Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 21 окт 2018, 00:28 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я занимаюсь компьютерной (квантовой) химией, и знаю что в ней широко применяется теория возмущений. Я хотел бы побольше узнать про эту теорию, понять её смысл.
У меня сложилось такое ощущение, что теория возмущений годится для решения абсолютно любой математической задачи, правда ряды MP не всегда сходятся.
При решение любой задачи мы получаем ряд MP2, MP3, MP4…, и обычно этот ряд сходится к точному решению, хотя иногда он расходится. Как это получается?
Если мне не смогут понятно объяснить суть теории возмущений, хочу спросить по крайней мере к какому классу методов её можно отнести. Я пока вижу три таких класса:
1) Решение обратной задачи за счёт полного перебора всех вариантов (возможно с какой-то точностью или шагом);
2) Решение обратной задачи методом градиентного спуска;
3) Аналитическое решение обратной задачи, вроде формулы Кардано.
Можно ли теорию возмущений отнести к какой-то из этих групп, или лучше выделить отдельную группу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 21 окт 2018, 04:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ни одно из предложенных.
У нас есть задача с главной силой и малым параметром, её изменяющей в некоторой степени.
При неучёте малого параметра имеем нормальное уравнение [math]y=f(x)[/math]. Вклад малого параметра определяем итерациями, которые ввиду малости параметра всегда сходятся: [math]y_i=f_i(x_i)+a_i[/math]

Т.е. это обычная численка методом итераций.
Для тренировки попробуйте решить так уравнение [math]y= (x-1)(x-3000)+sin(x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 21 окт 2018, 19:16 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
atlakatl писал(а):
Ни одно из предложенных.
У нас есть задача с главной силой и малым параметром, её изменяющей в некоторой степени.
При неучёте малого параметра имеем нормальное уравнение [math]y=f(x)[/math]. Вклад малого параметра определяем итерациями, которые ввиду малости параметра всегда сходятся: [math]y_i=f_i(x_i)+a_i[/math]

Т.е. это обычная численка методом итераций.
Для тренировки попробуйте решить так уравнение [math]y= (x-1)(x-3000)+sin(x)[/math]


Попробую.
Сначала упростим уравнение до [math]y= (x)(x-3000)+sin(x)[/math]

Аналитически всё равно не представляю можно ли это решить, поэтому возьмём конкретный случай:
x=3002
x(x-3000)+sin(x)=y
3002*2+sin(3002)=y
6004-0,9784=y
Y=6003,0216

Теперь при том же y (6003,0216) надо найти x для исходного уравнения. Я пока не соображаю(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 21 окт 2018, 22:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hoper
Видим, что решение где-то в районе 1 и 3000. Огромная парабола и малый параметр в виде синуса.
Мы хотим найти решение в районе 1.
Выделяем x из первой скобки:
[math]x=\frac{ y-sin(x) }{ x-3000 }+1[/math]
Получили т.н. сжимающее отображение. Принимаем [math]y=0[/math] - и пошли итерации...
Посчитал в Excel - погрешность уже на первом шаге не более процента.
Разберёте этот случай, попробуйте другие.
Но вообще, ТВ для физиков. Они диффуры так считают. Земля вращается по аналитическому эллипсу, а Луна малый параметр. Так же выражаем из ур-я эллипса x - и считаем его в характерных точках: большой и малой полуоси.
А философская суть, думаю, в том, что в подобных задачах всегда можно найти основное движение и чуть меняющее его возмущение. Причём, это изменение принципиально траекторию не меняет, а лишь линейно сдвигает её на чуть-чуть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 02 дек 2018, 18:02 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
atlakatl писал(а):
Hoper
Видим, что решение где-то в районе 1 и 3000. Огромная парабола и малый параметр в виде синуса.
Мы хотим найти решение в районе 1.
Выделяем x из первой скобки:
[math]x=\frac{ y-sin(x) }{ x-3000 }+1[/math]
Получили т.н. сжимающее отображение. Принимаем [math]y=0[/math] - и пошли итерации...
Посчитал в Excel - погрешность уже на первом шаге не более процента.
Разберёте этот случай, попробуйте другие.
Но вообще, ТВ для физиков. Они диффуры так считают. Земля вращается по аналитическому эллипсу, а Луна малый параметр. Так же выражаем из ур-я эллипса x - и считаем его в характерных точках: большой и малой полуоси.
А философская суть, думаю, в том, что в подобных задачах всегда можно найти основное движение и чуть меняющее его возмущение. Причём, это изменение принципиально траекторию не меняет, а лишь линейно сдвигает её на чуть-чуть.



Спасибо, ваш ответ мне кажется понятным.
Как я уже писал, в квантовой химия используется теория возмущений Мёллера-Плессета, и у неё есть такая особенность: обычно ряды MP2, MP3, MP4... сходятся к точному решению, но иногда они наоборот расходятся.
Можете привести такой же понятный пример, когда попытка применить теорию возмущений приводит к ухудшению результата?
Такие примеры могут быть полезными для квантовиков, по-моему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 03 дек 2018, 17:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hoper писал(а):
понятный пример, когда попытка применить теорию возмущений приводит к ухудшению результата?

Ну например, тот же случай, но малый параметр имеет тот же порядок малости, что и основные: [math]y=(x-1)(x-3000)+x^2 \cdot sin(x)[/math].
Для квантовой механики вообще характерна ситуация, когда матан не работает. Мы худо-бедно построили квантовые модели эл/маг., сильного и слабого взаимодействий. Но учёные до сих пор не могут построить адекватную квантовую модель гравитации - в ней все параметры "малые". Нужна какая-то другая математика для описания реальных и виртуальных гравитонов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 06 дек 2018, 12:45 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
atlakatl

Я попробовал воспроизвести ваш первый пример, и не получилось. Может вы немного напутали с возмущающим фактором – это единица или синус?
Но я придумал ещё более простой пример. Пусть нам надо решить уравнение:
x+sin(x)-3000=0
Я сомневаюсь, что это уравнение можно решить аналитически. Но запишем его так:
x=3000-sin(x)

Подставив x0=3000, получим такую сходимость:

3000
2999,78081002572
2999,5739029766
2999,39713977695
2999,26623684759
2999,18383222963
2999,13904100976
2999,11712798836
2999,1070501177
2999,10255892478
2999,10058676301
2999,09972648206
2999,0993523137
2999,09918978187
2999,09911922034
2999,09908859417
2999,09907530275
2999,09906953467
2999,09906703155
2999,09906594531
2999,09906547393
2999,09906526937
2999,0990651806
2999,09906514208
2999,09906512536
2999,09906511811
2999,09906511496
2999,09906511359
2999,099065113
2999,09906511274
2999,09906511263
2999,09906511258
2999,09906511256
2999,09906511255
2999,09906511255
2999,09906511255
2999,09906511255
2999,09906511255
2999,09906511255


Т.е. за 40 итераций сошлось в последнем знаке.
Это тоже можно назвать примером применения теории возмущений?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 06 дек 2018, 14:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
09 авг 2018, 23:20
Сообщений: 1011
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
121 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Методологически да, идейно нет.
Там и там итерации. Но малого параметра в вашем примере не наблюдается.
Hoper писал(а):
Я попробовал воспроизвести ваш первый пример, и не получилось.

Малый параметр здесь весь первый член, единица же основной.
Что там не получилось? Загоните в Excel, [math]x[/math] и [math]y[/math] справа берите из предыдущей строки.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 06 дек 2018, 15:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В теории возмущений Мёллера-Плессе малого параметра в явном виде нет, так как корреляционное возмущение в виде разности потенциала точного межэлектронного взаимодействия и усредненного Харти-Фоковского потенциала (который зависит от одноэлектронной плотности в однодетерминантном приближении) проявляется в разных точках шестимерного пространства по-разному. Насколько мне известно, подход Мёллера-Плессе является самым грубым способом оценки корреляционной поправки к энергии многочастичной системы, рассчитываемой сначала в однодетерминантном приближении. Для более точной оценки энергии многоэлектронной системы обычно используется переход к многодетерминантным волновым функциям. Для учета 90 и более процентов корреляционной части энергии приходится брать сотни и даже тысячи дополнительных детерминантов (конфигураций).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Философская суть теории возмущений
СообщениеДобавлено: 18 дек 2018, 01:57 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
03 июл 2016, 14:03
Сообщений: 282
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
7 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то я понял. Я вначале пересчитывал y в каждом цикле, а надо было оставить его константой. Если y=6000, x0=0, после пяти итераций сошлось к x= -0,999614139957447.
Я хочу формально описать метод ТВ, и обосновать почему он должен работать. Но пока это не очень получается, что-то туплю. Дальше будут мысли вслух.

Есть уравнение y=f(x). В нашем случае f(x)=x
Можно решить обратную задачу x=f`(y)

Теперь мы усложнили исходное уравнение: y=f1(x). У нас это f1(x)=x+sin(x). Обратная задача (x=f1`(y) ) уже решается слишком сложно.
Но мы знаем, что модификация прямой задачи была небольшая: f1(x)-f(x)=небольшое число.
Поэтому можно полагать, что и модификация обратной задачи небольшая: f1`(y)-f`(y)=небольшое число. Это и обеспечивает сходимость (т.е. у меня пока такие мысли вслух).
Алгоритм в общем случае такой.
Мы имеем y=L, и конечная цель - решить обратную задачу A=f1`(L)=?
В данном случае L=3000.

Мы знаем, что [math]f1(x)=f(x)+g(x)[/math]
Известно что g(x) – небольшое число.

Выписываем f[math](x)=f1(x)-g(x)[/math]

Мы знаем что [math]f1(A)=L[/math]
Значит
[math]F(A)=L-g(A)[/math]

Теперь пишем так.
[math]X0=0[/math]
[math]V0(x0)=L-g(x0)[/math]

Мы нашли V0 (0), теперь решаем обратную задачу для более простого уравнения:[math]x1=f`(V0(x0))[/math]
Далее считаем следующую итерацию:
[math]V1(x1)=L-g(x1)[/math]
[math]X2=f`(V1(x1)[/math]

[math]V2(x2)=L-g(x2)[/math]
[math]X3=f`(V2(x2))[/math]
...
Ряд получился такой
X0=0
X1=3000
X2=2999,78081
X3=2999,5739
X4= 2999,39714
X5= 2999,26624
X6=2999,18383
X7=2999,13904
...
Как я уже написал, за 40 итераций сошлось в 11 знаке.
Как же теперь доказать, что ряд сходится к A? Т.е. нужно доказать, что
[math](x1-A)^{2}<(x0-A)^{2}[/math]
[math](x2-A)^{2}<(x1-A)^{2}[/math]
[math](x3-A)^{2}<(x2-A)^{2}[/math]
[math](x4-A)^{2}<(x3-A)^{2}[/math]

И другой вопрос - весь этот алгоритм это по сути не ТВ? Как он тогда называется?
Не соображаю(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 20 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Методы возмущений (система уравнений Ван-дер-Поля)

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

stepanovstudent

0

362

02 дек 2014, 23:51

Суть случайности

в форуме Теория вероятностей

iNarek94

2

413

08 фев 2015, 16:41

В чем суть дифференциала?

в форуме Размышления по поводу и без

mathematic_x

4

273

09 май 2020, 14:52

Объясните суть решения

в форуме Алгебра

Istin

2

169

19 окт 2019, 12:28

В чем суть абстрактной алгебры?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

bary6

3

221

23 сен 2023, 11:21

Суть поправки Бонферрони

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

mathematic_x

2

204

17 апр 2021, 16:03

Суть однофакторного дисперсионного анализа

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

mathematic_x

0

184

09 апр 2021, 10:02

Вычилить интеграл. Не пойму суть ошибки

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

MrBond

4

632

03 апр 2014, 14:49

Задача простенькая, но что-то не могу уловить суть.

в форуме Теория вероятностей

Rphoenix

2

355

16 окт 2014, 20:57

Отрицательных чисел и ноля в природе нет - суть их появления

в форуме Размышления по поводу и без

Urij Uznyj

50

735

15 окт 2022, 15:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved