Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнения с разделяющими переменными - строгое обоснование
СообщениеДобавлено: 25 дек 2019, 22:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как более-менее строго рассказать о решении обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющими переменными? В строгих книгах этот материал обходят. В нестрогих пишут такое, что можно только проглотить, не вдумываясь в смысл. Допустим у нас есть уравнение [math]y'=\frac{ F(x) }{ G(y) }[/math] . Они это дело переписывают так: [math]G(y)dy=F(x)dx[/math] . И тут у читателя, который хочет чего-то понять, возникает вопрос, а что с чем мы тут сравниваем? Какие тут у нас математические объекты - числа, функции или что-то ещё? Дальше они (в нестрогих книгах) приписывают к обеим частям равенства значки интегралов. И какой смысл тут имеет это приписывание? Если что, то интегрировать мы можем только функции от одной переменной, если хотим говорить о равенстве результатов. Более-менее строгое изложение вопроса видел в одной книге. Но сейчас не могу найти её на компьютере. Относительно вменяемое изложение посмотрел в учебнике Филиппова. Сейчас изложу его с небольшой моей модификацией. Исходное уравнение мы можем записать так: [math]G(y(x))y'(x)=F(x)[/math] . В такой форме ясно видно, что слева и справа у нас две функции от одного и того же аргумента. И их мы можем законно интегрировать: [math]\int G(y(x))y'(x)dx= \int F(x)dx + C[/math] . Теперь в левой части мы делаем замену переменных и переходим от интегрирования по [math]x[/math] к интегрированию по [math]y[/math] . В результате получаем известное равенство [math]\int G(y)dy=\int F(x)dx +C[/math] . Но теперь мы хоть понимаем, откуда оно взялось. Если кому эта тема интересна, просьба поделиться соображениями, насколько понятно и строго такое изложение темы о разделяющихся переменных? Может можно вопрос изложить лучше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения с разделяющими переменными - строгое обоснование
СообщениеДобавлено: 26 дек 2019, 09:54 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решил провести расследование и посмотреть, что пишут в учебниках на эту тему. Расследование также имеет целью разобраться, а какой учебник выбрать для того, чтобы восполнить свои собственные прорехи в дифференциальных уравнениях. (В которых я полный невежда, хотя имел наглость тут кое-кому помогать). Для начала взял учебник Степанова. Он пишет, что если что-то вообразить в равенстве [math]G(y)dy=F(x)dx[/math] , то можно увидеть, что слева и справа в этом равенстве стоят некие дифференциалы, которые можно интегрировать. (Обозначения здесь и дальше я буду приводить в соответствие с своим первым постом). Что же такое, интегрировать дифференциалы, остаётся загадкой. Посмотрел содержание этого учебника. Про качественную теорию ничего нет. Хотя есть параграф про устойчивость Ляпунова.
Дальше посмотрел учебник Петровского (совместно с Мышкисом и Олейник). Тут есть своё интересное рассмотрение рассматриваемого вопроса. Пока не изучал. Есть параграф про устойчивость Ляпунова. Самые начала качественной теории излагаются в последней главе про автономные системы.
Дальше посмотрел учебник Понтрягина. Где-то в жизнеописании Понтрягина, составленному им самим, прочёл, что как-то Понтрягин заинтересовался диффурами, прочёл несколько учебников, признал их неудовлетворительными и поэтому решил написать свой. В этом учебнике сразу рассматривается уравнение в полных дифференциалах. Видимо уравнение с разделяющими переменными он решил трактовать как частный случай уравнения в полных дифференциалах. Качественной теории уже тут побольше и причём с примерами. Это соответствует интересам самого Понтрягина в середине прошлого века.
Дальше посмотрел учебник Арнольда. Про методы решения уравнений тут вообще не очень развёрнуто. Хотя учебник интересен сам по себе, потому как в нём вводится много интересных понятий. Остаётся пока невыясненным для меня вопрос, а насколько развёрнуто в этом учебнике показано применение этих понятий на практике.
Дальше посмотрел учебник Бибикова. Рассматриваемого вопроса не нашёл. Первое впечатление от учебника, что это уже и не совсем учебник для первого чтения, а шаг в сторону научной монографии.
Дальше посмотрел учебник Трушкова. Здесь рассматриваемому вопросу посвящена целая глава. Первое впечатление, что слишком много букв. Пока ничего не понял. Возможно учебник достоин рассмотрения. Видно, что человек старался. Много материала.
В лекциях Сергеева уравнения с разделяющими переменными есть частный случай уравнений в полных дифференциалах. Лекции интересные. Но почему-то так и не изданные, как учебник.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
ДУ с разделяющими переменными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

VgKroo

1

450

07 окт 2021, 13:42

Уравнения с разделяющимися переменными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Abaranci

5

357

09 май 2017, 13:36

Решение уравнения с двумя переменными

в форуме Алгебра

kirill_medvedev

5

401

07 авг 2018, 15:03

Приведение уравнения к виду с разделяющимися переменными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

acetonio

7

279

22 окт 2019, 15:40

Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Andriotte73

1

156

27 ноя 2016, 19:20

Почему неравенство строгое при решении задачи с параметром?

в форуме Алгебра

alekscooper

1

224

23 ноя 2017, 22:48

Обоснование схемы доказательства

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Andy

1

256

09 янв 2017, 15:41

Математическое обоснование зависимости

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Aster379

3

238

14 июн 2018, 10:50

Математическое обоснование ответа

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

AlexKostal

5

536

06 апр 2021, 12:40

Обоснование шестимерной модели пространства - времени

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

15

1305

29 май 2014, 23:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved