Единственное ли решение имеет уравнение?

Это не решение. Это некоторая зависимость между коэффициентами/параметрами уравнения. При условии, конечно, что вы обозначаете неизвестные буквами [math]x[/math] и [math]y[/math]. Решить уравнение - значит выразить неизвестные через коэффициенты, которые полагаются известными.

Booker48
Значит, зависимость [math]ab=c[/math] при [math]x,y[/math] согласно условию верна?

3axap
Смотря, что Вы понимаете под "при x,y согласно условию", если систему в Вашем "Решении", то верна, а если просто принадлежность к натуральным - то нет.

Данное уравнение, при рассмотрении в вещественных числах, порождает 10 семейств кривых на плоскости и 10 семейств тел в пространстве или 5 семейств тел в четырехмерном пространстве или одно тело в пятимерном пространстве. На каких-то семействах решения будут существовать, а на каких-то возможно нет. Всё это надо исследовать, возможно, что приведенная Вами закономерность - это следствие существования частного решения на каком-то одном семействе тел, поверхностей или кривых, но она наверное сама по себе не исключает возможности существования других аналогичных закономерностей на других семействах тел, поверхностей или кривых.

Я понимаю так: при [math]a,b,c,x,y \in \mathbb{N}[/math], где каждая из переменных имеет вид [math]2n-1[/math] в уравнении [math]a^{2}x+b^{2}y=2c^{2}[/math] есть зависимость [math]ab=c[/math] или [math]a^{2}b^{2}=c^{2}[/math] Поэтому и спросил, верно это или нет. Приведённый пример только подтвердил эту закономерность, других контрпримеров пока нет...
Это важно, так как я использовал его здесь. Но я могу и ошибаться...

Ну вот, пожалуйста:

[math]a=9,b=3,c=51,x=63,y=11[/math]

ivashenko
Это теперь всё усложняет...

Извините )

Нет, конечно.
Совершенно тривиально выписывается, например, такая серия:
[math]a=p-q; \; b=2p; \; c=p^2+q^2; \; x=2p+2q; \; y=2q.[/math]
Или
[math]a=p+q; \; b=2p; \; c=p^2+q^2; \; x=2p-2q; \; y=2q.[/math]
Или
[math]a=p-q; \; b=p; \; c=p^2+q^2; \; x=2p+2q; \; y=4q.[/math]

Для любых нечетных попарно взаимно простых [math]a, \; b, \; c \;[/math] уравнение решается самым обычным способом.

FEBUS
Что-то не так. Слева получаются кубы [math]p[/math] и [math]q[/math], а справа их 4-е степени.