Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Hoper |
|
|
Меня всегда удивляло, почему в дифференциальных уравнениях в простых случаях переменные разделить можно, а в более сложных нельзя. Это очень актуально для квантовой химии: атом водорода можно просчитать идеально точно (точнее, аналитически), а уже чуть более сложные системы требуют совершенно других подходов. Почему для малой системы можно решить задачу аналитически, а если её чуть усложнить, вычислительные затраты возрастают в миллиарды раз? А может ли быть такое, что математика ещё научится решать произвольные дифференциальные уравнения? Могу привести аналогию с кубическими уравнениями: в средние века их решение было творческой задачей, устраивались турниры по их решению, а после появления формулы Кардано эта задача стала рутинной. А чтобы появилась формула Кардано, потребовалось придумать новую сущность – мнимые числа. Это к вопросу о полезности философии в математике. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Вычислительные затраты не возрастают в миллиарды раз по сравнению с аналитическими решениями. Наоборот, часто аналитические решения оказываются гораздо более затратными. Что касается идеи, что математика научится решать произвольные дифференциальные уравнения, то хотел бы напомнить, что произвольные алгебраические уравнения степени выше четырех тоже не решаются аналитически (это было доказано ещё в начале 19 века).
|
||
Вернуться к началу | ||
Radley |
|
|
Hoper! Да, для водорода переменные разделяются, а для гелия уже нет, я помню об этом))) Мне это странным не кажется, ведь дифференциальные уравнения сложнее алгебраические, а и они решаются численно (иногда даже кубические). Когда-то я купил книжку Незбайло Т.Г. "Теория нахождения корней алгебраических уравнений в аналитической форме". Но там я столкнулся с выкладками, содержащими суммирования, рекурсии, гипергеометрические функции и т.д. и ... понял преимущество численных методов. Да, наверно, можно придумать какую-то сложную матмодель, но решение с её помощью не будет выглядеть убедительным)))
|
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
Цитата: произвольные алгебраические уравнения степени выше четырех тоже не решаются аналитически (это было доказано ещё в начале 19 века). Я это понимаю несколько по-другому. Решая уравнения, мы пользуемся списком стандартных математических функций: разные синусы, логарифмы, корни и т.д. Многие из них находятся тоже как бы численно – за счёт расчётов сходящихся рядов. То, что уравнение четвёртой степени нельзя в общем случае решить – это значит что нельзя представить его решение в виде уравнения со стандартными функциями. Но можно придумать какой-нибудь “гиперсинус” или “гиперкорень” и тогда решение будет выражено в виде простого уравнения. Между синусом и “гиперсинусом” не будет принципиальной разницы – и то и то считатся как сумма сходящегося ряда. Можно провести аналогию с интегралами: с одной стороны, какие-то интегралы берутся а какие-то нет, но при этом абсолютно любой интеграл можно посчитать через ряд Фурье (правда насчёт “абсолютно” я не до конца уверен, т.к. может возникнуть пробема скорости сходимости этого ряда). Эта тема, как я понимаю, находится на стыке математики и компьютерных наук (алгоритмов оптимизации): почему при увеличении количества переменных в дифуравнениях вычислительные затраты возрастают, условно говоря, в миллиарды раз, а при переходе от кубических уравнений к уравнениям третьей степени – явно не в миллиарды. |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Hoper
Нельзя "придумать гиперсинус" - это давно бы сделали. Просто нельзя для 5-й степени явно выделить корни. Но решить такие уравнения можно и на руках. Прикидываем вручную - рисуем - поведение функции. А дальше обычный итерационный процесс - который всегда сходится для полиномов в близких точках. Так что ни о каких "миллиардах" говорить нельзя. Дольше корень 7-й степени извлекать будете в возможной аналитической функции. Даже 3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно: быстрее получается, чем расчёт кучи корней. |
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
Цитата: Даже 3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно: быстрее получается, чем расчёт кучи корней. Это мне непонятно. Можете пояснить? Мне казалось, можно уверенно утверждать что без формулы Кардано решение уравнений третьей степени было бы по крайне мере в тысячу раз более затратным в плане вычислительных ресурсов (при одинаковой точности решения). |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Есть уравнение [math]x^3-13 \cdot x^2-7 \cdot x+37=0[/math] - только что придумал.
Формулы Кардано я не знаю. Вместо карандаша с бумагой пользую Excel. - Можно? Вычисляю функцию с шагом 0,1 - и прикидываю график. Получаю два корня: -1,85 и 1.5. Вычисляю итерацию [math]x=x-\frac{ f(x) }{ f'(x) }[/math] для обоих корней с постепенным приближением по методу Ньютона. На первом шаге невязка [math]1e-08[/math], на втором - ноль. Корни 1,515869 и - 1.83298. Так считали математики три века. А затраптив полчаса на формулу Кардано, ты должен ещё столько же потратить на вычисление корней - n-й степени. |
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
Цитата: А затраптив полчаса на формулу Кардано, ты должен ещё столько же потратить на вычисление корней - n-й степени. Вовсе не полчаса. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BD%D0%BE Формула Кардано принципиально ничем не отличается от метода решения квадратных уравнений через дискриминант, только оперирует комплексными числами. |
||
Вернуться к началу | ||
atlakatl |
|
|
Hoper писал(а): Вовсе не полчаса. Я оперирую порядками - коль речь зашла о миллиардах. И то, что atlakatl писал(а): 3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно , не моя фантазия, а литературные данные. |
||
Вернуться к началу | ||
Hoper |
|
|
atlakatl писал(а): Hoper писал(а): Вовсе не полчаса. Я оперирую порядками - коль речь зашла о миллиардах. И то, что atlakatl писал(а): 3-ю и 4-ю степени в докомпьютерные времена решали численно , не моя фантазия, а литературные данные.Это уже после Кардано (16 век)? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
помощь в решение дифференциальных уравнениях | 1 |
266 |
09 май 2015, 17:37 |
|
Замена в линейных однородных дифференциальных уравнениях | 4 |
339 |
08 авг 2020, 10:45 |
|
Разделение переменных, замена переменных
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
363 |
23 май 2015, 11:26 |
|
Разделение переменных
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
290 |
13 май 2015, 14:45 |
|
Уравнение Лапласа в трехмерном случае. Разделение переменных | 3 |
531 |
11 янв 2017, 19:13 |
|
Замена переменных в системе дифференциальных уравнений | 1 |
652 |
01 июл 2014, 18:36 |
|
0/0 или сокращение дробей в уравнениях
в форуме Алгебра |
6 |
479 |
07 мар 2016, 05:09 |
|
Физика в дифф уравнениях
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
257 |
20 май 2015, 17:16 |
|
Разделение секрета
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
2 |
513 |
30 апр 2014, 19:38 |
|
Задача Коши в уравнениях мат. физики | 0 |
344 |
09 окт 2014, 18:46 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |