Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 132 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 12 июн 2017, 08:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
А вы не знали, что:
[math]\frac{ 384 }{ 12 }=2^{5}[/math] ?

[math]\frac{ 384 }{ 12 }=\frac{ 3 \cdot 2^{7} }{ 3 \cdot 2^{2} } =2^{5}[/math]


Осталось научиться цитировать сразу несколько сообщений)


Дуги равны, так как они зависят линейно от отношения угла и радиуса, хорды не равны, так как длина хорды вычисляется при помощи тригонометрических функций, где зависимость уже не будет линейной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 12 июн 2017, 10:39 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По последнему рисунку. Зависимость искомого угла от радиуса полуокружности, если не ошибаюсь, будет такая:
Пусть [math]r[/math] - радиус полуокружности, [math]\alpha[/math] - данный угол, [math]\beta[/math] - искомый угол, тогда:

[math]B1H2=\sqrt{r^{2}-\frac{ r^{2} }{ 4 } }[/math]

Рассмотрим подобные треугольники [math]\triangle AO2C[/math] и [math]\triangle A2O2C2[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ B1O2 }{ BO2 } = \frac{ A2C2 }{ AC } = \frac{ 2r }{ 2\sin{ \frac{ \alpha }{ 2 } } } \\
& B1O2+BO2=\frac{ 1 }{ 2 }
\end{aligned}\right.[/math]


[math]BO2=\frac{ \sin{\frac{ \alpha }{ 2 } }B1O2 }{ r }[/math],

[math]B1O2+\frac{ \sin{\frac{ \alpha }{ 2 } }B1O2 }{ r }=\frac{ 1 }{ 2 }[/math]

[math]B1O2=\frac{ 1 }{ 2+\frac{ 2\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r } }[/math]

[math]O2H2=B1H2+B1O2=\sqrt{r^{2}-\frac{ r^{2} }{ 4 }}+\frac{ 1 }{ 2+\frac{ 2\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r } }[/math]

[math]\beta =2 \operatorname{arctg}\frac{ D2H2 }{ O2H2 } = 2\operatorname{arctg}\frac{ r }{ 2\sqrt{r^{2}-\frac{ r^{2} }{ 4 }}+\frac{ 1 }{ 1+\frac{ \sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r } } }[/math]

Теперь можно найти требуемый радиус [math]r[/math] полуокружности для построения требуемого угла [math]\beta =\frac{ 1 }{ 3 } \alpha[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 12 июн 2017, 10:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я совершенно не понимаю что вы делаете. Точнее для чего. Предположим вы найдете искомый радиус, выраженный сложными радикалами, каким образом вы отложите то что вы нашли при помощи линейки и циркуля?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 12 июн 2017, 12:07 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё просто. Радиус дуги данного угла - единичный, так что радиус полуокружности в любом случае выражен по отношению к нему. Мы можем производить с единичным радиусом нужные математические действия, чтобы отложить нужный радиус для полуокружности. Ещё мы можем сдвигать центр полуокружности вверх и вниз, и нужно эти две зависимости объединить в общую формулу. Ванцель разбирал прямые методы с простыми зависимостями, а здесь не всё так просто - целое сочетание получается. Если предположить, что подобие за [math]\sin{20}[/math] всё же сохраняется, то имхо можно попытаться найти такое положение центра полуокружности и длину её радиуса, при которых из любого данного угла можно получить угол, равный трети данного угла, так как для всех углов применяется один и тот же развёрнутый угол. Причём, всё доказывается автоматически.
Кстати, выражение [math]\sqrt{r^2-\frac{ r^2 }{ 4 } }[/math] легко заменяется на [math]\frac{ r\sqrt{3} }{ 2 }[/math], так как [math]B1H2=r\cos{30^{\circ}}[/math]


Последний раз редактировалось 3axap 12 июн 2017, 12:15, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 12 июн 2017, 12:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Кстати, выражение [math]\sqrt{r^2-\frac{ r^2 }{ 4 } }[/math] легко заменяется на [math]\frac{ r\sqrt{3} }{ 2 }[/math], так как [math]B1H2=r\cos{30^{\circ}}[/math]

Пробуйте) для выражения достаточно было привести к общему знаменателю то что находится под корнем.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 12 июн 2017, 12:18 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
для выражения достаточно было привести к общему знаменателю то что находится под корнем.

Да, я знаю, но иногда полезно избавляться от знака квадратного корня и записывать в тригонометрическом виде, поэтому пока все варианты... )))
PS
Где-то ошибка, не могу найти, где именно. При подстановке радиуса ерунда получается...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 13 июн 2017, 02:55 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё, разобрался. В формуле ошибки нет. Упрощённый вид будет такой:

[math]\beta =2\operatorname{arctg}\frac{ r }{ r\sqrt{3} +\frac{ 1 }{ 1+\frac{ \sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r } } }[/math]

При подстановке [math]r=1[/math] получил угол [math]\approx 47.59[/math]
При подстановке [math]r=\frac{ 1 }{ 2 }[/math] получил угол [math]\approx 44.18[/math]
Поэтому и подумал, что ошибка, ведь на рисунке искомая хорда во втором случае должна быть больше, а не меньше. Но нет, всё верно. Потом сообразил, что найденный угол [math]\beta[/math] вертикальный с углом, пересекающий дугу данного угла и образующий искомую хорду, не является пока [math]\frac{ \alpha }{ 3 }[/math] , потому что точка [math]O[/math] не совпадает с вершиной угла, поэтому нужно объединить формулу с первой рассмотренной зависимостью. Единственное успокаивает, что при перепроверке пока всё верно. Как видно, что для построения пока нет невозможных операций:
[math]\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } }[/math] - это половина хорды дуги данного угла с единичным радиусом,
инверсия [math]\frac{ 1 }{ x }[/math] также известны способы построения,
[math]\sqrt{3}[/math] - не проблема построить, ну и остаются ещё операции деление и сложение, так что, пока нет ничего невозможного, чтобы построить требуемый радиус полуокружности имхо. А в формулу я добавлю ещё смещение...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 13 июн 2017, 23:10 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Итак. Продолжаю логически рассуждать...
Если провести касательную к дуге данного угла в точке E, то угол (лучи белого цвета), вертикальный найденному углу [math]\beta[/math] по предыдущей формуле, пересечёт эту прямую и образует равнобедренный треугольник. Если бы вершина угла [math]O2[/math]совпадала с центром единичной окружности [math]B1[/math], то высота этого треугольника равнялась бы единичному радиусу [math]B1E[/math], но вершина нужного нам угла смещена вверх по оси [math]E1E[/math] на отрезок [math]B1O2[/math], поэтому высота полученного треугольника равна [math]B1E-B1O2[/math], отсюда находим необходимый коэффициент подобия:
[math]\frac{ EO2 }{ B1E } = \frac{ 1- B1O2}{ 1 } = 1 - \frac{ 1 }{ 2+\frac{ 2\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r } }[/math]
Именно во столько раз изменилась длина искомой хорды, в результате смещения вершины [math]O2[/math] от центра [math]B1[/math]. Следовательно, во столько же раз изменилось и отношение катетов для тангенса. Отсюда полная формула приобретает вид:

[math]\gamma =2\operatorname{arctg}(\frac{ r }{ r\sqrt{3} +\frac{ 1 }{ 1+\frac{ \sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r } } } \cdot (1 - \frac{ 1 }{ 2+\frac{ 2\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r }}))[/math]

Длина искомой хорды будет определяться так:

[math]DF=2\sin{\frac{ \gamma }{ 2 } }[/math]

Подставляя значения для данного угла [math]\alpha[/math] и радиуса полуокружности, можно получить требуемый угол [math]\gamma[/math] и найти длину хорды.
Я проверил формулу, подставив значения радиусов полуокружностей для двух рассмотренных случаев на рисунке, и получил значения углов:
для [math]r=1[/math] угол [math]\approx 35.778^{\circ}[/math]
для [math]r=\frac{ 1 }{ 2 }[/math] угол [math]\approx 36.6865^{\circ}[/math]
Похоже на то, хотя в CAD'е пока не проверял... Получили, что при изменении радиуса полуокружности в 2 раза, угол изменился всего лишь почти на градус, что показывает неплохие возможности метода...
Теперь нужно вытащить радиус полуокружности отдельно за знак равенства, чтобы, введя значение для [math]\gamma =\frac{ \alpha }{ 3 }[/math] найти его и построить нужную для трисекции полуокружность, например, попробовать для угла 72 градуса и проверить также возможность для других углов...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 00:28 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Упростил выражение, теперь:

[math]\gamma =2\operatorname{arctg}(\frac{ r }{ r\sqrt{3} +\frac{ 1 }{ 1+\frac{ \sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r } } } \cdot (1 - \frac{ 1 }{ 2+\frac{ 2\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ r }}))= 2 \operatorname{arctg}\frac{ r+2\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } }{ 2\sqrt{3}r+2\sqrt{3}\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } }+2 }[/math]

PS
Ух... отвык уже подобное решать, но вроде не всё ещё окончательно забыл, поэтому поправьте, если я не прав. Исходя из вышеизложенного, для трисекции [math]\angle \alpha[/math] предложенным методом, требуемый радиус полуокружности будет вычисляться по формуле:

[math]r=\frac{ 2\sqrt{3}\sin{\frac{ \alpha }{ 2 } } \operatorname{tg}{\frac{ \alpha }{ 6 }} +2\operatorname{tg}{\frac{ \alpha }{ 6 }} - 2\sin{\frac{ \alpha }{ 2 }} }{ 1-2\sqrt{3}\operatorname{tg}{\frac{ \alpha }{ 6 }} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение Трисекции угла
СообщениеДобавлено: 15 июн 2017, 23:02 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формулы перепроверил, вроде бы всё верно, убедился, что возможность определять необходимые для построения величины есть. Теперь по последней формуле. При подстановке значения данного угла получается отрицательный результат радиуса полуокружности. Это говорит о том, что при построении полуокружности с центром в точке вершины данного угла, нужный для его трисекции угол изменением только радиуса полуокружности построить не удастся. То есть, искомый угол будет меньше, чем нужно даже при очень малом конечном радиусе. Как выяснилось теперь из выведенных формул, нужно обязательно смещать положение полуокружности вниз по оси EE1, и желательно найти такое расстояние, при котором радиус полуокружности возможно было бы вычислить циркулем для основных известных углов. А это не менее сложная задача, а формулы заново нужно будет теперь корректировать... "Первый блин" оказался комом, но самое интересное, наверное, ещё предстоит впереди. :) Не без трудностей )))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.    На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14  След.  Страница 10 из 14 [ Сообщений: 132 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
И всё-таки о трисекции угла - с доказательством

в форуме Размышления по поводу и без

SergeyM

9

335

18 фев 2022, 16:26

О неразрешимости трисекции угла - прав ли П.Ванцель?

в форуме Дискуссионные математические проблемы

SergeyM

6

385

21 фев 2022, 17:57

Решения квадратуры круга и трисекции угла

в форуме Палата №6

Glechikov Petr

123

2609

18 фев 2020, 13:01

Выпуклый четырехугольник. Общее решение для угла Х

в форуме Геометрия

Avgust

30

599

21 фев 2023, 14:43

Найдите величину угла BAM, при каких ϕ задача имеет решение?

в форуме Геометрия

NiKiTa333

1

152

06 мар 2023, 22:44

Найти градус угла по значению синуса двойного угла

в форуме Тригонометрия

jellobiafra

5

731

13 мар 2018, 17:10

Величина угла

в форуме Геометрия

alinamu

4

222

11 ноя 2018, 20:11

Трисекция угла

в форуме Палата №6

Gogger

64

1699

26 мар 2018, 07:42

Трисекция угла

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

30

1063

12 май 2020, 21:57

Два треугольника, два угла

в форуме Геометрия

nillazinda

2

260

02 мар 2016, 10:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YaCy [Bot] и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved