Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 20 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Hoper |
|
|
У меня сложилось такое ощущение, что теория возмущений годится для решения абсолютно любой математической задачи, правда ряды MP не всегда сходятся. При решение любой задачи мы получаем ряд MP2, MP3, MP4…, и обычно этот ряд сходится к точному решению, хотя иногда он расходится. Как это получается? Если мне не смогут понятно объяснить суть теории возмущений, хочу спросить по крайней мере к какому классу методов её можно отнести. Я пока вижу три таких класса: 1) Решение обратной задачи за счёт полного перебора всех вариантов (возможно с какой-то точностью или шагом); 2) Решение обратной задачи методом градиентного спуска; 3) Аналитическое решение обратной задачи, вроде формулы Кардано. Можно ли теорию возмущений отнести к какой-то из этих групп, или лучше выделить отдельную группу? |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Ни одно из предложенных.
У нас есть задача с главной силой и малым параметром, её изменяющей в некоторой степени. При неучёте малого параметра имеем нормальное уравнение [math]y=f(x)[/math]. Вклад малого параметра определяем итерациями, которые ввиду малости параметра всегда сходятся: [math]y_i=f_i(x_i)+a_i[/math] Т.е. это обычная численка методом итераций. Для тренировки попробуйте решить так уравнение [math]y= (x-1)(x-3000)+sin(x)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
atlakatl писал(а): Ни одно из предложенных. У нас есть задача с главной силой и малым параметром, её изменяющей в некоторой степени. При неучёте малого параметра имеем нормальное уравнение [math]y=f(x)[/math]. Вклад малого параметра определяем итерациями, которые ввиду малости параметра всегда сходятся: [math]y_i=f_i(x_i)+a_i[/math] Т.е. это обычная численка методом итераций. Для тренировки попробуйте решить так уравнение [math]y= (x-1)(x-3000)+sin(x)[/math] Попробую. Сначала упростим уравнение до [math]y= (x)(x-3000)+sin(x)[/math] Аналитически всё равно не представляю можно ли это решить, поэтому возьмём конкретный случай: x=3002 x(x-3000)+sin(x)=y 3002*2+sin(3002)=y 6004-0,9784=y Y=6003,0216 Теперь при том же y (6003,0216) надо найти x для исходного уравнения. Я пока не соображаю( |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Hoper
Видим, что решение где-то в районе 1 и 3000. Огромная парабола и малый параметр в виде синуса. Мы хотим найти решение в районе 1. Выделяем x из первой скобки: [math]x=\frac{ y-sin(x) }{ x-3000 }+1[/math] Получили т.н. сжимающее отображение. Принимаем [math]y=0[/math] - и пошли итерации... Посчитал в Excel - погрешность уже на первом шаге не более процента. Разберёте этот случай, попробуйте другие. Но вообще, ТВ для физиков. Они диффуры так считают. Земля вращается по аналитическому эллипсу, а Луна малый параметр. Так же выражаем из ур-я эллипса x - и считаем его в характерных точках: большой и малой полуоси. А философская суть, думаю, в том, что в подобных задачах всегда можно найти основное движение и чуть меняющее его возмущение. Причём, это изменение принципиально траекторию не меняет, а лишь линейно сдвигает её на чуть-чуть. |
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
atlakatl писал(а): Hoper Видим, что решение где-то в районе 1 и 3000. Огромная парабола и малый параметр в виде синуса. Мы хотим найти решение в районе 1. Выделяем x из первой скобки: [math]x=\frac{ y-sin(x) }{ x-3000 }+1[/math] Получили т.н. сжимающее отображение. Принимаем [math]y=0[/math] - и пошли итерации... Посчитал в Excel - погрешность уже на первом шаге не более процента. Разберёте этот случай, попробуйте другие. Но вообще, ТВ для физиков. Они диффуры так считают. Земля вращается по аналитическому эллипсу, а Луна малый параметр. Так же выражаем из ур-я эллипса x - и считаем его в характерных точках: большой и малой полуоси. А философская суть, думаю, в том, что в подобных задачах всегда можно найти основное движение и чуть меняющее его возмущение. Причём, это изменение принципиально траекторию не меняет, а лишь линейно сдвигает её на чуть-чуть. Спасибо, ваш ответ мне кажется понятным. Как я уже писал, в квантовой химия используется теория возмущений Мёллера-Плессета, и у неё есть такая особенность: обычно ряды MP2, MP3, MP4... сходятся к точному решению, но иногда они наоборот расходятся. Можете привести такой же понятный пример, когда попытка применить теорию возмущений приводит к ухудшению результата? Такие примеры могут быть полезными для квантовиков, по-моему. |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Hoper писал(а): понятный пример, когда попытка применить теорию возмущений приводит к ухудшению результата? Ну например, тот же случай, но малый параметр имеет тот же порядок малости, что и основные: [math]y=(x-1)(x-3000)+x^2 \cdot sin(x)[/math]. Для квантовой механики вообще характерна ситуация, когда матан не работает. Мы худо-бедно построили квантовые модели эл/маг., сильного и слабого взаимодействий. Но учёные до сих пор не могут построить адекватную квантовую модель гравитации - в ней все параметры "малые". Нужна какая-то другая математика для описания реальных и виртуальных гравитонов. |
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
atlakatl
Я попробовал воспроизвести ваш первый пример, и не получилось. Может вы немного напутали с возмущающим фактором – это единица или синус? Но я придумал ещё более простой пример. Пусть нам надо решить уравнение: x+sin(x)-3000=0 Я сомневаюсь, что это уравнение можно решить аналитически. Но запишем его так: x=3000-sin(x) Подставив x0=3000, получим такую сходимость: 3000 2999,78081002572 2999,5739029766 2999,39713977695 2999,26623684759 2999,18383222963 2999,13904100976 2999,11712798836 2999,1070501177 2999,10255892478 2999,10058676301 2999,09972648206 2999,0993523137 2999,09918978187 2999,09911922034 2999,09908859417 2999,09907530275 2999,09906953467 2999,09906703155 2999,09906594531 2999,09906547393 2999,09906526937 2999,0990651806 2999,09906514208 2999,09906512536 2999,09906511811 2999,09906511496 2999,09906511359 2999,099065113 2999,09906511274 2999,09906511263 2999,09906511258 2999,09906511256 2999,09906511255 2999,09906511255 2999,09906511255 2999,09906511255 2999,09906511255 2999,09906511255 Т.е. за 40 итераций сошлось в последнем знаке. Это тоже можно назвать примером применения теории возмущений? |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Методологически да, идейно нет.
Там и там итерации. Но малого параметра в вашем примере не наблюдается. Hoper писал(а): Я попробовал воспроизвести ваш первый пример, и не получилось. Малый параметр здесь весь первый член, единица же основной. Что там не получилось? Загоните в Excel, [math]x[/math] и [math]y[/math] справа берите из предыдущей строки. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
В теории возмущений Мёллера-Плессе малого параметра в явном виде нет, так как корреляционное возмущение в виде разности потенциала точного межэлектронного взаимодействия и усредненного Харти-Фоковского потенциала (который зависит от одноэлектронной плотности в однодетерминантном приближении) проявляется в разных точках шестимерного пространства по-разному. Насколько мне известно, подход Мёллера-Плессе является самым грубым способом оценки корреляционной поправки к энергии многочастичной системы, рассчитываемой сначала в однодетерминантном приближении. Для более точной оценки энергии многоэлектронной системы обычно используется переход к многодетерминантным волновым функциям. Для учета 90 и более процентов корреляционной части энергии приходится брать сотни и даже тысячи дополнительных детерминантов (конфигураций).
|
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
Что-то я понял. Я вначале пересчитывал y в каждом цикле, а надо было оставить его константой. Если y=6000, x0=0, после пяти итераций сошлось к x= -0,999614139957447.
Я хочу формально описать метод ТВ, и обосновать почему он должен работать. Но пока это не очень получается, что-то туплю. Дальше будут мысли вслух. Есть уравнение y=f(x). В нашем случае f(x)=x Можно решить обратную задачу x=f`(y) Теперь мы усложнили исходное уравнение: y=f1(x). У нас это f1(x)=x+sin(x). Обратная задача (x=f1`(y) ) уже решается слишком сложно. Но мы знаем, что модификация прямой задачи была небольшая: f1(x)-f(x)=небольшое число. Поэтому можно полагать, что и модификация обратной задачи небольшая: f1`(y)-f`(y)=небольшое число. Это и обеспечивает сходимость (т.е. у меня пока такие мысли вслух). Алгоритм в общем случае такой. Мы имеем y=L, и конечная цель - решить обратную задачу A=f1`(L)=? В данном случае L=3000. Мы знаем, что [math]f1(x)=f(x)+g(x)[/math] Известно что g(x) – небольшое число. Выписываем f[math](x)=f1(x)-g(x)[/math] Мы знаем что [math]f1(A)=L[/math] Значит [math]F(A)=L-g(A)[/math] Теперь пишем так. [math]X0=0[/math] [math]V0(x0)=L-g(x0)[/math] Мы нашли V0 (0), теперь решаем обратную задачу для более простого уравнения:[math]x1=f`(V0(x0))[/math] Далее считаем следующую итерацию: [math]V1(x1)=L-g(x1)[/math] [math]X2=f`(V1(x1)[/math] [math]V2(x2)=L-g(x2)[/math] [math]X3=f`(V2(x2))[/math] ... Ряд получился такой X0=0 X1=3000 X2=2999,78081 X3=2999,5739 X4= 2999,39714 X5= 2999,26624 X6=2999,18383 X7=2999,13904 ... Как я уже написал, за 40 итераций сошлось в 11 знаке. Как же теперь доказать, что ряд сходится к A? Т.е. нужно доказать, что [math](x1-A)^{2}<(x0-A)^{2}[/math] [math](x2-A)^{2}<(x1-A)^{2}[/math] [math](x3-A)^{2}<(x2-A)^{2}[/math] [math](x4-A)^{2}<(x3-A)^{2}[/math] … И другой вопрос - весь этот алгоритм это по сути не ТВ? Как он тогда называется? Не соображаю( |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 20 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Методы возмущений (система уравнений Ван-дер-Поля) | 0 |
362 |
02 дек 2014, 23:51 |
|
Суть случайности
в форуме Теория вероятностей |
2 |
413 |
08 фев 2015, 16:41 |
|
В чем суть дифференциала?
в форуме Размышления по поводу и без |
4 |
273 |
09 май 2020, 14:52 |
|
Объясните суть решения
в форуме Алгебра |
2 |
169 |
19 окт 2019, 12:28 |
|
В чем суть абстрактной алгебры?
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
221 |
23 сен 2023, 11:21 |
|
Суть поправки Бонферрони | 2 |
204 |
17 апр 2021, 16:03 |
|
Суть однофакторного дисперсионного анализа | 0 |
184 |
09 апр 2021, 10:02 |
|
Вычилить интеграл. Не пойму суть ошибки | 4 |
632 |
03 апр 2014, 14:49 |
|
Задача простенькая, но что-то не могу уловить суть.
в форуме Теория вероятностей |
2 |
355 |
16 окт 2014, 20:57 |
|
Отрицательных чисел и ноля в природе нет - суть их появления
в форуме Размышления по поводу и без |
50 |
735 |
15 окт 2022, 15:59 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |