Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Четырехугольник наибольшей площади
СообщениеДобавлено: 04 май 2020, 18:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Даны четыре концентрические окружности. Каждая вершина выпуклого четырехугольника принадлежит только одной окружности. Я предположил, что наибольшую площадь будет иметь такой четырехугольник:

Изображение

Если это так, то очень уж просто по сравнению с треугольником (такую задачу недавно мы рассматривали).
Если предположение верно, то как строго доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник наибольшей площади
СообщениеДобавлено: 05 май 2020, 02:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К такому результату пришел путем графических построений и логически рассуждая.
Строгости, естественно, - никакой!
Проверить решил численными расчетами. Начало декартовых координат опять поместил в центре концентрических окружностей.
Составил простенькую прогу - метод Монте Карло:

r1=3:r2=4:r3=6:r4=9
x4=r4:y4=0
x10=-2.5:x20=2.5:x30=3.5
z=.001:s1=0:nn=50000000
for j=1 to nn
x1=x10*(1+z*(ran()-.5))
x2=x20*(1+z*(ran()-.5))
x3=x30*(1+z*(ran()-.5))
y1=sqrt(r1^2-x1^2)
y2=-sqrt(r2^2-x2^2)
y3=sqrt(r3^2-x3^2)
x5=x1-y1*(x2-x1)/(y2-y1)
x6=x1-y1*(x3-x1)/(y3-y1)
S=1/2*((x4-x5)*abs(y2)+(x4-x6)*y3-(x5-x6)*y1)
if S>s1 then s1=S
print x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,S using "#####.##########"
x10=x1:x20=x2:x30=x3
fi
next j

Радиусы видно какие (первая строка проги). В результате счета:

[math]x_1=-3.00000\,\,\, y_1=\,0.001170[/math]
[math]x_2=0.014605\,\,\, y_2=-3.99997[/math]
[math]x_3=0.018475\,\,\, y_3= \,5.99997[/math]
[math]x_4=9.000000\,\,\, y_4=\,0[/math]

Площадь [math]S_{max}= 59.999670[/math]

Ясно теперь, что общая формула для четырехугольника максимальной площади

[math]S_{max}=\frac 12 (r_1+r_4)(r_2+r_3)\, ; \qquad (\,r1\le r_2\le r_3\le r_4\,)[/math]

Но можно ли это все геометрически доказать-показать? Страшно интересно!

Ссылка на подобную задачу, но с треугольником:
viewtopic.php?f=57&t=69534

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник наибольшей площади
СообщениеДобавлено: 05 май 2020, 08:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.
В нашем случае длина диагоналей не превышает суммы радиусов, а максимальный синус (1) будет при перпендикулярности диагоналей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Четырехугольник наибольшей площади
СообщениеДобавлено: 05 май 2020, 12:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Построение пятиугольника максимальной площади.
Проведем из точки O любые пять лучей Oa, Ob, Oc, Od, Oe.
Изображение

Выберем на луче Oa точку A и через нее проведем перпендикуляр к лучу Ob.
Точку пересечения перпендикуляра с лучом Oc обозначим через C.
Через С проведем перпендикуляр к лучу Od.
Точку пересечения перпендикуляра с лучом Oe обозначим через E.
Через E проведем перпендикуляр к лучу Oa.
Точку пересечения перпендикуляра с лучом Ob обозначим через B.
Наконец, через B проведем перпендикуляр к лучу Oc.
Точку пересечения перпендикуляра с лучом Od обозначим через D.
Если мы через D проведем перпендикуляр к лучу Oe, то оказывается, что на нем лежит точка A, с которой началось построение.
Проведем пять концентрических окружностей с центром в O и проходящие через A, B, C, D, E.
Пятиугольник ABCDE имеет максимальную площадь по сравнению с другими пятиугольниками с вершинами на этих окружностях.

Здесь дано построение как бы наоборот: от лучей - к окружностям.
Если же нам будет известны сами окружности, то построить пятиугольник с помощью циркуля и линейки не удастся, так как эта прямая задача, похоже, сводится к решению алгебраического уравнения пятой степени.
В этом смысле четырехугольник является интересным простым исключением по сравнению с треугольником, пятиугольником и другими многоугольниками.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Avgust
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Треугольник наибольшей площади

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

25

744

27 апр 2020, 23:16

Нахождение наибольшей площади фигуры

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Ladytaft24

5

826

19 ноя 2017, 18:04

Найти треугольник наибольшей площади

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Class

7

587

26 апр 2018, 22:12

Определить длины сторон прямоугольника наибольшей площади

в форуме Maple

dadessm

2

470

19 дек 2018, 23:38

Четырехугольник, медианы, площади

в форуме Геометрия

Avgust

4

355

20 май 2021, 10:39

Найти порядок наибольшей p-группы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

davletova_ag

0

285

22 май 2015, 09:38

Вписать в эллипсоид параллелепипед с наибольшей полной пов

в форуме Дифференциальное исчисление

anpe0681

13

732

17 окт 2017, 00:59

Какие стороны имеет прямоугольник наибольшей S впис в эллипс

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Olena88

1

166

28 ноя 2021, 21:01

Четырехугольник

в форуме Геометрия

markmark2

4

175

15 фев 2021, 11:57

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

sema_90

5

463

13 ноя 2016, 21:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved