{1}{3*7},-\frac{1}{5*7},\frac{1}{2*3*7},\frac{1}{2*5*7},\frac{1}{3*5*7},-\frac{1}{2*3*5*7}[/math]. Для данной частичной суммы количество лишка равно 10. |
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Подскажите хоть куда копать?
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
Проверил экспериментально, последовательность частичных сумм ряда без лишка сходится гораздо быстрее к 1 чем сам ряд. Последовательность частичных сумм лишка похоже сходится к [math]e^{-\frac{\pi}{2}}[/math], но это под сомнением. Как это проверить и доказать?
|
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
[math]\prod\limits_{n} \left( 1- \frac{ 1 }{ p_n } \right)[/math] очень похожа на функцию Эйлера деленную на n
P.S. если не ошибаюсь, вычисление данного произведения нужно так же в задаче решенной Чебышевым ( сталкнулся с ней лет 15 назад ): Какова вероятность того, что произвольно взятые два натуральных числа, будут взаимно просты? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: ivashenko |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |