Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Разложение целых степеней чисел Мерсенна через бином. коэфф
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 14:33 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исследуя структурированные множества: Обобщение теории чисел, выявил такую штуковину:
Степень числа Мерсенна [math]M(k)[/math] - это не что иное, как полная мощность множества всех подмножеств структурированного множества вида: [math][[1,2,3,....,k],[1,2,3,...,k],.......,[1,2,3,....,k]][/math].

Например, вторая степень числа Мерсенна и, соответственно, полная мощность соответствующего структурированного множества:[math][[1,2,3,....,k],[1,2,3,....,k]][/math], представляются через биномиальные коэффициенты следующим образом:

[math](2^k-1)^2=M^2(k)=C_k^1C_k^1+C_k^1C_k^2+.....+C_k^1C_k^ k+C_k^2C_k^1+C_k^2C_k^2+.....+C_k^2C_k^ k+.......+C_k^kC_k^1+C_k^kC_k^2+.....+C_k^kC_k^k[/math]

Аналогично можно выражать и другие степени чисел Мерсенна.

Интересно, это какое-то простейшее тождество, которое легко выводится или же это какой-то нетривиальный результат, ранее неизвестный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение целых степеней чисел Мерсенна через бином. коэфф
СообщениеДобавлено: 03 июл 2019, 17:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Полученная общая формула будет такой:

[math]M^n(k)=(2^k-1)^n=\sum\limits_{i,j,l,....,s \leqslant k } C_k^iC_k^jC_k^l.......C_k^s[/math]
, где количество индексов по которым ведется суммирование будет равно n, а сами индексы принимают значения от 1 до k включительно, т.е. суммирование ведется по всем возможным произведениям биномиальных коэффициентов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение целых степеней чисел Мерсенна через бином. коэфф
СообщениеДобавлено: 19 янв 2023, 08:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 янв 2023, 15:35
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы бы оценили алгебраическую сложность. Тогда было бы понятнее, надо оно или нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение целых степеней чисел Мерсенна через бином. коэфф
СообщениеДобавлено: 19 янв 2023, 12:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Eugeniy_ писал(а):
Вы бы оценили алгебраическую сложность. Тогда было бы понятнее, надо оно или нет.


Надо оно или нет может оцениваться не только практической пользой, например есть еще красота выражения, симметрия,....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Разложение целых степеней чисел Мерсенна через бином. коэфф
СообщениеДобавлено: 19 янв 2023, 17:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko писал(а):
Интересно, это какое-то простейшее тождество, которое легко выводится или же это какой-то нетривиальный результат, ранее неизвестный?

Первое

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Разложение целых степеней чисел Мерсенна через бином. коэфф
СообщениеДобавлено: 19 янв 2023, 22:22 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за ответ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложение степеней натуральных (обосновать взаимосвязи)

в форуме Палата №6

ivashenko

0

141

27 ноя 2019, 16:28

Решить интеграл через дифференциальный бином

в форуме Интегральное исчисление

AlexBudyansk

2

418

17 ноя 2014, 20:14

Перемножение степеней простых чисел

в форуме Алгебра

Grigory Morozov

9

272

21 ноя 2019, 16:49

Сумма степеней ряда натуральных чисел

в форуме Ряды

Viper83

2

919

29 ноя 2014, 11:48

Плотность целых чисел чисел

в форуме Теория чисел

Kosta

6

687

31 окт 2015, 13:49

Суммы целых чисел

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

vlad97881

1

261

08 апр 2019, 18:24

Пары целых чисел |x| + |y|

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

afraumar

1

419

21 июн 2015, 12:32

Вычислить сумму целых чисел

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

kristalliks

3

220

30 авг 2022, 02:45

Факторизация больших целых чисел

в форуме Теория чисел

Romikgy

12

1131

23 сен 2014, 21:05

Пополнить множество целых чисел

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alex_mench

1

492

04 мар 2015, 10:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved