Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 17 июн 2019, 19:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поводом к написанию сего поста послужил конец темы http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=65724 , в которой топик-стартер задал вопрос про функцию от случайной величины. Я задумался, а как в учебниках строго определяется функция от случайной величины? Открыл учебники и к своему удивлению ничего вразумительного не нашёл. Может плохо искал? Если кто поможет с ссылкой, буду благодарен. У меня на этот счёт своё соображение есть. Если случайную величину определить как измеримую функцию [math]f[/math] на вероятностном пространстве, то функцию [math]g[/math] от случайной величины (которая также будет случайной величиной) разумно определить как сложную функцию [math]g \circ f[/math] на этом же вероятностном пространстве. Но с определением случайной величины по моему тоже не всё гладко. Если в дискретном случае строгое определение в учебниках сопровождается примерами, то в непрерывном случае я их чего-то не нашёл. Возникает вопрос. Допустим у нас есть случайная величина с нормальным распределением [math]N(0,1)[/math] . Какое тут вероятностное пространство и какая тут измеримая функция? В принципе по распределению их можно построить и не единственным способом. Но получается, что в непрерывном случае, если мы рассматриваем одну случайную величину, то часто определяющим будет не некая измеримая функция, а функция распределения. Ну, а если у нас две случайных величины? Тогда определяющим будет совместная двумерная функция распределения. Ну, а если у нас одна случайная величина есть функция от другой? С одной стороны (если придерживаться определения, что я ввёл) это будет две измеримых функции на одном вероятностном пространстве. А с другой стороны - двумерная функция распределения. Как-то всё это не эстетично. Хотя для приложений это по-видимому значения никакого не имеет. Что вы на счёт всего этого думаете? Может это давно всё в учебниках разжёвано? Просто надо знать куда смотреть? Буду рад любым ссылкам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 19 июн 2019, 19:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Босс (Опойцев) имел смелость что-то сказать по интересующему меня вопросу. В его 4-м томе лекций по математике "Вероятность. Статистика. Информация" (п. 1.6, стр. 24) он пишет: "Сделаем теперь важный шаг. Изменим точку отсчёта. Первичное пространство элементарных событий сыграло свою роль, и при необходимости можно обойтись без него. Во многих ситуациях это даёт определённые выгоды. ... Исключить исходное [math]\Omega[/math] из рассмотрения можно, переходя непосредственно на описание с.в. [math]X[/math] с помощью функции распределения."

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 01:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4089
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1806 раз в 1503 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Может это давно всё в учебниках разжёвано?

Да, разжевано. Могу посоветовать следующие учебники, по которым я сам в свое время изучал теорвер (для их беспрепятственного изучения рекомендуется знание мат.анализа в объеме 2 курсов, а также хотя бы начальное знакомство с действительным анализом и теорией меры и интеграла Лебега):

Боровков А.А. Теория вероятностей.
Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х книгах.
https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/lec.html

Но на некоторые вопросы все же отвечу.

searcher писал(а):
Я задумался, а как в учебниках строго определяется функция от случайной величины?

Случайная величина - измеримая вещественнозначная функция, заданная на вероятностном пространстве. Измеримость здесь понимается так: прообраз любого борелевского подмножества числовой прямой должен быть измеримым относительно вероятностной меры.

Соответственно, для всякой функции [math]g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] и всякой случайной величины [math]\xi\colon\Omega\to\mathbb{R}[/math] определена композиция [math]g \circ \xi\colon\Omega\to\mathbb{R}[/math]. Если функция [math]g[/math] борелевская (прообраз любого борелевского множества является борелевским множеством), то эта композиция заведомо будет измеримой функцией, а, значит, случайной величиной. В Боровкове это все есть.

searcher писал(а):
Но с определением случайной величины по моему тоже не всё гладко. Если в дискретном случае строгое определение в учебниках сопровождается примерами, то в непрерывном случае я их чего-то не нашёл.

Мне даже интересно стало, какие это Вы учебники читали :no:
Определение случайной величины единое и приведено мною выше. А уже в зависимости от того, как устроены вероятностное пространство и сама случайная величина, они делятся на дискретные, (абсолютно) непрерывные, сингулярные и их комбинации. В Боровкове примеры (и строгие определения типов) всех этих случайных величин можно найти. Простой пример непрерывной с.в.: [math]\xi(x)=2x[/math], заданная на отрезке [math][0;1][/math] с мерой Лебега. Она имеет равномерное распределение на отрезке [math][0;2][/math].

searcher писал(а):
Допустим у нас есть случайная величина с нормальным распределением [math]N(0,1)[/math]. Какое тут вероятностное пространство и какая тут измеримая функция?

Как Вы уже заметили ниже, распределение не дает полной информации о случайной величине, оно лишь задает некоторую вероятностную меру на числовой прямой, которую соответствующие с.в. порождают. А порождать ее можно разными способами, например, можно взять выборочное вероятностное пространство (см. в Боровкове) и просто положить [math]\xi(\omega)=\omega[/math], а можно и как-то еще изощряться.

searcher писал(а):
Но получается, что в непрерывном случае, если мы рассматриваем одну случайную величину, то часто определяющим будет не некая измеримая функция, а функция распределения.

Во-первых, это сильно зависит от решаемой задачи. Конечно, на практике это часто верно, но иногда одной лишь функции распределения бывает недостаточно.
Во-вторых, непрерывность с.в. тут ни при чем, см. выше.

searcher писал(а):
Ну, а если у нас две случайных величины? Тогда определяющим будет совместная двумерная функция распределения.

Опять же, зависит от решаемой задачи.

searcher писал(а):
Ну, а если у нас одна случайная величина есть функция от другой? С одной стороны (если придерживаться определения, что я ввёл) это будет две измеримых функции на одном вероятностном пространстве.

Верно (при том условии, которое я упомянул выше).

searcher писал(а):
А с другой стороны - двумерная функция распределения.

Как я уже сказал, распределение не определяет с.в. Это лишь ее характеристика, свойство. Так же как и совместная функция распределения является характеристикой пары случайных величин, но не является определением этой пары. Можно сказать, что распределение задает целый класс самых разных с.в, но имеющих одно общее свойство. Так же как, например, интеграл непрерывной на отрезке функции является некоторой ее численной характеристикой, но его одного недостаточно для восстановления этой функции.

Надеюсь, что хоть что-то стало понятно, но лучше все же обратиться к учебникам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 13:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
для их беспрепятственного изучения рекомендуется знание мат.анализа в объеме 2 курсов,

Ну, тогда я их вряд ли осилю. :(
Human писал(а):
searcher писал(а):
Я задумался, а как в учебниках строго определяется функция от случайной величины?

Случайная величина - измеримая вещественнозначная функция, заданная на вероятностном пространстве. Измеримость здесь понимается так: прообраз любого борелевского подмножества числовой прямой должен быть измеримым относительно вероятностной меры.
Соответственно, для всякой функции [math]g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] и всякой случайной величины [math]\xi\colon\Omega\to\mathbb{R}[/math] определена композиция [math]g \circ \xi\colon\Omega\to\mathbb{R}[/math]. Если функция [math]g[/math] борелевская (прообраз любого борелевского множества является борелевским множеством), то эта композиция заведомо будет измеримой функцией, а, значит, случайной величиной. В Боровкове это все есть.

Может я путано объяснил свою мысль, поэтому повторюсь ещё раз. Меня не интересует, что такое случайная величина. Меня не интересует, что такое функция от случайной величины. Какое-то интуитивное доморощенное представление об этом я имею, и меня эти представления устраивают. В частности. по поводу функции от случайной величины я писал
searcher писал(а):
Если случайную величину определить как измеримую функцию f на вероятностном пространстве, то функцию g от случайной величины (которая также будет случайной величиной) разумно определить как сложную функцию g∘f на этом же вероятностном пространстве.

Меня интересует, как в учебниках строго определяется понятие функции от случайной величины. Естественно, что перед тем, как зачинать эту тему, я посмотрел и Боровкова и Ширяева и ничего не нашёл.
searcher писал(а):
Открыл учебники и к своему удивлению ничего вразумительного не нашёл.

Конкретно в Боровкове случайная величина определяется в параграфе 3.1, а затем в самом конце параграфа 3.2 рассказывается, как вычислить функцию распределения от функции случайной величины, к сожалению при этом не определяя, что есть функция от случайной величины.
У Ширяева случайные величины и функции от них впервые появляются в параграфе 2.4. К сожалению, что такое функция от случайной величины, там тоже не определяется. И, по-видимому, это не спроста. В этом параграфе у Ширяева приведён пример, как из одной случайной величины под действием функции может возникать новая случайная величина. Но определение функции от с.в. так и нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 14:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Меня интересует, как в учебниках строго определяется понятие функции от случайной величины.

Поясню, для чего это мне надо.
searcher писал(а):
Поводом к написанию сего поста послужил конец темы viewtopic.php?f=36&t=65724 , в которой топик-стартер задал вопрос про функцию от случайной величины.

Смог бы я данному товарищу дать ссылку на учебник и на конкретное место в нём, где дано чёткое определение, что есть функция от случайной величины?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 14:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
. Но с определением случайной величины по моему тоже не всё гладко. Если в дискретном случае строгое определение в учебниках сопровождается примерами, то в непрерывном случае я их чего-то не нашёл.

Тут я должен извиниться. Всё-таки у Боровкова нашёл один пример. Это пример 2 из параграфа 2.1 (в конце).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 14:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4089
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1806 раз в 1503 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Меня интересует, как в учебниках строго определяется понятие функции от случайной величины.

Просто как композиция этой функций и случайной величины. Всё. Определение композиции относится уже не к теорверу, а скорее к матану (или даже к алгебре), поэтому смысл величины [math]g(\xi)[/math] предполагается понятным читателю. Так что если хотите дать ссылку, то давайте на учебник по матану (алгебре), а не по теорверу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 14:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Как Вы уже заметили ниже, распределение не дает полной информации о случайной величине,

Я что-то не припомню, что ниже я такое замечал. Более того, я считаю, что если мы рассматриваем лишь одну случайную величину, то распределение даёт о ней полную информацию. Оно не даёт информации о связи этой случайной величины с окружающим миром.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 14:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Просто как композиция этой функций и случайной величины. Всё

Меня тут интересует в данном случае чисто конкретные ссылки (не на книги, а на параграфы).
searcher писал(а):
Буду рад любым ссылкам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Случайные величины и функции от них
СообщениеДобавлено: 22 июн 2019, 14:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5394
Cпасибо сказано: 57
Спасибо получено:
829 раз в 792 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Так что если хотите дать ссылку, то давайте на учебник по матану (алгебре), а не по теорверу.

То есть будем считать, что в учебниках по теорверу функция от случайной величины не определяется?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Случайные величины, дискретные случайные величины

в форуме Теория вероятностей

nomadfix

1

133

05 дек 2017, 14:39

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

Valentin_8871

1

117

28 мар 2018, 18:18

Случайные величины

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

inna_re

4

324

10 дек 2014, 17:48

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

1611

29

852

05 апр 2014, 18:44

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

bazhminaka_do16

1

117

31 мар 2017, 17:09

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

bazhminaka_do16

0

102

31 мар 2017, 16:32

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

PaCman

2

163

17 янв 2016, 17:26

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

Katerinka101010

15

1025

06 май 2013, 10:42

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

anastasia0910

1

305

27 ноя 2012, 16:37

Случайные величины

в форуме Теория вероятностей

Nikoletta

1

145

22 окт 2015, 21:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved