Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 16 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Fireman |
|
|
Подскажите, как можно доказать, что имея единицу, возможность выполнять операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня нельзя в общем случае получить кубический корень? С одной стороны понимаю, что кубический корень - это [math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math], квадратный - [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] и операциями сложения, вычитания и умножения никак из [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] не получить [math]\frac{ 1 }{ 3 }[/math] (ну или другими словами, складывая, вычитая и умножая число 2 никогда не получить число 3). Упомянутые 3 операции для корня (сложение, вычитание, умножение) - это следствие доступных операций над числами, умножение - это сложение корней, деление - это вычитание корней и извлечение корня - это умножение корней. Но как доказать это точно? 1) доказать, что используя 2 и сложения/вычитания/умножения никогда не получить 3 мне кажется тут достаточно использования просто основной теоремы арифметики, т.е. простое число 3 из простого числа 2 такими операциями в принципе не получить, поскольку результат упомянутых операций всегда будет давать только степень 2ки 2) доказать, что не получить кубический корень из квадратного, при условии, что подкоренное выражение может быть любым числом (целым/рациональным/рациональным с добавлением корня четной степени) |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Fireman
Fireman писал(а): ну или другими словами, складывая, вычитая и умножая число 2 никогда не получить число 3 Однако, [math]2 \,\colon 2+2=3.[/math] И ... [math]\frac{1}{3}=\frac{2-\frac{2}{2}}{2+\frac{2}{2}}.[/math] Если интересующая Вас задача -- учебная, то сообщите её условие в соответствии с первоисточником. Если эта задача придумана Вами, то уточните её условие. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Fireman писал(а): 2) доказать, что не получить кубический корень из квадратного, при условии, что подкоренное выражение может быть любым числом (целым/рациональным/рациональным с добавлением корня четной степени) Fireman, по сути вы предлагаете решить задачу удвоения куба. Одно из самых понятных и почти элементарное (на самом деле нет) доказательство видел в Курант, Роббинс "Что такое математика". Вообще эта книга стоит того, чтобы прочесть ее и безотносительно этой задачи. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Anatole |
||
Slon |
|
|
Это по теории Галуа вроде задача, когда берется корень из числа полученного ранее, то минимальное поле над [math]Q[/math] содержащее все полученные числа имеет степень расширение которое является степенью 2, а значит [math]\sqrt{3}[5][/math] в него не попадет, ведь поле [math]Q[\sqrt{3}(5)][/math] имеет степень расширение 3 над [math]Q[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
Fireman |
|
|
На счёт того, что из сложения, умножения и вычитания 2ки не получить 3ку - кажется пришел к маленькому и понятному доказательству
1. проведём нормализацию, т.е. перейдем в систему, где 2 равняется 1 (поскольку мы можем работать только с 2кой и результатами предыдущих операций с ней ничего не мешает нам считать ее единичным отрезком/единичным объектом), тогда 3 в новой системе будет равно 1,5 2. а дальше никакими операциями сложения, умножения и вычитания из целого не получить рациональное число ОЙЙЙЙ: можно же проще - любая операция сложения/умножения/вычетания 2ки даёт только четное число, а 3ка нечётное (еще проще получилось) Цитата: Однако, 2:2+2=3. деления как раз нет (для степеней корня только сложение/вычетание/умножение) Цитата: Если интересующая Вас задача -- учебная Цитата: Fireman, по сути вы предлагаете решить задачу удвоения куба. она и есть - что можно, а что нельзя построить с помощью циркуля и линейки одна из задач - удвоение куба, в которой по сути надо построить [math]\sqrt[3]{2}[/math] а циркуль и линейка позволяют по сути решать системы линейных и квадратных уравнений с целыми (ну или рациональными) коэффициентами и задача про куб решается тем, что кубический корень получить решая такие системы нельзя ответ очевиден, но хотелось бы получить точное доказательство, но при этом не привлекая тяжелые математические методы (того же Галуа) Цитата: Это по теории Галуа вроде задача, да, как частный случай, просто хотелось бы решить ее школьными методами без привлечения теории групп, т.е. чтобы ее мог решить человек не обладающий такими широкими знаниями как теория Галуа |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Fireman писал(а): ответ очевиден, но хотелось бы получить точное доказательство Fireman, у вас нет такой привычки читать посты полностью? |
||
Вернуться к началу | ||
Fireman |
|
|
Swan, уточните пожалуйста
Что не так? |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
У меня все в порядке. Успехов!
|
||
Вернуться к началу | ||
Fireman |
|
|
swan, если не опускаешься до обсуждения, зачем писать? вроде не 10 лет от роду?
Цитата: и задача про куб решается тем, что кубический корень получить решая такие системы нельзя ответ очевиден я имел в виду, что построить циркулем и линейкой сторону куба объемом в 2 раза больше заданного не возможно по причине, что кубический корень не получить решая квадратные уравнения, и В ЭТОМ ОТНОШЕНИИ ОТВЕТ ОЧЕВИДЕН у меня же был вопрос другой - как доказать, что оперируя сложением, вычитание, умножением, делением и извлечением квадратного корня не получить кубического корня т.е. что-то из серии [math]\sqrt[3]{8388607} = \sqrt{\sqrt{20} \times (7 \times \sqrt[4]{12003612717} + \sqrt{35283601} ) } +\sqrt[6]{1795686}[/math] Про это и был вопрос. А извините, просто если есть желание го на лить безответного - лучше наверное это делать на других, специализированных, форумах, благо их навалом. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Fireman
Я предлагаю не горячиться. Вам было указано swan'ом, что доказать утверждение, которое Вы имеет в виду, используя только сведения из элементарной математики, невозможно. Он как понимал, так и ответил на Ваш вопрос. Возможно, кто-нибудь ещё ответит Вам по-другому. Ждите... |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 16 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |