Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 25 июл 2018, 13:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Известно, что великий математик Рамануджан начал свое восхождение с поиска методов построения магических квадратов. Я нашел в инете несколько страниц из его блокнота. Вот одна из них:

Изображение

Качество не ахти какое, но мне удалось все расшифровать. Например, вариант, что я обвел рамкой, - это известное с 17 века решение А де ла Лубера

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

https://vuzlit.ru/836505/postroenie_nechyotnogo_magicheskogo_kvadrata

Рамануджан, естественно, не знал работ давних математиков, и все результаты находил заново.
Его мечта была - получить метод построения не просто ассоциативного магического квадрата, а идеального магического квадрата (ИМК). Это такой ассоциативный магический квадрат, у которого магическая сумма наблюдается еще и по всем ломаным диагоналям. Но увы, ему сделать это не удалось. Скорее всего из-за слишком короткого времени, уделенного данной задаче. (Продолжение следует).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 25 июл 2018, 18:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть много методов построения простых магических квадратов: индийский, альфила, террас, Москопула, Баше, Де ла Ира, Раус-Бола ... Но как построить Идеальный МК?
В математике часто бывает так: чем проще подход к решению проблемы, тем легче с его помощью брать более трудные высоты. Какой же самый простой подход к построению обычного МК? Думаю, что ни у кого не будет возражений против такой идеи:

Изображение

В самом деле: что может быть проще, чем создать ковер из квадратных матриц порядка n , заполненных натуральным рядом чисел и выделить краской числа в шахматном порядке? В итоге получим сразу аж ассоциативный магический квадрат! То есть у такого квадрата сумма в каждой паре центрально-симметричных ячеек равна [math]n^2+1[/math]. Можно найти еще десятки иных конфигураций простого МК, например:

Изображение

Итак, найден довольно интересный подход, не требующий никаких сложный манипуляций.
И он нам поможет в дальнейшем. (Продолжение следует).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
bimol
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 25 июл 2018, 23:57 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
И он нам поможет в дальнейшем.


Сейчас установлено, что устройство мира объективно носит вероятностный характер, поэтому по отношению к будущему правильнее сказать: "И он нам поможет или не поможет в дальнейшем".
Но когда будущее уже перетекло в прошлое, тогда можно однозначно сказать: "Он нам помог", если он помог, а если не помог, то можно ничего и не говорить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 26 июл 2018, 00:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
Вы правы, однако! Читатель совет этот использует .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 26 июл 2018, 13:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Когда я решал проблему закраски ячеек, у меня не было компьютера. Дело было на отдыхе, я наслаждался морем и пляжем. На песке палкой чертил матрицы, строил магические квадраты и пытался получить идеальный вариант. На одиннадцатый день случилось нечто невероятное: смотрю на числа и они как бы ожили, стали отчетливо проявляться ранее скрытые закономерности. Вошел в азарт, как это бывает с шахматистами в критические моменты. И в один прекрасный миг разогретый мозг понял: магический квадрат пандиагональный! А поскольку и ассоциативный, то следовательно и идеальный! Быстро записал ИМК5 в блокнот, чтобы вечером в спокойной обстановке проверить. Оказалось все верно. Вот этот вариант:

Изображение

Осталось только развить метод на все нечетные n. Но и там все оказалось не так просто.
(Продолжение следует)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
3axap, bimol
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 26 июл 2018, 17:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если точно такую же схему применить для матриц 7 х 7, то получим следующий ИМК7:

Изображение

Тут полный порядок - квадрат действительно идеальный.
Казалось бы, - дело мое в шляпе.
Но нет! Просто так идеалы не выскакивают. Следующий шаг с нечетным n = 9 показал, что квадрат всего лишь ассоциативный. Дальнейшие исследования привели к печальному выводу: ИМК получается только в том случае, если порядок матрицы n - число простое. Для составных нечетных n придется придумывать нечто иное.
(Продолжение следует).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
3axap, bimol
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 26 июл 2018, 18:02 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6754
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 991
Спасибо получено:
491 раз в 460 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Фантастика!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3axap "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 26 июл 2018, 19:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, 3axap! Но продолжим.
Я все же успокоил себя мыслью, что неплохо бы найти для всех простых n единый метод построения. Если внимательно рассмотреть, как перемещаются ячейки с числами 1, 2, 3, ... , то можно заметить, что ходы идут буквой Г, но для каждого n габариты буквы разные. Например, при n=5 ножка буквы длиной 4 ячейки (направление вниз), а шляпка 2 ячейки (направление влево). При n=7 ножка длиной 5 ячеек (вниз), а шляпка 3 ячейки (вправо). Мне лишние сложности ни к чему, и я чисто интуитивно решил всегда применять одинаковые ходы буквой Г : 4 ячейки вниз и 2 ячейки влево. Интуиция не подвела! Даже рассматривая такие ходы для квадрата порядка 17, непременно получаю идеальный магический квадрат. После цикла из n ходов нужно пойти вниз на одну ячейку.
Метод в общем простой, но весьма утомительный. Стал думать над упрощением. И вот что у меня получилось. Рассмотрим по этапам построение ИМК7:
1 этап - первые n ходов (числа обводим кружками):

Изображение

2 этап - вычерчиваем "доминушки" (такие две цепочки будут при любом нечетном n) и в верхних половинках "доминушек" проставляем последовательно числа, кратные n

Изображение

3 этап - в нижних половинках "доминушек" проставляем числа на единицу больше:

Изображение

Главная подготовительная часть построения готова! Теперь останется вспомнить об арифметической прогрессии.

(Продолжение следует)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 26 июл 2018, 20:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Тут полный порядок - квадрат действительно идеальный.
Казалось бы, - дело мое в шляпе.


Avgust
Простое гугление по запросу "идеальный квадрат", выдает ссылки по которым указывается, что для того, чтобы квадрат был идеальным, недостаточно, чтобы он был пандиагональным, необходима еще ассоциативность, а то, что утверждаете Вы

Avgust писал(а):
Его мечта была - получить метод построения не просто ассоциативного магического квадрата, а идеального магического квадрата (ИМК). Это такой ассоциативный магический квадрат, у которого магическая сумма наблюдается еще и по всем ломаным диагоналям.

Это лишь пандиагональность.

И если я не ошибаюсь, в приведенных Вами идеальных квадратах также наблюдается лишь пандиагональность без ассоциативности.

Цитата:
Рамочный магический квадрат — это такой магический квадрат, что если в нём отбросить окаймляющие «полосы» шириной в одну или несколько клеток, то оставшийся квадрат не утратит своего магического свойства. Такие квадраты ещё называют ассоциативными или симметричными.


Но возможно я ошибаюсь.


Последний раз редактировалось ivashenko 26 июл 2018, 20:07, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рамануджан и магические квадраты
СообщениеДобавлено: 26 июл 2018, 20:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
Идеальный - это ассоциативный и пандиагональный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 1 из 5 [ Сообщений: 48 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Идеальные магические квадраты

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

74

3914

22 ноя 2015, 08:15

Магические тессеракты третьего порядка

в форуме Объявления участников Форума

Nataly-Mak

5

847

03 дек 2015, 11:06

Ассоциативные магические кубы из простых чисел

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Nataly-Mak

13

1847

06 янв 2015, 22:41

Квадраты

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Krash

20

743

18 июл 2021, 17:46

Квадраты в окружности

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

nerzul88

8

562

20 май 2020, 09:48

Квадраты и степени

в форуме Теория чисел

ammo77

1

279

23 дек 2019, 01:08

Квадраты 10х10 из чисел 0, 1, 2, 3, 4

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Nataly-Mak

48

88491

14 июн 2018, 15:12

Квадраты чисел 4, 10, 11, 17, 179, 2993 и 10195

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Xenia1996

5

478

30 авг 2021, 12:39

Разбиение треугольника на квадраты и треугольнички

в форуме Геометрия

Avgust

100

2825

18 ноя 2016, 15:26

Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка

в форуме Размышления по поводу и без

Nataly-Mak

4209

147913

17 янв 2016, 12:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved