Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Любой градус циркулем и линейкой с большой точностью
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 11:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 16:38
Сообщений: 1195
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 102
Спасибо получено:
63 раз в 62 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
Ну потенциально мы все всё можем, а показать на практике? Вы пока что не внесли никакого конструктива, только флуд. И да, есть такой пользователь у меня в чёрном списке игнорируемых, и он сам в этом виноват...
Название темы внимательно читайте, подразумевается построение любого угла, кратного 1 градусу с высокой для практики точностью. То есть, рассмотрена возможность создания точного для практики транспортира циркулем и линейкой, чего прежде никто с такой точностью не делал.
В радианы не трудно перевести: построенный угол для девятиугольника будет очень близко к [math]\frac{ 2 }{ 9 } \pi[/math] радиан, точность от перевода в другие единицы не изменится.

ЗЫ
Нужен угол [math]151^{\circ}[/math] - не проблема: [math]51.1^{\circ} \cdot 10-360^{\circ}=151^{\circ}[/math], или [math]27.2^{\circ} \cdot 5=136^{\circ}[/math], легко построить 68, 34, 17 градусов, построив биссектрисы и т.д., затем можно отмечать деления хоть по 1 градусу, в начале темы написано, как это сделать. Транспортир можно получить очень точный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любой градус циркулем и линейкой с большой точностью
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 13:43 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не понял, угол [math]151^{\circ}[/math] вы предлагаете строить десятикратным повторением угла [math]51.1^{\circ}[/math], что ли? :shock:
Всё гораздо проще. Подскажу примером. Как построить угол, например, 1 рад?
На координатной сетке (начало координат - точка [math]O[/math]) отметим точку [math]A (3, 17)[/math] и [math]B (13, -12)[/math].

[math]\angle AOB = 1.00004904952898 (57.2985898440799^{\circ})[/math]

А если отметим точки [math]C(1, 17)[/math] и [math]D(17, 18)[/math], то получим [math]\angle COD = 39.9969622949535^{\circ}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любой градус циркулем и линейкой с большой точностью
СообщениеДобавлено: 26 сен 2017, 23:23 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 21:21
Сообщений: 471
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
256 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap, можете гордиться - Ваш метод применительно к построению квазиправильного девятиугольника оказался точнее более чем на два порядка методов, приведенных в этой теме!

С помощью Живой математики можно «выудить» не только 5 правильных знаков после запятой, но и больше.
Соответствующее вычисление для угла ECA показано на рисунке.
Таким образом, угол ECA в Живой математике оказался равным 25,20000404181°.

Изображение

Однако нельзя полностью полагаться на Живую математику.
Найдем точное выражение для этого угла следующим способом.
Пусть радиус красной (на рисунке) окружности равен [math]\left|{EO}\right| = 2[/math].
Треугольник OCE - равносторонний, длина его медианы, биссектрисы и высоты равна [math]\left|{OI}\right| = \sqrt 3[/math].
Центр треугольника находится в точке B, поэтому радиус синей окружности равен: [math]\left|{HB}\right| = 2 - \frac{2}{3}\sqrt 3 = 2\left({1 - \frac{1}{{\sqrt 3}}}\right)[/math].
Запишем уравнения красной и синей окружностей в Декартовой системе координат, центр которой находится в точке O, а оси X, Y расположены как на рисунке:
[math]{x^2}+{y^2}={2^2}[/math] (1);
[math]{x^2}+{(y - 2)^2}= 4{\left({1 - \frac{1}{{\sqrt 3}}}\right)^2}[/math] (2)
Найдем ординату точки пересечения окружностей A, для чего вычтем из (1) уравнение (2): [math]y = \frac{2}{3}\left({1 + \sqrt 3}\right) \approx{\text{1}}{\text{,82136720506}}\ldots[/math]

Подставляя y в (1) получим абсциссу: [math]x = \sqrt {4 - {y^2}} = \frac{2}{3}\sqrt {5 - 2\sqrt 3 } \approx {\text{0}}{\text{.82620911662}} \ldots[/math]

Координаты точки C в той же системе координат: [math]C\left({1;\sqrt 3}\right)[/math].
Следовательно, тангенс угла ECA в точности равен:

[math]tg\left( {\angle ECA} \right) = \frac{{y - yC}}{{xC - x}} = \frac{{\frac{2}{3}\left( {1 + \sqrt 3 } \right) - \sqrt 3 }}{{1 - \frac{2}{3}\sqrt {5 - 2\sqrt 3 } }} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3 - 2\sqrt {5 - 2\sqrt 3 } }} \Rightarrow[/math]
[math]\angle ECA = arctg\left({\frac{{2 - \sqrt 3}}{{3 - 2\sqrt{5 - 2\sqrt 3}}}}\right) ={\text{27}}{\text{,2000040418132174835487577}}\ldots ^\circ[/math]

Видно, что все 11 знаков после запятой, вычисленные инструментами Живой математики оказались правильными!

Оценим, например, точность построения таким способом угла в 4°.
Для этого полученный угол ECA разделим на 4 равные части, добавим тот же угол и из полученного вычтем угол 30°, который легко строится с помощью циркуля и линейки.
В итоге имеем: [math]27,20000404 \cdot \left({1 + \frac{1}{4}}\right) - 30 = 4,00000505 \ldots ^\circ[/math].
Соответственно точность построения угла составляет [math]5,05\cdot{10^{-6}}[/math] градусов.
С такой же точностью можно построить и угол 40°.
В самом деле, с помощью циркуля и линейки можно построить правильный десятиугольник или угол в 36°, к которому осталось добавить наш угол в [math]4,00000505 \ldots ^\circ[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Любой градус циркулем и линейкой с большой точностью
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 00:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 16:38
Сообщений: 1195
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 102
Спасибо получено:
63 раз в 62 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D
Вот это я называю конструктивом! Супер! Девятиугольник ну очень близкий!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любой градус циркулем и линейкой с большой точностью
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 03:34 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поздравляю! :Rose:

Но продолжим: точка [math]A(8, -1)[/math]; точка [math]B(35, 8)[/math].
[math]\angle AOB = \operatorname{arctg}\frac{1}{8}+\operatorname{arctg}\frac{8}{35}=20.000017908514273205138831009868[/math]

В чём преимущество такого рода построения?
Например, центральный угол правильного семиугольника. Должен быть 51.428571428571428571428571428571...
А вот для точек [math]C(11, 30)[/math] и [math]D(3, 1)[/math] [math]\angle COD = \operatorname{arctg}\frac{30}{11}-\operatorname{arctg}\frac{1}{3}=51.4287477488299[/math], что даёт относительную погрешность меньше, чем [math]0.0004\%[/math].

Прям здесь же можно начать строить "правильные" сколькоугодноугольники. С точностью, сопоставимой с указанной.
Имея под рукой школьную тетрадь в клетку. И нет никаких сомнений, что расширяя диапазон координат (что если и проблема, то лишь вычислительная) можно перекрыть любой рекорд точности построения циркулем и линейкой. Ну, может, потребуется лист A4 миллиметровки.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любой градус циркулем и линейкой с большой точностью
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 13:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 16:38
Сообщений: 1195
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 102
Спасибо получено:
63 раз в 62 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48
В чём преимущество? Не, вы до этого сделали вот такое лицо :shock: , когда удивились, что угол строится как 51.1 по 10 раз. И не десять, а можно построить, к примеру, только 5 раз и ещё раз - на построение вдвое большего, и того: 6. Какое мне лицо теперь остаётся сделать для вас, если циркулем и линейкой собираетесь сделать лист миллиметровки, и даже более мелкую координатную сетку для построения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любой градус циркулем и линейкой с большой точностью
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 14:10 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
и даже более мелкую координатную сетку для построения?

?????????????
Прокомментируйте, пжлст, вот этот вот ваш пассаж, если не трудно. В смысле, зачем вам что-то более мелкое? :)

Про миллиметровку я написал, имея в виду взять её из тумбочки. И построить без циркуля и линейки любой угол с недостижимой для построений ЦиЛ точностью. Для построений с достижимой точностью (опять же без ЦиЛ) достаточно школьной тетрадки в клетку.

А если уж строить циркулем и линейкой, то в миллиметровке нет необходимости от слова совсем. Например, для построения "правильного" 13-угольника потребуется построить 2 точки с целочисленными координатами 8, 14, 17, 19. Нужно ли для этого что-то расчерчивать на миллиметровку - каждый решает сам. Я бы не стал.
И ответ на вопрос "в чём преимущество?" очевиден. В регулярности метода. Сколько времени вам потребуется на построение "правильного" 19-угольника? Мне - меньше. И построение будет более точным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Построение циркулем и линейкой

в форуме Геометрия

Gagarin

18

337

17 май 2017, 15:25

Построение циркулем и линейкой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Nadi_B

2

137

28 май 2015, 09:43

Вычислить |[a+2b,3a-b]|, если |a|=4, |b|=1, (a^,b)=30 градус

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

DoZeR

1

174

09 янв 2014, 18:44

Найти градус угла по синусу

в форуме Геометрия

NewSp

10

1239

28 июл 2015, 00:21

Площадь большой фигуры

в форуме Геометрия

+456+

3

90

16 дек 2016, 06:40

Число в большой степени

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Solopa

4

172

07 окт 2016, 16:13

Размер фото большой

в форуме Предложения, Замечания, Обратная связь

kizer

2

511

26 мар 2014, 14:59

Матрица в большой степени

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Solopa

5

162

07 дек 2015, 22:30

Интегралы с большой степенью

в форуме Интегральное исчисление

RevoPower

5

290

11 мар 2014, 17:34

Отрицание бесконечно большой последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

IvanZol

2

400

21 окт 2013, 18:48


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved