Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Рулетка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=66772
Страница 1 из 4

Автор:  ivashenko [ 07 окт 2019, 21:28 ]
Заголовок сообщения:  Рулетка

Вращаем барабан с 37-ю секторами:0-36, 1000000 раз. Стрелка может указать на любой из секторов с равной вероятностью. Какова вероятность, что все числа 0-36 выпадут по порядку хотя бы раз?
У меня получилось:
P(1000000)=999963(\frac{1}{37})^{37}+999963*999926(\frac{1}{37})^{74}+999963*999926*999889(\frac{1}{37})^{111}+...........[/math]

если мы возьмем любые последовательные 37 вращений, то они могут выпасть [math]37^{37}[/math] способами. Из них лишь 1 удовлетворяет условию, но при этом наша последовательная последовательность длиной в 37 вращений может начаться на любом из 999963 испытаний. Т.е. вероятность события повышается в 999963 раза - и это первое слагаемое. В чем ошибка в рассуждениях? И как правильно?

P.S. Подозреваю, что должна быть какая-то готовая формула для такой задачи, но интересно поизобретать велосипед.

P.P.S. И кстати, здравствуйте.

Автор:  ivashenko [ 08 окт 2019, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

ivashenko писал(а):
В чем ошибка в рассуждениях? И как правильно?


Неужели мои рассуждения верны? Какой формулой следует пользоваться в данном случае?

Автор:  ivashenko [ 09 окт 2019, 00:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

Можно рассуждать еще так: в каждом из миллиона испытаний может выпасть одно из 37 значений, следовательно миллион испытаний могут реализоваться [math]37^{1000000}[/math] способами - это общее количество возможных исходов, которое помещаем в знаменатель. Теперь необходимо найти количество благоприятных исходов. Но не очень понятно как их искать. Например последовательность из 37 последовательных чисел можно разместить по 1000000 мест 999963 способами. Но как посчитать к каждому варианту количество заполнения остальных 999963 ячеек? Неужели это будет [math]37^{999963}[/math]? Тогда вероятность, что среди 1000000 вращений барабана с 37-ю равновероятными секторами 0-36 выпадут последовательно все сектора в порядке возрастания хотя бы один раз, равна: [math]999963\frac{37^{999963}}{37^{1000000}}=\frac{999963}{37^{37}}[/math]. Но это мне кажется неверным, потому, что могут быть пересечения, которые необходимо исключить.Так вот, как исключить эти пересечения благоприятных исходов? И вообще, как быть с этой задачей?

Автор:  Gagarin [ 09 окт 2019, 07:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

ivashenko писал(а):
Неужели мои рассуждения верны? Какой формулой следует пользоваться в данном случае?
ivashenko
Ваши рассуждения отчасти верны, но уж больно они посконны и домотканны.
Формула включений-исключений к Вашим услугам.

Автор:  ivashenko [ 09 окт 2019, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

Я что-то и подозревал в этом роде, но никак не могу сообразить, что включать- исключать. Слишком сложная структура включений -исключений получается. Это заставило предположить, что существует какая-то универсальная формула, чтобы обойти составление этой структуры. Включениями-исключениями, на мой взгляд, эту задачу не решить. Но должен же быть какой-то более простой способ?

Автор:  Gagarin [ 10 окт 2019, 07:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

ivashenko писал(а):
о должен же быть какой-то более простой способ?
ivashenko
Давайте упростим ситуацию. На рулетке всего 2 сектора, то бишь подбрасываем правильную монету, скажем, 10 раз. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет последовательность [math]OP[/math] (орёл-решка)?

Автор:  ivashenko [ 10 окт 2019, 14:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

Это упрощение не слишком помогает решить исходную задачу.

Ну, допустим это будет [math]\frac{2^{10}-11}{2^{10}}[/math],а что дальше? Ведь сложность очень сильно возрастает при увеличении количества секторов всего на 1, а нам это количество необходимо увеличить на 35. Да и число испытаний в 100000 раз побольше.

Автор:  ivashenko [ 12 окт 2019, 23:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

Может быть будут еще предложения по решению этой задачи?

Автор:  ivashenko [ 29 окт 2019, 23:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

Цитата:
Тогда вероятность, что среди 1000000 вращений барабана с 37-ю равновероятными секторами 0-36 выпадут последовательно все сектора в порядке возрастания хотя бы один раз, равна: [math]999963\frac{37^{999963}}{37^{1000000}}=\frac{999963}{37^{37}}[/math].


Народ, так что включать и исключать-то? Или может можно как-то по другому подойти?

Автор:  Emphatic18 [ 31 окт 2019, 15:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рулетка

Аналитическую формулу не знаю, но попытаться поставить численный эксперимент можно.

▼ код
program ruletka
implicit none
integer, parameter :: n = 5
integer :: i, j, c
integer :: a(0:1000000), b(0:n), v(500)
real :: y, x(0:1000000)

!Формируем искомую последовательность чисел
forall (i=0:n) b(i)=i

print*, "Ищем эту последовательность чисел:"
print '(6i5)', b

!Ставим 500 экспериментов, в каждом рулетка крутится 1 млн. раз
do j = 1, 500
call random_number (x); x = x * n; a = nint(x)
c = 0
do i = 0, 999964
if (all(a(i:i+n)==b)) c=c+1
end do
v(j) = c
end do

y = sum(v) / 500.0 !Среднее число из 500 экпериментов

print*,
print*, "В среднем данная последовательность чисел"
print*, "встречается ", y , "раз"
end program ruletka


Вот что получилось. Среднее бралось от 500 экспериментов, в каждом из которых рулетку крутили миллион раз. Последнее число ряда это N.

▼ результаты для n = 2...10
Код:
Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2

В среднем данная последовательность чисел
встречается    31253.5605     раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3

В среднем данная последовательность чисел
встречается    3086.40991     раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3    4

В среднем данная последовательность чисел
встречается    243.225998     раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3    4    5

В среднем данная последовательность чисел
встречается    15.7760000     раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3    4    5
    6

В среднем данная последовательность чисел
встречается   0.927999973     раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3    4    5
    6    7

В среднем данная последовательность чисел
встречается    3.79999988E-02 раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3    4    5
    6    7    8

В среднем данная последовательность чисел
встречается    2.00000000E-03 раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3    4    5
    6    7    8    9

В среднем данная последовательность чисел
встречается    0.00000000     раз
==========================================

Ищем эту последовательность чисел:
    0    1    2    3    4    5
    6    7    8    9   10

В среднем данная последовательность чисел
встречается    0.00000000     раз



Для последовательной комбинации чисел 0...36 верятность будет крайне мала. Очень грубо видно, что с добавлением одного числа в последовательный ряд количество попаданий падает ориентировочно на порядок. Насколько эте тенденция сохраняется с ростом N?

Страница 1 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/