Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Динамика пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 21 авг 2018, 20:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 авг 2018, 19:59
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я пытался выяснить условия существования пифагоровых троек и в результате получил хорошо известные представления их членов:

[math]a=m^2-n^2[/math]

[math]b=2mn[/math]

[math]c=m^2+n^2[/math]

Раньше я нигде не встречал их вывода. Если от существует, то прошу указать источники, в которых он описан.

Рассмотрим следующую задачу.

Дана функция [math]f(x)=2x[/math]. Для наглядности можно нарисовать её график.

Пусть по оси [math]x[/math] от начала координат в положительном направлении отложен отрезок длины [math]S_0[/math]. В момент времени [math]T_0[/math] края отрезка одновременно начинают движение в положительном направлении оси со скоростями: левый край [math]l[/math] - со скоростью [math]V_l[/math], правый край [math]r[/math] - со скоростью [math]V_r[/math] такими, что [math]V_l>V_r[/math] (левый край стартовавший из [math]0[/math] догоняет правый край стартовавший из [math]S_0[/math]).

Интервал [math]S(T)[/math], имевший в начальный момент времени значение [math]S(T_0)=S_0[/math], будет сокращаться по закону [math]S(T)=S_0+V_r T-V_l T=S_0-(V_l-V_r)T[/math].

Рассмотрим два события:

1*. Момент [math]T_1[/math], в который квадрат (расстояния пройденного левым краем [math]l[/math]) станет равен разности квадрата (расстояния пройденного правым краем [math]r[/math] в сумме с начальным интервалом [math]S_0[/math]) и квадрата (начального интервала [math]S_0[/math]):

[math]V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2[/math]. Из этого условия найдём значение времени [math]T_1[/math]:

[math]V_l^2 T_1^2=(S_0+V_r T_1)^2-S_0^2=S_0^2+2S_0 V_r T_1+V_r^2 T_1^2-S_0^2[/math], [math](V_l^2-V_r^2)T_1^2=2S_0 V_r T_1[/math]

[math]T_1=S_0 \frac{2V_r}{V_l^2-V_r^2}[/math]

2*. Момент [math]T_2[/math], в который левый край [math]l[/math] догонит правый край [math]r[/math]:

[math]V_l T_2=S_0+V_r T_2[/math]. Из этого условия найдём значение времени [math]T_2[/math]:

[math](V_l-V_r)T_2=S_0[/math]

[math]T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}[/math]

Далее, найдем время прошедшее между этими событиями [math]\Delta T=T_2-T_1[/math]:

[math]\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}-S_0 \frac{2V_r}{V_l^2-V_r^2}=S_0 \frac{V_l+V_r-2V_r}{V_l^2-V_r^2}[/math]

[math]\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r}[/math]

Из одновременного выполнения условий

[math]\begin{cases}
T_2=S_0 \frac{1}{V_l-V_r}\\
\\
\Delta T=S_0 \frac{1}{V_l+V_r}
\end{cases}[/math]


следует, что безразмерно [math]S_0=V_l^2-V_r^2[/math]

Тогда

[math]T_1=2V_r[/math], откуда [math]V_l T_1=2V_l V_r[/math]

[math]S_1(T_1)=S_0+V_r T_1=V_l^2-V_r^2+2V_r^2[/math], откуда [math]S_1(T_1)=V_l^2+V_r^2[/math]

что при простом переобозначении:

[math]S_0=a[/math] - начальный интервал

[math]V_l T_1=b[/math] - расстояние пройденное левым краем [math]l[/math]

[math]S_1(T_1)=c[/math] - расстояние пройденное правым краем [math]r[/math] в сумме с начальным интервалом [math]S_0[/math]

[math]V_l=m[/math] - скорость левого края [math]l[/math]

[math]V_r=n[/math] - скорость правого края [math]r[/math]

совпадает с хорошо известным представлением членов примитивной пифагоровой тройки:

[math]a=m^2-n^2[/math]

[math]b=2mn[/math]

[math]c=m^2+n^2[/math]

При этом, условия 1* и 2*, из которых были получены итоговые значения, одинаковы для любой исходной функции такой, что [math]\int\limits_0^x f(x)dx=x^n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Динамика пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 21 авг 2018, 22:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
bitango писал(а):
Pаньше я нигде не встречал их вывода. Если от существует, то прошу указать источники, в которых он описан.

М.М. Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. стр. 31

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Динамика пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 23 авг 2018, 19:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 авг 2018, 19:59
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Динамика пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 24 авг 2018, 16:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 авг 2018, 19:59
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрел. В указанном вами источнике данные представления не выводятся - там лишь доказывается, что они "доставляют состоящее из положительных целых чисел примитивное решение уравнения (1) с четным [math]x[/math]", где уравнение (1) это [math]x^2+y^2=z^2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Динамика пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 24 авг 2018, 18:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приведенная вами цитата из книги М.М.Постникова оторвана от контекста леммы
и совершенно не отражает сути этой леммы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Динамика пифагоровых троек
СообщениеДобавлено: 26 авг 2018, 15:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 авг 2018, 19:59
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Могу привести лемму полностью. Вывода вида вида членов пифагоровой тройки там нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Алгоритм пифагоровых троек

в форуме Палата №6

Ferma

33

2308

13 фев 2016, 13:13

Определение пифагоровых троек

в форуме Палата №6

Markopolo

87

6002

26 май 2014, 09:17

Расчет Пифагоровых троек

в форуме Палата №6

ALOKIN

33

920

11 июл 2021, 12:38

Критерий для расчета пифагоровых троек

в форуме Палата №6

izya

1

466

06 ноя 2015, 11:55

Структура пространства пифагоровых троек

в форуме Дискуссионные математические проблемы

bitango

18

506

19 дек 2022, 16:11

Вывод параметризации рациональных пифагоровых троек

в форуме Размышления по поводу и без

3axap

110

2553

26 июн 2019, 03:27

Просто о сложном - о генерации пифагоровых троек

в форуме Размышления по поводу и без

ivanovbp

30

1173

22 окт 2021, 12:17

Оптимизация генератора троек

в форуме Информатика и Компьютерные науки

7alek7

44

602

16 май 2023, 04:39

Пример рядов элементов, хит троек ,

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

oleg dmitryevx

0

136

25 апр 2023, 11:13

Вопросы о пифагоровых тройках

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

34

859

10 июл 2019, 22:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved