Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Суммирование знакочередующегося натурального ряда
СообщениеДобавлено: 20 июн 2019, 00:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 380
Спасибо получено:
319 раз в 301 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ранее рассматривалось суммирование ряда Гранди, для которого был получен результат: [math]1-1+1-1+1-1+....=\frac{1}{2}[/math]

Представим знакочередующийся натуральный ряд в виде суммы строк:

1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=0.5
0-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=-0.5
0-0+1-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=0.5
0-0+0-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=-0.5
0-0+0-0+1-1+1-1+1-1+1-.......=0.5
0-0+0-0+0-1+1-1+1-1+1-.......=-0.5
0-0+0-0+0-0+1-1+1-1+1-.......=0.5
........................................
1-2+3-4+5-6+7-8+9-..............=?

Обратим внимание, что каждая из строк представляет собой ряд Гранди или Ряд Гранди, умноженный на -1. При этом сумма этих рядов нам известна и равна 0.5 или -0.5 соответственно.
Таким образом, сумма строк равна 1-2+3-4+5-6+7-8+9-..............= 0.5-0.5+0.5-0.5+0.5-0.5+.....
0.5-0.5+0.5-0.5+0.5-0.5+.......

Воспользовавшись методом суммирования ряда Гранди для ряда: 0.5-0.5+0.5-0.5+0.5-0.5+......., получим результат:1-2+3-4+5-6+7-8+9-..............=0.5-0.5+0.5-0.5+0.5-0.5+.......=0.25.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Суммирование знакочередующегося натурального ряда
СообщениеДобавлено: 20 июн 2019, 22:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2628
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 228
Спасибо получено:
174 раз в 167 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не понятен смысл многочисленных операций с нулями...
А вообще, как посмотреть:
1-2+3-4+5-6+7-8+9-10... = (-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)...=-1-1-1-1-1...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Суммирование знакочередующегося натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 июн 2019, 16:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 380
Спасибо получено:
319 раз в 301 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Каждая строка, являющаяся рядом Гранди, согласно модели идеального маятника, соответствует бесконечному колебанию идеального маятника с амплитудой колебания 1, а само это колебание является следствием первоначального отклонения идеального маятника на 0,5 или -0,5.

Первая строка символизирует запущенный идеальный маятник, ноль во второй строке и последующих строках символизирует, что наш маятник совершил свободное колебание до противоположной точки, далее -1 во второй строке, говорит о том, что была добавлена энергия эквивалентная отклонению на 0,5 и либо амплитуда, либо масса маятника возросла. Ноль в следующей строке говорит о том, что после добавления этой энергии колебание было свободным до противоположной точки, где снова была добавлена такая же энергия.

Можно сравнить такой процесс с резонансом, где из бесконечного источника энергии к маятнику на каждом его полупериоде добавляется единица энергии, эквивалентная отклонению маятника на 0.5 от точки равновесия. Т.е на каждом шаге итерации, который происходит на каждом полупериоде колебания, добавляется такой же синхронный маятник. Вполне физический процесс.

В итоге получаем, что суммирование всех строк эквивалентно уменьшенному вдвое ряду Гранди, который мы уже суммировали ранее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Суммирование знакочередующегося натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 июн 2019, 18:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2628
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 228
Спасибо получено:
174 раз в 167 сообщениях
Очков репутации: 26

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сколько там получилось? 0.25? Уже лучше. Развивайте эту мысль, и в конечном итоге, при многократном повторении описанного процесса, Вы таки придёте к 0.
ivashenko писал(а):
Можно сравнить такой процесс с резонансом, где из бесконечного источника энергии к маятнику на каждом его полупериоде добавляется единица энергии, эквивалентная отклонению маятника на 0.5 от точки равновесия. Т.е на каждом шаге итерации, который происходит на каждом полупериоде колебания, добавляется такой же синхронный маятник. Вполне физический процесс.

Вот здесь тоже есть варианты... Длина подвеса маятника - вполне определённая величина, пусть даже бесконечно большая. На каждом шаге описанного процесса амплитуда маятника всё больше становится соизмеримой с длиной подвеса. Наступит предел, когда маятник некуда будет сильнее раскачивать, потому что произойдёт уже его вращение...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Суммирование знакочередующегося натурального ряда
СообщениеДобавлено: 21 июн 2019, 19:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 380
Спасибо получено:
319 раз в 301 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Сколько там получилось? 0.25? Уже лучше. Развивайте эту мысль, и в конечном итоге, при многократном повторении описанного процесса, Вы таки придёте к 0


Цели прийти к 0 нет. Есть цель обосновать результат с каких-то позиций и сопоставить его с физическим процессом.

3axap писал(а):
Вот здесь тоже есть варианты... Длина подвеса маятника - вполне определённая величина, пусть даже бесконечно большая. На каждом шаге описанного процесса амплитуда маятника всё больше становится соизмеримой с длиной подвеса. Наступит предел, когда маятник некуда будет сильнее раскачивать, потому что произойдёт уже его вращение...


Я конечо же думал над этим. Так, например, если маятник - это стержень, конечной длины, то произойдет так, как Вы говорите. Если маятник - абсолютно упругий стержень бесконечной длины, то какая бы конечная единица энергии ни была взята конечное число раз, мы не сможем его даже сдвинуть с места. Но я обратил внимание еще на следующее: если маятник - груз на нити, то при раскачивании его более величины 1/4 длины окружности, он будет переставать быть маятником, будет добавляться свободное падение без натяжения нити и дополнительные колебания. Стержень же будет переставать быть маятником при отклонении более чем на величину в 1/2 длины окружности, переходя при этом во вращение.

Еще один способ решения озвученной Вами проблемы: единицу углового отклонения и единицу потраченной на это энергии всегда можно сопоставлять нелинейно,а так, как это происходит в реальности или вообще строить нереальные маятники, отклоняющиеся при бесконечной энергии на заданный угол. Т.е. можно поле делать неоднородным, например представляя его источник точечным, а не поверхностью Земли вблизи которой колеблется маятник.

Кстати, если мы возьмем для идеального маятника в виде груза на нити, находящегося в однородном поле, единицу энергии, которую будем добавлять менее чем энергия, необходимая для отклонения на 1/4 длины окружности, то он не перейдет во вращение, перестанет быть маятником и будет падать, создавая высшие гармоники колебаний, т.е. будет переходить в хаос, а если более 1/4, то перестанет быть маятником, перейдя во вращение, т.е. в зависимости от выбора величины будут различные сценарии поведения.

Конечно, пока я не вижу явной связи между результатом суммирования знакочередующегося натурального ряда равнымого 1/4 и критической величиной отклонения маятника на 1/4 длины окружности, но, не исключено, что эта связь существует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Суммирование знакочередующегося натурального ряда
СообщениеДобавлено: 26 июн 2019, 00:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 380
Спасибо получено:
319 раз в 301 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Физическая интерпретация полученного результата:

ivashenko писал(а):
Представим знакочередующийся натуральный ряд в виде суммы строк:

1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=0.5
0-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=-0.5
0-0+1-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=0.5
0-0+0-1+1-1+1-1+1-1+1-.......=-0.5
0-0+0-0+1-1+1-1+1-1+1-.......=0.5
0-0+0-0+0-1+1-1+1-1+1-.......=-0.5
0-0+0-0+0-0+1-1+1-1+1-.......=0.5
........................................
1-2+3-4+5-6+7-8+9-..............=?

Воспользовавшись методом суммирования ряда Гранди для ряда: 0.5-0.5+0.5-0.5+0.5-0.5+......., получим результат:1-2+3-4+5-6+7-8+9-..............=0.5-0.5+0.5-0.5+0.5-0.5+.......=0.25.


Итак, мы запустили 1 маятник единичной массы с отклонением 0.5 угловых единицы, этому маятнику соответствует 1-я строка, после того как он совершил колебание в половину периода, мы запускаем синхронно ему второй маятник, которому соответствует вторая строка. Когда первый вернулся в исходную точку, запускаем такой же третий, которому соответствует третья строка и.т.д. Нули в каждой строке соответствуют количеству полупериодов, прошедших после запуска первого маятника до запуска данного маятника.

Первый маятник колебался с отклонением 0.5 бесконечно, а маятник, запущенный на бесконечности, и вовсе не колебался, в его строке стоят одни нули. Это эквивалентно тому, что оба маятника колебались бесконечно с отклонением (0.5+0)/2=0.25. Аналогично, если произвести усреднение по всему бесконечному числу маятников, то получим, что постепенное подключение одинаковых маятников на каждом полупериоде с отклонением 0.5, как показано в таблице, соответствует тому, что все они колебались с самого начала, но с отклонением 0.25, а не 0.5.

Также можно интерпретировать, что все бесконечное количество маятников отклонены были на 0.5, но колебались не бесконечное время, а лишь его половину. Или и вовсе, все маятники были отклонены на 0.5, колебались бесконечное время одновременно, но их масса была вдвое меньше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма знакочередующегося ряда

в форуме Ряды

Ellipsoid

4

1518

22 фев 2011, 20:53

Найти конечную сумму знакочередующегося ряда

в форуме Ряды

Abbas

5

721

25 ноя 2012, 20:26

Вычислить сумму числового знакочередующегося ряда

в форуме Ряды

amorales

1

2850

18 дек 2010, 03:51

Сумма ряда - суммирование числового ряда

в форуме Ряды

mariya

2

1096

20 июн 2010, 14:37

Суммирование функционального ряда

в форуме Ряды

Alex TGM

2

331

07 янв 2012, 16:08

Суммирование функционального и степенного ряда

в форуме Ряды

Alishman

3

351

26 апр 2011, 16:20

Суммирование числового ряда с двойными факториалами

в форуме Ряды

Uryuk

0

314

13 дек 2011, 00:37

Формирование натурального ряда разностями

в форуме Численные методы

atlakatl

8

222

20 янв 2019, 17:17

Редупликация натурального ряда циклом 2n+3k

в форуме Палата №6

ivashenko

0

87

21 фев 2019, 23:27

Суммирование рядов

в форуме Ряды

Barabash

5

309

06 окт 2013, 13:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: AGN и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved