Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Рациональный кубоид
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=58618
Страница 8 из 12

Автор:  3axap [ 12 авг 2018, 20:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

Это вряд ли. Можно любой целочисленный кирпич поделить на величину одного из рёбер и он станет рациональным с ребром 1. Я не ищу целочисленный кирпич. Я ищу рациональный. По условию [math]b[/math] - не целое.

Автор:  BoxMuller [ 12 авг 2018, 20:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

3axap
Тогда тебе придется найти способ проверки результатов вычислений на рациональность.

Автор:  3axap [ 12 авг 2018, 22:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

viewtopic.php?f=57&t=58618&st=0&sk=t&sd=a&start=60

Если не ошибаюсь, то область определения следующая:

1)
[math]D=b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}[/math]

[math]D>0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2} > 4q^{2}[/math]

2)
[math]a=\sqrt[4]{\frac{ \sqrt{b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}}-(b^{4}+3b^{2}+2) }{ 2(b^{2}+1) }}[/math]

[math]\sqrt{b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}}>b^{4}+3b^{2}+2[/math]

[math]b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}>b^{8}+6b^{6}+13b^{4}+12b^{2}+4[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2} > 4q^{2} \\
& -b^{6}-2b^{4}-2b^{2}-1>q ^{2}
\end{aligned}\right.[/math]


Получается, что решений вообще нет.

Автор:  BoxMuller [ 12 авг 2018, 23:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

3axap
[math]\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = g \in Q[/math]

???


Там может быть единица?

Автор:  3axap [ 12 авг 2018, 23:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

Естественно может.
Если не ошибся, то решений рац. кубоида нет.

Автор:  BoxMuller [ 12 авг 2018, 23:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

3axap
Цитата:
Естественно может.

Тогда почему нет решений?

Автор:  BoxMuller [ 12 авг 2018, 23:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

3axap
Строго говоря, забегая вперед, твои выкладки выше не имеют отношения к решению текущей задачи.
Ты правильно подметил, что "зафиксировав" одну из переменных ([math]c[/math]) можно сократить количество итераций в поиске.
Но... ты сам понимаешь, что при такой замене тебе нужно очень четко представлять как поменяется диапазон поиска.

Автор:  3axap [ 24 авг 2018, 00:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

В рациональном кубоиде будет справедливо равенство:

[math]\frac{ (a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}) }{ a^{2}+b^{2}+c^{2} }=q^{2}[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math]

Примем за единичный отрезок пространственную диагональ: [math]g=1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/math]

Тогда:

[math]d^{2}e^{2}f^{2}=(1-c^{2})(1-b^{2})(1-a^{2})=r^{2}[/math], где [math]r \in \mathbb{Q}[/math],

[math]a<1, b<1, c<1[/math]

Действительно, такое возможно при условии:

[math]c=\frac{ n_{1} }{ m_{1} }[/math]

[math]b=\frac{ n_{2} }{ m_{2} }[/math]

[math]a=\frac{ n_{3} }{ m_{3} }[/math]

где [math]n_{i}[/math] - один любой из катетов, [math]m_{i}[/math] - гипотенуза в соответствующей примитивной пифагоровой тройке.

Подставим значения [math]a,b,c[/math] в уравнение [math]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/math] :

[math](\frac{ n_{1} }{ m_{1} })^{2}+(\frac{ n_{2} }{ m_{2} })^{2}+(\frac{ n_{3} }{ m_{3} })^{2}=1[/math]

следовательно:

[math]n^{2}_{1}m^{2}_{2}m^{2}_{3}+n^{2}_{2}m^{2}_{1}m^{2}_{3}+n^{2}_{3}m^{2}_{1}m^{2}_{2}=m^{2}_{1}m^{2}_{2}m^{2}_{3}[/math]

И далее доказательство в соседней теме:

viewtopic.php?p=343598#p343598

Решений нет.

Автор:  FEBUS [ 24 авг 2018, 01:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

Справедливо не только
[math]\left( \frac{ n_{1}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{2}}{m_{2}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3} }{m_{3}}\right)^2=1[/math].
Но, и это
[math]\left( \frac{ n_{2}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3}}{m_{2}}\right)^2+\left( \frac{ n_{1} }{m_{3}}\right)^2=2[/math].
Поскольку
[math]m_{1}^2=n_{1}^2+n_{2}^2[/math]
[math]m_{2}^2=n_{2}^2+n_{3}^2[/math]
[math]m_{3}^2=n_{3}^2+n_{1}^2[/math]
с точностью до обозначений.

Автор:  3axap [ 24 авг 2018, 13:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Рациональный кубоид

FEBUS писал(а):
[math]\left( \frac{ n_{2}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3}}{m_{2}}\right)^2+\left( \frac{ n_{1} }{m_{3}}\right)^2=2[/math].

FEBUS
Ну как же Вы такое получаете? Снова какое-то безобразие. При подстановке вместо [math]m_{i}^2[/math] указанных Вами значений в уравнение [math]\left( \frac{ n_{1}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{2}}{m_{2}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3} }{m_{3}}\right)^2=1[/math] получается:

[math]\frac{ n_{1}^2 }{ n_{1}^2+n_{2}^2 } +\frac{ n_{2}^2 }{ n_{2}^2+n_{3}^2 } +\frac{ n_{3}^2 }{ n_{3}^2+n_{1}^2 } =1[/math]

Можно для катетов подставить параметризацию примитивных троек и посмотреть, что и это уравнение превратится в неравенство, то есть, для таких троек в данном уравнении решений нет.

Страница 8 из 12 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/