Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Использованья дифференциальных уравнений в алгебре
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 20:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Свойства дифференциального уравнения [math]f^{(n)}=f[/math] аналогичны свойствам дифференцированья [math]d_{n-1}d_1=d^2=0[/math] применяемых в алгебре Ли и в гомологической алгебре. Дифференциальное уравнения является оператором ограничения, так как n производная будет линейно зависима и как дифференцированье, так и дифференциальное уравнения связывает алгебру и геометрию. Но есть и различие. Прежде всего, дифференциальное уравнение связывает алгебру с комплексной плоскостью. Тогда возникают новые задачи,- связать комплексную область и область действительных чисел, и новые возможности,- использованья замкнутости комплексного поля, использованья свойств функций на комплексной плоскости, построение многомерных систем измерений.
Начнем с самого простого и классического. Докажем что метод Ньютона можно выразить через алгебраические соотношения. Включим этот метод в теорию Галуа. В классическую теорию Галуа входит сепарабельность, нормальность и конечность. Все это учтено в дифференциальных уравнениях типа [math]f^{(n)}=f[/math]. То, что характеристическое уравнение имеет различные корни [math]z=\sqrt[n]1[/math] является сепарабельностью. То, что характеристическое уравнение имеет различные корни, дает возможность построить определитель Вронского.
[math]\begin{vmatrix}y_1(x)&y_2(x)&\cdots&y_n(x)\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\y_1(x)^{n-1}&y_2(x)^{n-1}&\cdots&y_n(x)^{n-1}\end{vmatrix}\neq0[/math]
Так как корни различны, то определитель Вронского не равен нулю и на его основе можно построим систему линейных уравнений при x=const=0. В качестве свободного члена можно взять коэффициенты или корни многочлена n степени. Это и будет нормальным расширением поля. И это связано с разложением единицы в комплексном поле. Тогда это связано с основной теоремой алгебры. Основная теорема алгебры говори, что поле комплексных чисел будет замкнутою. Ноль не является элементом поля, так как не имеет обратного элемента. Но ноль можно выразить через единицы поля. Это дает нам конечность.
[math]1+(-1)= \xi_0+ \cdots+ \xi_{n-1}=0[/math]
Тогда мы будим иметь дело не с полем, а с комплексной плоскостью. Тогда и кольца можно выразить через систему линейных уравнений.
Выразим метод Ньютона через дифференциальное уравнение. Будем рассматривать многочлен как функцию. Тогда если [math]f^{(n)}=f[/math] то [math]\frac{f^{(n)}}{f'}=\frac{f}{f’}[/math] Тогда значение [math]x_0, x_1, x_2 \cdots[/math]вычисленные по формуле [math]x_{n+1}=x_0- \frac{f(x_n)}{f’(x_n)}[/math] при [math]n=1, 2, 3\cdots[/math] образует последовательность, которая стремится к корню уравнения f(x)=0.
Это доказательство полностью аналогично доказательству при использовании метода касательных к функции.
Комплексная плоскость дает геометрию чисел. Для изображения комплексных чисел на числовой плоскости необходимо уже задать начало отсчета (нулевую точку) положительное направление каждой из осей и две масштабные единицы: действительную (1) и мнимую (i). 1+(-1)=i+(-i)=0
Где 1,-1, i, -i корни уравнения [math]z^4=1[/math]. Но комплексные числа можно отобразить как коэффициенты функции, полученные из дифференциального уравнения [math]f’’=f[/math].
В комплексной плоскости тригонометрические и гиперболические функции теряют право на самостоятельность, так как они являются простыми рациональными функциями от показательной функции [math]e^z[/math]. И тогда можно принять [math]C_1=\textrm {sh} iz=i\sin z, C_2=\textrm {ch} iz=\cos z[/math].
Точка ноль принадлежит комплексной плоскости. Тогда при x=0 функция принимает вид [math]f=\frac{e^0+e^0}{2}+\frac{e^{0i}-e^{0i}}{2i}[/math]
Тогда используя свойства f''=f можно построить кватернионы. И вместо того чтобы выкинуть ноль как для построения Риманова пространства использовать его свойства.
Не коммутативность операции умножения кватернионов
(0, 1)(0, i)=(i, 0), (0, i)(0, 1)= (-i, 0)
Дает геометрическую интерпретацию не коммутативности,- это расположение векторов относительно нуля.
Тогда кватернионы можно рассматривать как тензоры напряжения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Использованья дифференциальных уравнений в алгебре
СообщениеДобавлено: 27 май 2018, 19:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дифференциальные уравнения дают возможность не только изобразить алгебраические функции, но и действия. Это не ново, так как мы способны выразить графически различные схемы. Новость состоит в том, что как действие дифференциальное уравнение дает возможность рассматривать трехмерное измерения или n мерное измерение.
Начнем с мнимой единицы. Если ноль рассматривать как i+(-i)=0 то i/i=1 то есть мнимую единицу мы можем взять в качестве масштабной единицы. Если говорить о кватернионах или о трехмерном пространстве, то в качестве примера возьмем плоскость Римана. Риман, пользуясь свойствами комплексных чисел, тем не менее, исключил ноль. Исключая ноль он исключает алгебраическое отображение трехмерного пространства. От трех мерности пространства он при этом не отказывается, заменяя его алгебраическое выражения аксиомами (почему то это считается более естественным). От нуля он так же не отказывается,- заменяя его геодезическими линиями. И так он получает пространство с кривизной. В этом пространстве строится локальный базис с ковариантными и контравариантными векторами связанных между собой символами Кристоффеля. Действие в криволинейном пространстве связано с гравитацией. Но если кватернионы рассматривать, как тензоры напряжение, то тогда гравитацию можно связать с трехмерным пространством.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Использованья дифференциальных уравнений в алгебре
СообщениеДобавлено: 15 июн 2018, 21:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 ноя 2013, 16:06
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Главное без трехмерного пространства не было бы и кривизны.
Риманова двухмерная сфера расположена в трехмерном пространстве.
[offtop][Важно не только кто и что писал, но и кому… /offtop]
В первом посте я допустила неточность. В алгебре Ли используются не только комплексные числа, но и кватернионы и октавы. Другое дело, что дифференциальное уравнение дает возможность построить базис на основе векторах полученных из комплексных единиц. Эти векторы являются собственными векторами ортогональной единичной матрицы.
[math](\lambda-1)^n=(\lambda^n-1)=0, (\lambda-1)(\lambda-1)^{n-1}=(\lambda-1)(\lambda^{n-1}+\lambda^{n-2}+\cdots+1)=0[/math]
Это уравнение дает возможность найти n собственных векторов.
Полученная матрица Вронского для f^{(n)}=f используется в преобразование Фурье.
Связь между степенью дифференциального уравнения и степенью многочлена дает возможность выразить производную от двух переменных через формулу
[math]\frac{(a^n+a^{n-1}b+\cdots+b^n)’}{n}=\frac{a^n-b^n}{a-b}[/math]
Это дает возможность построить Жорданову форму от двух переменных. А это дает возможность использовать эту зависимость при доказательстве теоремы Ферма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Использованья дифференциальных уравнений в алгебре
СообщениеДобавлено: 16 июн 2018, 08:44 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тема закрыта ввиду нарушения пункта 1.1.н Правил форума.
Alexdemath писал(а):
1. Нарушения и наказания

1.1. Нарушением считается:

...
н) флуд (отправление большого числа сообщений в пределах одной темы подряд);

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальное исчисление

Luis32

0

359

17 дек 2016, 15:31

Решение дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

sergey_boreysha

2

267

27 фев 2019, 16:28

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

ka9aje

1

155

29 апр 2020, 11:35

Система дифференциальных уравнений

в форуме Численные методы

Rook

0

394

27 апр 2014, 19:48

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

bakmen

7

341

20 апр 2020, 16:24

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

tanyhaftv

15

623

08 фев 2018, 16:49

Система дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Mazytta56

31

776

13 авг 2018, 03:33

Системы дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

KENT

16

546

22 дек 2019, 02:35

Системы дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

2

150

21 дек 2019, 21:00

Система Дифференциальных уравнений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

bakmen

5

187

04 май 2020, 18:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved