Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Рациональный кубоид http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=58618 |
Страница 8 из 12 |
Автор: | 3axap [ 12 авг 2018, 20:36 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
Это вряд ли. Можно любой целочисленный кирпич поделить на величину одного из рёбер и он станет рациональным с ребром 1. Я не ищу целочисленный кирпич. Я ищу рациональный. По условию [math]b[/math] - не целое. |
Автор: | BoxMuller [ 12 авг 2018, 20:42 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
3axap Тогда тебе придется найти способ проверки результатов вычислений на рациональность. |
Автор: | 3axap [ 12 авг 2018, 22:54 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
viewtopic.php?f=57&t=58618&st=0&sk=t&sd=a&start=60 Если не ошибаюсь, то область определения следующая: 1) [math]D=b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}[/math] [math]D>0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2} > 4q^{2}[/math] 2) [math]a=\sqrt[4]{\frac{ \sqrt{b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}}-(b^{4}+3b^{2}+2) }{ 2(b^{2}+1) }}[/math] [math]\sqrt{b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}}>b^{4}+3b^{2}+2[/math] [math]b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2}-4q^{2}>b^{8}+6b^{6}+13b^{4}+12b^{2}+4[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & b^{8}+2b^{6}+5b^{4}+4b^{2} > 4q^{2} \\ & -b^{6}-2b^{4}-2b^{2}-1>q ^{2} \end{aligned}\right.[/math] Получается, что решений вообще нет. |
Автор: | BoxMuller [ 12 авг 2018, 23:01 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
3axap [math]\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = g \in Q[/math] ??? Там может быть единица? |
Автор: | 3axap [ 12 авг 2018, 23:04 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
Естественно может. Если не ошибся, то решений рац. кубоида нет. |
Автор: | BoxMuller [ 12 авг 2018, 23:06 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
3axap Цитата: Естественно может. Тогда почему нет решений? |
Автор: | BoxMuller [ 12 авг 2018, 23:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
3axap Строго говоря, забегая вперед, твои выкладки выше не имеют отношения к решению текущей задачи. Ты правильно подметил, что "зафиксировав" одну из переменных ([math]c[/math]) можно сократить количество итераций в поиске. Но... ты сам понимаешь, что при такой замене тебе нужно очень четко представлять как поменяется диапазон поиска. |
Автор: | 3axap [ 24 авг 2018, 00:36 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
В рациональном кубоиде будет справедливо равенство: [math]\frac{ (a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}) }{ a^{2}+b^{2}+c^{2} }=q^{2}[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math] Примем за единичный отрезок пространственную диагональ: [math]g=1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/math] Тогда: [math]d^{2}e^{2}f^{2}=(1-c^{2})(1-b^{2})(1-a^{2})=r^{2}[/math], где [math]r \in \mathbb{Q}[/math], [math]a<1, b<1, c<1[/math] Действительно, такое возможно при условии: [math]c=\frac{ n_{1} }{ m_{1} }[/math] [math]b=\frac{ n_{2} }{ m_{2} }[/math] [math]a=\frac{ n_{3} }{ m_{3} }[/math] где [math]n_{i}[/math] - один любой из катетов, [math]m_{i}[/math] - гипотенуза в соответствующей примитивной пифагоровой тройке. Подставим значения [math]a,b,c[/math] в уравнение [math]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/math] : [math](\frac{ n_{1} }{ m_{1} })^{2}+(\frac{ n_{2} }{ m_{2} })^{2}+(\frac{ n_{3} }{ m_{3} })^{2}=1[/math] следовательно: [math]n^{2}_{1}m^{2}_{2}m^{2}_{3}+n^{2}_{2}m^{2}_{1}m^{2}_{3}+n^{2}_{3}m^{2}_{1}m^{2}_{2}=m^{2}_{1}m^{2}_{2}m^{2}_{3}[/math] И далее доказательство в соседней теме: viewtopic.php?p=343598#p343598 Решений нет. |
Автор: | FEBUS [ 24 авг 2018, 01:35 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
Справедливо не только [math]\left( \frac{ n_{1}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{2}}{m_{2}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3} }{m_{3}}\right)^2=1[/math]. Но, и это [math]\left( \frac{ n_{2}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3}}{m_{2}}\right)^2+\left( \frac{ n_{1} }{m_{3}}\right)^2=2[/math]. Поскольку [math]m_{1}^2=n_{1}^2+n_{2}^2[/math] [math]m_{2}^2=n_{2}^2+n_{3}^2[/math] [math]m_{3}^2=n_{3}^2+n_{1}^2[/math] с точностью до обозначений. |
Автор: | 3axap [ 24 авг 2018, 13:00 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Рациональный кубоид |
FEBUS писал(а): [math]\left( \frac{ n_{2}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3}}{m_{2}}\right)^2+\left( \frac{ n_{1} }{m_{3}}\right)^2=2[/math]. FEBUS Ну как же Вы такое получаете? Снова какое-то безобразие. При подстановке вместо [math]m_{i}^2[/math] указанных Вами значений в уравнение [math]\left( \frac{ n_{1}}{m_{1}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{2}}{m_{2}}\right) ^2+\left( \frac{ n_{3} }{m_{3}}\right)^2=1[/math] получается: [math]\frac{ n_{1}^2 }{ n_{1}^2+n_{2}^2 } +\frac{ n_{2}^2 }{ n_{2}^2+n_{3}^2 } +\frac{ n_{3}^2 }{ n_{3}^2+n_{1}^2 } =1[/math] Можно для катетов подставить параметризацию примитивных троек и посмотреть, что и это уравнение превратится в неравенство, то есть, для таких троек в данном уравнении решений нет. |
Страница 8 из 12 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |