Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 12 |
[ Сообщений: 117 ] | На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
3axap |
|
|
[math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math] [math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math] [math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math] а также пространственная диагональ определяется уравнением: [math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math] Положим: [math]a<b<c[/math] Примем за единицу меньшее ребро: [math]a=1=a^2=\frac{ a }{ a }[/math], тогда: [math]b^{2}=\frac{ n_{1} }{ m_{1} }[/math], где [math]n_{1} \in \mathbb{N}[/math], [math]m_{1} \in \mathbb{N}[/math] и [math]n_{1}>m_{1}[/math] [math]c^{2}=\frac{ n_{2} }{ m_{2} }[/math], где [math]n_{2} \in \mathbb{N}[/math], [math]m_{2} \in \mathbb{N}[/math] и [math]n_{2}>m_{2}[/math] Подставим переменные в стартовые уравнения: [math]d^{2}=\frac{ a }{ a }+\frac{ n_{1} }{ m_{1} }=\frac{ am_{1}+an_{1} }{ am_{1} }=\frac{ m_{1}+n_{1} }{ m_{1} }[/math] [math]e^{2}=\frac{ a }{ a }+\frac{ n_{2} }{ m_{2} }=\frac{ am_{2}+an_{2} }{ am_{2} }=\frac{ m_{2}+n_{2} }{ m_{2} }[/math] [math]f^{2}=\frac{ n_{1} }{ m_{1} }+\frac{ n_{2} }{ m_{2} }=\frac{ n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1} }{ m_{1}m_{2} }[/math] [math]g^{2}=\frac{ a }{ a }+\frac{ n_{1} }{ m_{1} }+\frac{ n_{2} }{ m_{2} }=\frac{ am_{1}m_{2}+an_{1} m_{2}+an_{2} m_{1} }{ am_{1}m_{2} }=\frac{ m_{1}m_{2}+n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1} }{ m_{1}m_{2} }[/math] Отсюда: [math]defg=\sqrt{\frac{ ( m_{1}+n_{1})(m_{2}+n_{2})(n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1})(m_{1}m_{2}+n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1}) }{ (m_{1}m_{2})^{3} } }[/math] Если предположить, что существует рациональный кубоид, в котором [math]g \in \mathbb{Q}[/math], тогда [math]defg\in \mathbb{Q}[/math] и, по крайней мере, должно удовлетворяться деление без остатка: [math]\frac{ ( m_{1}+n_{1})(m_{2}+n_{2})(n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1})(m_{1}m_{2}+n_{1} m_{2}+n_{2} m_{1}) }{ m_{1}m_{2} } \in \mathbb{N}[/math], чтобы степень в знаменателе предыдущего уравнения сократилась с тройки до двойки, но это не так. Верное рассуждение? PS Параметры кубоида можно домножить на любое рациональное число, то есть, всё, что выше, должно быть справедливо для всего множества кубоидов. |
||
Вернуться к началу | ||
BoxMuller |
|
|
Ой, новая ветка на форуме!
|
||
Вернуться к началу | ||
Nataly-Mak |
|
|
3axap писал(а): Дан кубоид [math]a,b,c\in \mathbb{Q}[/math], где боковые диагонали [math]d,e,f\in \mathbb{Q}[/math] определяются уравнениями: [math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math] [math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math] [math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math] а также пространственная диагональ определяется уравнением: [math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math] Как я понимаю, рёбра кубоида a, b, c заданы. Тогда при чём здесь уравнения? Может, надо говорить, что диагонали кубоида определяются по формулам? В выкладки не вникала. Возник вопрос: чем рациональный кубоид отличается от совершенного кубоида? Только тем, что у рационального кубоида рёбра заданы рациональными числами? В фейсбуке пошарила, нашла сообщение из 2012 года, в котором цитируется Википедия. Сообщение называется "Рациональный кубоид". |
||
Вернуться к началу | ||
Nataly-Mak |
|
|
А между тем, на форуме boinc.ru сообщили 4 февраля с. г.
Цитата: Начался новый этап поиска совершенного кубоида http://www.rechenkraft.net/yoyo/y_status_pcu.php между 2^51 и 2^52 |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
Nataly-Mak писал(а): Возник вопрос: чем рациональный кубоид отличается от совершенного кубоида? Рациональный кубоид — это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного совершенного кубоида. То есть, если найти рациональный кубоид, то можно найти и совершенный кубоид. На этот раз, не будем ничего доказывать, просто попытаемся его найти. Будет интересно. Положим, рациональный кубоид существует: [math]a,b,c\in \mathbb{Q}[/math] [math]d^{2}=a^{2}+b^{2}[/math] [math]e^{2}=a^{2}+c^{2}[/math] [math]f^{2}=b^{2}+c^{2}[/math] [math]g^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/math] [math]d,e,f,g \in \mathbb{Q}[/math], тогда: [math]\frac{ def }{ g }=q[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math], следовательно: [math]\frac{ (a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}) }{ a^{2}+b^{2}+c^{2} }=q^{2}[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math] Пусть: [math]x=a^{2}[/math] [math]y=b^{2}[/math] [math]z=c^{2}[/math] [math]x,y,z \in \mathbb{Q}[/math] [math]\frac{ (x+y)(x+z)(y+z) }{ x+y+z } =\frac{ x^{2}y+y^{2}x }{ x+y+z }+z(x+y)=q^{2}[/math] Для удобства, примем пространственную диагональ за единичный отрезок: [math]g=1[/math], тогда: [math]x+y+z=1[/math], подставив в предыдущее выражение, получаем: [math]x^{2}y+y^{2}x+z(x+y)=q^{2}[/math] Таким образом, вышла простая система уравнений: [math]\left\{\!\begin{aligned} & x+y+z=1 \\ & x^{2}y+y^{2}x+z(x+y)=q^{2} \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & xy(x+y)+z(x+y)=q^{2} \\ & x+y=1-z \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & xy(1-z)+z(1-z)=q^{2} \\ & x+y=1-z \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & (1-z)(xy+z)=q^{2} \\ & x+y=1-z \end{aligned}\right.[/math] Из верхнего уравнения: [math](1-z)(xy+z)=q^{2}[/math], где [math]q \in \mathbb{Q}[/math] вытекает формула квадратов: [math](1-z)(1+z)=q^{2}[/math] или: [math]1-z^{2}=q^{2}[/math], следовательно: [math]xy=1[/math] Таким образом, получаем ещё одну систему: [math]\left\{\!\begin{aligned} & x+y+z=1 \\ & xy=1 \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & x=1-y-z \\ & (1-y-z)y=1 \end{aligned}\right.[/math] Итак, решением нижнего уравнения [math](1-y-z)y=1[/math] имеем две гиперболы во втором и в четвёртом квадрантах: wolframalpha.com Таким образом, две переменные [math]z[/math] и [math]y[/math] не могут быть одновременно положительными, а это противоречит условию. Невозможность найти рациональный кубоид означает невозможность найти совершенный кубоид. С Уважением. |
||
Вернуться к началу | ||
BoxMuller |
|
|
...
|
||
Вернуться к началу | ||
BoxMuller |
|
|
Дело в том, что если:
[math](1-z)(xy+z)=q^{2}[/math] то неправомерно утверждать, что: [math]xy=1[/math] Здесь должно соблюдаться неравенство [math](1-z)(xy+z) > 0[/math] очевидно, что: [math]0 < z < 1[/math] [math]x > 0[/math] [math]y > 0[/math] Таким образом, произведение [math]xy[/math] может быть любым положительным числом. |
||
Вернуться к началу | ||
3axap |
|
|
А вот дело в том, что в правой части этого уравнения квадрат числа, а не любое число, большее нуля:
[math](1-z)(xy+z)=q^{2}[/math] пусть: [math]o^{2}=(1-z)[/math] [math]p^{2}=(xy+z)[/math] тогда: [math]o^{2}p^{2}=q^{2}[/math] [math]q=op[/math], [math]q \in \mathbb{Q}[/math] рассмотрим: [math]o^{2}=(1-z)[/math], где [math]g^{2}=1[/math], так как [math]g=1[/math] и [math]z^{2}=c^{2}[/math] по условию [math]o^{2}=(g^{2}-c^{2})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})-c^{2}=d^{2}[/math], так как [math]d \in \mathbb{Q}[/math], то и [math]o \in \mathbb{Q}[/math] рассмотрим: [math]p^{2}=(xy+z)[/math], где [math]x=a^{2}[/math], [math]y=b^{2}[/math] и [math]z=c^{2}[/math] по условию [math]p^{2}=a^{2}b^{2}+c^{2}[/math], тогда вспоминаем Диофантовы уравнения, данные в самом начале, и делаем вывод: [math]p \in \mathbb{Q}[/math] только в том случае, когда [math]a^{2}b^{2}=1[/math], то есть: [math]xy=1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
BoxMuller |
|
|
3axap
Любое положительное число - квадрат какого-то числа. Можешь походить по форуму поспрашивать. Просто подставь любые значения из области определений. Неправомерно заменять [math]xy[/math] на 1 только потому, что получается разность квадратов, почему не заменить на 2 или 3? |
||
Вернуться к началу | ||
BoxMuller |
|
|
3axap
Ты просто подтянул к разности квадратов не верной подстановкой. Подставь в выражение [math]\frac{ x^{2}y+y^{2}x }{ x+y+z }+z(x+y)=q^{2}[/math] вместо [math]xy[/math] единицу и удивись. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12 След. | [ Сообщений: 117 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Совершенный кубоид
в форуме Размышления по поводу и без |
561 |
95885 |
06 сен 2017, 13:27 |
|
Гнем кубоид
в форуме Палата №6 |
0 |
9410 |
27 май 2019, 22:41 |
|
Кубоид. Ностальгия
в форуме Геометрия |
39 |
1301 |
07 июн 2020, 17:44 |
|
Совершенный кубоид. Отладка | 86 |
1289 |
15 апр 2022, 00:40 |
|
Однопарам ф-ла для ТП и кубоид Эйлера | 29 |
581 |
07 июл 2022, 00:36 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |