Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
timots |
|
|
Начнем с самого простого и классического. Докажем что метод Ньютона можно выразить через алгебраические соотношения. Включим этот метод в теорию Галуа. В классическую теорию Галуа входит сепарабельность, нормальность и конечность. Все это учтено в дифференциальных уравнениях типа [math]f^{(n)}=f[/math]. То, что характеристическое уравнение имеет различные корни [math]z=\sqrt[n]1[/math] является сепарабельностью. То, что характеристическое уравнение имеет различные корни, дает возможность построить определитель Вронского. [math]\begin{vmatrix}y_1(x)&y_2(x)&\cdots&y_n(x)\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\y_1(x)^{n-1}&y_2(x)^{n-1}&\cdots&y_n(x)^{n-1}\end{vmatrix}\neq0[/math] Так как корни различны, то определитель Вронского не равен нулю и на его основе можно построим систему линейных уравнений при x=const=0. В качестве свободного члена можно взять коэффициенты или корни многочлена n степени. Это и будет нормальным расширением поля. И это связано с разложением единицы в комплексном поле. Тогда это связано с основной теоремой алгебры. Основная теорема алгебры говори, что поле комплексных чисел будет замкнутою. Ноль не является элементом поля, так как не имеет обратного элемента. Но ноль можно выразить через единицы поля. Это дает нам конечность. [math]1+(-1)= \xi_0+ \cdots+ \xi_{n-1}=0[/math] Тогда мы будим иметь дело не с полем, а с комплексной плоскостью. Тогда и кольца можно выразить через систему линейных уравнений. Выразим метод Ньютона через дифференциальное уравнение. Будем рассматривать многочлен как функцию. Тогда если [math]f^{(n)}=f[/math] то [math]\frac{f^{(n)}}{f'}=\frac{f}{f’}[/math] Тогда значение [math]x_0, x_1, x_2 \cdots[/math]вычисленные по формуле [math]x_{n+1}=x_0- \frac{f(x_n)}{f’(x_n)}[/math] при [math]n=1, 2, 3\cdots[/math] образует последовательность, которая стремится к корню уравнения f(x)=0. Это доказательство полностью аналогично доказательству при использовании метода касательных к функции. Комплексная плоскость дает геометрию чисел. Для изображения комплексных чисел на числовой плоскости необходимо уже задать начало отсчета (нулевую точку) положительное направление каждой из осей и две масштабные единицы: действительную (1) и мнимую (i). 1+(-1)=i+(-i)=0 Где 1,-1, i, -i корни уравнения [math]z^4=1[/math]. Но комплексные числа можно отобразить как коэффициенты функции, полученные из дифференциального уравнения [math]f’’=f[/math]. В комплексной плоскости тригонометрические и гиперболические функции теряют право на самостоятельность, так как они являются простыми рациональными функциями от показательной функции [math]e^z[/math]. И тогда можно принять [math]C_1=\textrm {sh} iz=i\sin z, C_2=\textrm {ch} iz=\cos z[/math]. Точка ноль принадлежит комплексной плоскости. Тогда при x=0 функция принимает вид [math]f=\frac{e^0+e^0}{2}+\frac{e^{0i}-e^{0i}}{2i}[/math] Тогда используя свойства f''=f можно построить кватернионы. И вместо того чтобы выкинуть ноль как для построения Риманова пространства использовать его свойства. Не коммутативность операции умножения кватернионов (0, 1)(0, i)=(i, 0), (0, i)(0, 1)= (-i, 0) Дает геометрическую интерпретацию не коммутативности,- это расположение векторов относительно нуля. Тогда кватернионы можно рассматривать как тензоры напряжения |
||
Вернуться к началу | ||
timots |
|
|
Дифференциальные уравнения дают возможность не только изобразить алгебраические функции, но и действия. Это не ново, так как мы способны выразить графически различные схемы. Новость состоит в том, что как действие дифференциальное уравнение дает возможность рассматривать трехмерное измерения или n мерное измерение.
Начнем с мнимой единицы. Если ноль рассматривать как i+(-i)=0 то i/i=1 то есть мнимую единицу мы можем взять в качестве масштабной единицы. Если говорить о кватернионах или о трехмерном пространстве, то в качестве примера возьмем плоскость Римана. Риман, пользуясь свойствами комплексных чисел, тем не менее, исключил ноль. Исключая ноль он исключает алгебраическое отображение трехмерного пространства. От трех мерности пространства он при этом не отказывается, заменяя его алгебраическое выражения аксиомами (почему то это считается более естественным). От нуля он так же не отказывается,- заменяя его геодезическими линиями. И так он получает пространство с кривизной. В этом пространстве строится локальный базис с ковариантными и контравариантными векторами связанных между собой символами Кристоффеля. Действие в криволинейном пространстве связано с гравитацией. Но если кватернионы рассматривать, как тензоры напряжение, то тогда гравитацию можно связать с трехмерным пространством. |
||
Вернуться к началу | ||
timots |
|
|
Главное без трехмерного пространства не было бы и кривизны.
Риманова двухмерная сфера расположена в трехмерном пространстве. [offtop][Важно не только кто и что писал, но и кому… /offtop] В первом посте я допустила неточность. В алгебре Ли используются не только комплексные числа, но и кватернионы и октавы. Другое дело, что дифференциальное уравнение дает возможность построить базис на основе векторах полученных из комплексных единиц. Эти векторы являются собственными векторами ортогональной единичной матрицы. [math](\lambda-1)^n=(\lambda^n-1)=0, (\lambda-1)(\lambda-1)^{n-1}=(\lambda-1)(\lambda^{n-1}+\lambda^{n-2}+\cdots+1)=0[/math] Это уравнение дает возможность найти n собственных векторов. Полученная матрица Вронского для f^{(n)}=f используется в преобразование Фурье. Связь между степенью дифференциального уравнения и степенью многочлена дает возможность выразить производную от двух переменных через формулу [math]\frac{(a^n+a^{n-1}b+\cdots+b^n)’}{n}=\frac{a^n-b^n}{a-b}[/math] Это дает возможность построить Жорданову форму от двух переменных. А это дает возможность использовать эту зависимость при доказательстве теоремы Ферма. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Тема закрыта ввиду нарушения пункта 1.1.н Правил форума.
Alexdemath писал(а): 1. Нарушения и наказания 1.1. Нарушением считается: ... н) флуд (отправление большого числа сообщений в пределах одной темы подряд); |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Система дифференциальных уравнений
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
359 |
17 дек 2016, 15:31 |
|
Решение дифференциальных уравнений | 2 |
267 |
27 фев 2019, 16:28 |
|
Система дифференциальных уравнений | 1 |
155 |
29 апр 2020, 11:35 |
|
Система дифференциальных уравнений
в форуме Численные методы |
0 |
394 |
27 апр 2014, 19:48 |
|
Система дифференциальных уравнений | 7 |
341 |
20 апр 2020, 16:24 |
|
Система дифференциальных уравнений | 15 |
623 |
08 фев 2018, 16:49 |
|
Система дифференциальных уравнений | 31 |
776 |
13 авг 2018, 03:33 |
|
Системы дифференциальных уравнений | 16 |
546 |
22 дек 2019, 02:35 |
|
Системы дифференциальных уравнений | 2 |
150 |
21 дек 2019, 21:00 |
|
Система Дифференциальных уравнений | 5 |
187 |
04 май 2020, 18:17 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |